1、第第 2 2 讲讲 几何综合题中的“中线倍长”问题几何综合题中的“中线倍长”问题 【方法梳理】 1.遇“中点”或“中线”的几何题需要添加辅助线时，首先考虑“中线倍长”. 2. 注意：中线的变化：过中点的线段 3.添辅助线的目的是构造三角形全等，利用全等性质解题； 【强化巩固练习】 例1.如图， 在菱形ABCD和菱形BEFG中， 点A、 B、 E在同一直线上， P是线段DF的中点， 连接PG， PC 若ABC=BEF=60， 则 PG：PC 的值为_ 例 2.如图，点 E 是矩形 ABCD 的一边 AD 的中点，BFCE 于点 F，连接 AF，若 AB=4，AD=6，则 sinAFE=_ 例 3
2、.如图，在 RtABC 中，D 为斜边 AB 的中点，E,F 分别在 AC,BC 上，EDF=90，已知 CE=4,AE=2,BF-CF=3 2,求 AB. 例 4.如图，四边形 ABCD 是正方形，EFC 是等腰直角三角形，点 E 在 AB 上，且CEF=90,FGAD 于点 C. （1）试判断 AG 与 FG 是否相等？并给出证明； （2）若点 H 为 CF 的中点，GH 与 DH 垂直吗？若垂直，给出证明；若 不垂直，说明理由。 M A B C D E FF E D C B A 例 5.如图，在矩形 ABCD 中，AD=2AB，BAD 的平分线交 BC 于点 E，DHAE 于点 H，连接
3、 BH 并延长交 CD 于点 F， 连接 DE 交 BF 于点 O，下列结论中，正确的有（ ） AD=AE；AED=CED；OE=OD；BH=HF；BC-CF=2HE. A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 例 6.如图，ABC 中，ABAC,AD、AE 分别是其角平分线和中线，过点 C 作 CGAD 于点 F，交 AB 于点 G，连接 EF, 则EF/AB；2BCG=ACB-ABC；2EF=AB-AC；AB-AC2AEAB+AC，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 例 7.如图 1， 在ACB 和AED 中， AC=BC,AE=DE， ACB=AED=90， 点 E
4、 在 AB 上， F 是线段 BD 的中点， 连接 CE,FE. （1）请探究线段 CE 与 FE 间的数量关系； （2）将图 1 中的AED 绕点 A 顺时针旋转，使AED 的一边 AE 恰好与ACB 的边 AC 在同一条直线上（如图 2） ，连 接 BD，取 BD 的中点 F，问（1）中的结论是否仍成立，并说明理由。 （3）将图 1 的的AED 绕点 A 顺时针旋转任意的角度（如图 3） ，连接 BD，取 BD 的中点 F，请直接写出线段 CE 与 FE 间的数量关系。 A BC D E F G H N M H G F E D CB A G F E D C B A 【答案详解】 例 1.【
5、解析】 利用菱形性质、等腰三角形“三线合一”性质及三角形全等解题。 如图，延长 GP 交 DC 于点 H， P 是线段 DF 的中点， FP=DP， 由题意可知 DCGF， GFP=HDP， GPF=HPD， GFPHDP， GP=HP，GF=HD， 四边形 ABCD 是菱形， CD=CB， CG=CH， CHG 是等腰三角形， PGPC， （三线合一） 又ABC=BEF=60， GCP=60， PG：PC= 3. A B C D E F 图3 A B C D E F 图2图1 F E D C B A 例 2.【解析】“中线倍长”。 延长 CE 交 BA 的延长线于点 M，作 APCM 于点
6、P， 易证DECAEM， AM=DC=AB=4，ME=CE=5， 在直角三角形 AME 中， 利用“双垂模型“可得 AP=2.4， 在直角三角形 BFM 中，利用斜边上的中线等于斜边的一半，可得 AF=AB=AM=4， sinAFE=AP：AF=0.6 例 3.【解析】 延长 DE 一倍到 M，连接 FM,BM， 则AEDBMD， 由EFM 是等腰三角形， MBBC， 利用 RtCEF、RtBMF 的勾股定理及 EF=FM 可得2+ 2= 2+ 2可得2 2 = 12 = ( + )( )， 可得 BF+CF=8, 可得 BC=8, 则 AB=10 例 4.【解析】 （1） “一线三垂直”中的
7、“二垂模型”，如图添辅助线，通过全等可得四边形 AMFG 是正方形，可得 AG=GF； M A B C D E FF E D C B A （2） “中线倍长”，延长，通过全等可得 H 是中点，NC=GF=AG，则 DG=DN，则DGN 是等腰直角三角形，由三线合 一可得 DHGN。 例 5.【解析】 （1）数学典型模型“角平分线+平行线=等腰” ， 由 BC 是角平分线，AD/BC， 可得ABE 是等腰直角三角形， 则 AE=2AB=AD， 正确； （2）由 HL 易证 RtDEHRtDEC， 可得AED=CED， 正确； （3）由DHE=90可知，若成立，则 O 即斜边的中线，只需证 OH=
8、OE、OH=OD 即可，即需证OHE=OEH、ODH= OHD,依解题思路的延续性，可从（1） 、 （2）找解决办法。 由（1）可知 AB=BE、AE=AD， 则BEA=BAE=EAD=ADE=45, 则 AD=2AH, 则 AB=AH, 则依次可得出如图 1 各个角的度数， 可得OHE=OEH、ODH=OHD, 则 OH=OE、OH=OD， 则 OE=OD， 正确； （4）要证 BH=HF，即证 H 为中点，联想到“中线倍长” ， 延长 DH 交 AB 延长线于点 G，如图 2， 由（3）可知ADG=45， 则可得ADG 是等腰直角三角形， A BC D E F G H N M H G F
9、E D CB A 由 AHDH 可知 HD=HG， 则易证DHFGHB， 则 BH=HF， 正确； （5）如图 3，设 HG 交 BC 于点 M， 由（3）可知AEB=45， 易证HME、BGM、CDM 均为等腰直角三角形， 则 BG=BM,MH=HE，CM=CD， 连 AM，易证 RtABMRtAHM， 则 BM=MH，故 BG=GM=MH=HE， 由（4）DHFGHB 可得 BG=DF， 则 BG=GM=MH=HE=DF， 由 BC-HE=BC-BM=MC=CD=CF+DF=CF+HE, BC-HE=CF+HE, 即 BC-CF=2HE， 正确； 正确结论为，故选 D 例 6.【思路分析】
10、 由AFGAFC 可得 F 是中点，进而可得 EF 是中位线，即可证明结论正确； 由AFGAFC 可得ACG=AGC,由外角定理可得ACG=ABC+BCG，再利用等量代换即可证明结论正确； 由AFGAFC 可得 AC=AG，由中位线定理可得 BG=2EF，再利用等量代换即可证明结论正确； 利用“中线倍长”及“三角形三边关系”解题即可。 【解题过程】 （1）AD 是其角平分线，CGAD， GAF=CAF,AFG=AFC, AF=AF, AFGAFC, 45 67.5 4545 67.5 22.5 22.5 67.5 45 A B C D E F H o 图1 45 图2 o H G F E D
11、C B A M 45 45 图3 o H G F E D C B A GF=CF,即 F 是 CG 的中点， AE 是中线， EF 是CBG 的中位线， EF/BG， 即 EF/AB， 正确； （2）AFGAFC, ACG=AGC, ACG=ABC+BCG， ACB-ABC=ACG+BCG-ABC =AGC+BCG-ABC =ABC+BCG+BCG-ABC=2BCG， 正确； （3）AFGAFC, AC=AG， EF 是CBG 的中位线， BG=2EF， AB-AC=AB-AG=BG=2EF, 正确； （4）延长 AE 到 H，使 HE=AE，连接 BH， AE=EH,AEC=HEB,CE=B
12、E, AECHEB, AC=BH， 在ABH 中，AB-BHAHAB+BH， 即 AB-AC2AEAB+AC， 正确； 综上所述，正确的结论是，选 A. 例 7.【解析】 H G F E D C B A 解决几何动态问题，最好的思路分析及解题方法是：解题思路的延续性 （1）思路： 连接 CF，EF、CF 分别直角三角形 DEB、CDB 斜边上的中线， 故 BD=2EF=2CF， 所以 CF=EF， 由外角性质1=2+3 及2=3 可得1=23, 同理可得4=26, 则EFC=1+4=23+26=2(3+6)=90, 即EFC 是一个等腰直角三角形， 所以CE = 2EF； 归纳： 解决此小题最
13、核心的思路与步骤是证明EFC 是一个等腰直角三角形，这一点在解决（2） （3）中一定也会是解题 关键； 依几何动态问题的基本题型特征：“两动一定”（主要条件及结论不变、图形位置发生变化） ，可知（2） （3）的 结论仍会是：CE = 2EF； （2）思路： “解题思路的延续性”+“中线倍长” 延长 EF 交 BM 于点 M，连接 CF； 易证DEFBMF， 得 EF=FM，BM=DE=AE， 由 AC=BC 便可得 CE=CM， 即CEM 是一个等腰直角三角形， 所以CE = 2 2 EM = 2EF； （3）套用（2）的解题思路： “解题思路的延续性”+“中线倍长” 延长 EF 到 M，使
14、EF=FM，连接 CM、CF、MB，只需证出CEM 是一个等腰直角三角形，所以CE = 2 2 EM = 2EF；易 证DEFBMF，得5+6=4，BM=DE=AE，则在AEC 与BMC 中，AC=BC，AE=BM，只需证1=6 便可得AEC BMC，进而可得ECM=90、CE=CM，得出CEM 是一个等腰直角三角形. 如何证1=6，利用好两条：想办法拉近1 与6 的图形位置；利用图中求角的典型模型“8 字模型”即可 证明过程： 1=45-2， 由“8 字模型”可得2+3+4=90+5，3=45， 则2=90+5-3-4=45+5-4， 1=45-2=45-（45+5-4）=4-5， 4=5+6， 1=4-5=5+6-5=6， 由 SAS 可得AECBMC， 可得 CE=CM，ACE=BCM， 由ACE+ECB=90, 可得BCM+ECB=90， 即ECM=90, CEM 是一个等腰直角三角形， 所以CE = 2 2 EM = 2EF； 1 2 34 5 6 65 4 3 2 1 M M A B C D E F 图3 A B C D E F 图2 图1 F E D C B A
