1、第第 6 6 讲讲 二次函数与三角形相似结合题型二次函数与三角形相似结合题型 【方法梳理】 两种题型 出现相似符号“ ” 出现中文字说相似 分类讨论（注意步骤书写技巧）相似性质 走“边成比例性质” 列方程求解 走“角相等性质” 三角函数或边角存在性问题 【强化巩固练习】 例 1.如图 1，已知抛物线 y=ax+bx+3 图象与 x 轴相交于 A（-3，0） ，B（1，0）两点，与 y 轴相交于点 C. （1）请直接写出抛物线的解析式为_ （2）如图 1，连接 AC，若点 P 在 y 轴上时，AP 和 4C 的夹角为 15，求线段 CP 的长; （3）如图 2，直线 l 与 x 轴相交于点 M，
2、直线 l 与线段 BC 相交于点 N，当MCNCAM 时，求直线 l 的表达式. 例 2在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 yax 2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0） ，B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，2） （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图 1，点 D 为第四象限抛物线上一点，连接 AD，BC 交于点 E，求DE AE的最大值； （3）如图 2，连接 AC，BC，过点 O 作直线 lBC，点 P，Q 分别为直线 l 和抛物线上的点，试探究：在第一象限 是否存在这样的点 P，Q，使PQBCAB若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理 由 例
3、 3.已知抛物线y = 1 2x 2 + bx + c与 x 轴交于 A(-4,0)、B 两点，与 y 轴交于点 C，且 AO=2OC. （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图 1，点 D 为第三象限抛物线上一点，连接 OD、AC 交于点 E，求DE OE的最大值； （3）如图 2，连接 AC，BC，过点 O 作直线l/AC，点 P，Q 分别为直线l和抛物线上的点，试探究：在第二象限是否 存在这样的点 P,Q，使PQACBA，若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。 例 4如图，已知抛物线 y=1 3x 2+bx+c 经过ABC 的三个顶点，其中点 A（0，1） ，
4、点 B（9，10） ，ACx 轴，点 P 是直线 AC 下方抛物线上的动点 （1）求抛物线的解析式； （2）过点 P 且与 y 轴平行的直线 l 与直线 AB、AC 分别交于点 E、F，当四边形 AECP 的面积最大时，求点 P 的坐标； （3）当点 P 为抛物线的顶点时，在直线 AC 上是否存在点 Q，使得以 C、P、Q 为顶点的三角形与ABC 相似，若存 在，求出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由 l x y o A B C 图2 例 5.如图，在矩形 OABC 中，AO=10，AB=8，沿直线 CD 折叠矩形 OABC 的一边 BC，使点 B 落在 OA 边上的点 E 处，分 别以 O
5、C，OA 所在的直线为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，抛物线 y=ax 2+bx+c 经过 O，D，C 三点. (1)求 AD 的长及抛物线的解析式； (2)一动点 P 从点 E 出发，沿 EC 以每秒 2 个单位长的速度向点 C 运动，同时动点 Q 从点 C 出发，沿 CO 以每秒 1 个 单位长的速度向点 O 运动，当点 P 运动到点 C 时，两点同时停止运动，设运动时 间为 t 秒，当 t 为何值时，以 P， Q，C 为顶点的三角形与ADE 相似？ (3)点 N 在抛物线对称轴上，点 M 在抛物线上，是否存在这样的点 M 与点 N，使以 M，N，C，E 为顶点的四边形是平 行四边形？
6、若存在，请直接写出点 M 与点 N 的坐标（不写求解过程） ；若不存在，请说明理由. 例 6.（走角题）.如图，抛物线y = ax2+ bx + c与 x 轴交于 A、B(1,0)两点，与 y 轴交于点 D，直线 AD:y=x+3，抛 物线的顶点为 C，CEAB. （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点 M，使得SACD= 3 8SMAB?若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由； （3）若点 P 为 x 轴上方的抛物线上一动点（点 P 与顶点 C 不重合） ，PQAC 于点 Q，当PCQ 与ACE 相似时，求 点 P 的坐标； 【答案详解】【答案详解】 例 1.如图 1，已
7、知抛物线 y=ax+bx+3 图象与 x 轴相交于 A（-3，0） ，B（1，0）两点，与 y 轴相交于点 C. （1）请直接写出抛物线的解析式为_ （2）如图 1，连接 AC，若点 P 在 y 轴上时，AP 和 4C 的夹角为 15，求线段 CP 的长; （3）如图 2，直线 l 与 x 轴相交于点 M，直线 l 与线段 BC 相交于点 N，当MCNCAM 时，求直线 l 的表达式. G O y x C D E B A 【解析】 （1）y = x2 2x + 3 （2）注意题目隐藏条件“CAO=45” ，即当 P 在 C 点上方时则OAP=60，当 P 在 C 点下方时则OAP=30，利用
8、特殊角的三角函数值来求解 CP 的长； 解：由抛物线解析式可得 C(0,3)， 则 OA=OC=3,则CAO=45. 当点 P 在 C 点上方时，则OAP=60， OP=OAtanOAP=3OA=33, CP=OP-OC=33-3； 当点 P 在 C 点下方时，则OAP=30， OP=OAtanOAP= 3 3 OA=3, CP=OC-OP=33； 综上所述，CP 的长为 33-3 或 33； （3）二次函数与三角形相似综合题型，此题不存在分类讨论，有两个思考角度或解题方法，分别是“走边”或“走 角” ； 【思考角度 1】 “走边” 解：由MCNCAM 可得ACM=CMN， 可得 AC/MN，
9、 由 A、C 两点坐标可得直线 AC 的解析式为 y=x+3， 则设直线 MN 的解析式为 y=x+a， 即 OM=a， 由MCNCAM 可得 MC:CA=MN:CM， 即MN = CM2 CA = a2:9 32 ， 由 MN/AC 可得 MN:AC=MB:BA， 即a 2:9 32 :32 = (a + 1):4， 解得 a=3 2或 a=3(舍去)， 直线 l 的表达式 y=x+3 2. 【思考角度 2】 “走角” 由MCNCAM 可得CAM=MCN=45，出现特殊角，而只需求出 M 点坐标即可求出直线 l 的表达式.这是二次函数 几何综合题中的典型题型“边角存在性问题”.按“边角存在性
10、问题”的典型解题思路走即可解答此题. 解：如图，作 BDBC 交 MC 于点 D，过点 B 作 y 轴的平行线，过点 C、D 作 x 轴的平分线，分别交于点 E、F 两点， 由CBD=BED=CFB=90,BDE=DCF,CD=BD, 可证BDEBCF， 则 DE=BF=3,BE=CF=1, D(-2,-1)， 设直线 CD 的解析式为 y=kx+3， 代入 D 点坐标可得 k=2， 直线 CD 的解析式为 y=2x+3， M(-3 2，0), 直线 l 的表达式 y=x+3 2. 例 2在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 yax 2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0） ，B（4，0
11、）两点，与 y 轴交于点 C（0，2） （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图 1，点 D 为第四象限抛物线上一点，连接 AD，BC 交于点 E，求DE AE的最大值； （3）如图 2，连接 AC，BC，过点 O 作直线 lBC，点 P，Q 分别为直线 l 和抛物线上的点，试探究：在第一象限 是否存在这样的点 P，Q，使PQBCAB若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理 由 【解析】 (1)设抛物线为交点式，即 y=a(x+1)(x-4)， 代入 C 点坐标，可得 a=1 2， 抛物线解析式为y = 1 2(x+1)(x-4)= 1 2x 2 3 2x 2 (2)构造
12、相似典型图形“8 字模型” ，利用相似性质把DE AE用代数式表示出来，再利用二次函数配方法求最值。 解：作 KAx 轴交直线 BC 于点 K，作 DGx 轴于点 G,交直线 BC 于点 F， 由 B(4,0)、C(0,-2)可得直线 BC 的解析式为：y=1 2x-2， 则 K（-1，-5 2） ， 则 AK=5 2， 设 D(a, 1 2a 2 3 2a 2)， 则 F(a, 1 2a-2), 则 DF=1 2a-2-( 1 2a 2 3 2a 2)= 1 2a 2 + 2a, DF/AK， DE AE = DF AK = ;1 2a 2:2a 5 2 = 1 5a 2 + 4 5a =
13、1 5(a 2) 2 + 4 5， 即当 a=2 时，DE AE有最大值为 4 5. (3)由题可知：AC2= 5，BC2= 20，AB2= 25， AC2+ BC2= AB2, ACB=90， 当PQBCAB 时，QPB=ACB=90，BP QP = BC AC = 20 5 = 2，构造“一线三垂直模型”可求解点 P 的坐标； 又直线 lBC， 直线 l 的表达式为 y=1 2x. 当 P 在 Q 点右侧时，如图， 过 P 作 MNx 轴于 N，作 QMMN 于点 M， 则QMPPNB， BN MP = PN QM = BP QP = 2 设 P(2m，m)，则 BN=2m-4，PN=m，
14、 QM=1 2m，MP=m-2， Q 点坐标为（3 2m，2m-2）, 将 Q 点坐标代入抛物线解析式中得1 2 (3 2m) 2 3 2 (3 2m) 2 = 2m 2， 解得 m=34 9 或 m=0(舍去)， P 点坐标为（68 9 ，34 9 ） ； 当 P 在 Q 点左侧时，如图， 过 P 作 MNx 轴于 N，作 QMMN 于点 M， 则QMPPNB， BN MP = PN QM = BP QP = 2 设 P(2m，m)， 则 BN=4-2m，PN=m， QM=1 2m，MP=2-m， Q 点坐标为（5 2m，2）, 将 Q 点坐标代入抛物线解析式中得1 2 (5 2m) 2 3
15、 2 (5 2m) 2 = 2， 解得 m=3:41 5 或 m=3;41 5 (舍去)， P 点坐标为（6:241 5 ，3:41 5 ） ； 综上所述，P 的坐标为（68 9 ，34 9 ）或（6:241 5 ，3:41 5 ） 例 3.已知抛物线y = 1 2x 2 + bx + c与 x 轴交于 A(-4,0)、B 两点，与 y 轴交于点 C，且 AO=2OC. （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图 1，点 D 为第三象限抛物线上一点，连接 OD、AC 交于点 E，求DE OE的最大值； （3）如图 2，连接 AC，BC，过点 O 作直线l/AC，点 P，Q 分别为直线l和抛物线上
16、的点，试探究：在第二象限是否 存在这样的点 P,Q，使PQACBA，若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。 【解析】 （1）A(-4,0)， OA=4， AO=2OC, OC=2, C(0,-2), 将 A、C 两点坐标代入y = 1 2x 2 + bx + c， 可得 1 2 16 4b + c = 0 c = 2 ， 解得b = 3 2 c = 2 ， 抛物线的函数表达式y = 1 2x 2 + 3 2x 2 （2）出现“线段比” ，构造相似三角形，利用相似性质转化成已知线段相关联；出现最值，用字母表示，利用二次 函数配方法求解。 解：作 DF/y 轴交 AC
17、于点 F， 由 A、C 的坐标可得直线 AC 的解析式为 y= 1 2x 2， 设 D(a, 1 2a 2 + 3 2a 2), 则 F（a, 1 2a-2）, DF= 1 2a-2-( 1 2a 2 + 3 2a 2)= 1 2a 2 2a， DF/OC， l x y o A B C 图2 DE OE = DF OC = ; 1 2a 2;2a 2 ， 即DE OE = 1 4a 2 a = 1 4 (a + 2)2+ 1, 1 4 0, 当 a=-2 时DE OE有最大值，最大值为 1 （3）解题经验：没图的几何题（原图并没给出 P、Q 位置） ，首先考虑分类讨论。不难发现：P 可在抛物线
18、内部（即 P 在 BQ 的左侧） ，也可在抛物线外部（即 P 在 BQ 的右侧） ， 解题经验：相似中的已知三角形，多为特殊三角形，则由 A、B、C 的坐标不难发现ABC 是以点 C 为直角顶点的 直角三角形，则对应角P 也是直角，求直角顶点的坐标，代数论证方法走的是“两直线垂直 k 值负倒数”思路， 几何论证方法走的是“构造一线三垂直模型” ，从计算的角度，首选几何方法。 解：当1 2x 2 + 3 2x 2 = 0时 x=-4 或 x=1， B(1,0)， 则AB = 5，AC = 25，BC = 5， AC2+ BC2= AB2, ACB=90, PQACBA， APQ=ACB=90,P
19、Q PA = CB AC = 5 25 = 1 2, AC/l，直线 AC 的解析式为 y= 1 2x 2， 直线l的解析式为 y= 1 2x. 当 P 在 AQ 右侧时，过点 P 作 MNx 轴于点 N，作 QMMN 于点 M，如图 4-1， 由MQP=NPA,QMP=ANP 可得QMPPNA， 则MP AN = QM PN = PQ PA = 1 2,， P 在直线l上，设 P(2m,-m)， 则 PN=-m,AN=4+2m, QM= 1 2m,MP=2+m， Q（5 2m，2） ， Q 在抛物线上，当1 2x 2 + 3 2x 2 = 2时解得 x= ;3;41 2 （正值舍去）, 则
20、m=;3;41 5 ，P（;6;241 5 ，3:41 5 ） 当 P 在 AQ 左侧时，过点 P 作 MNx 轴于点 N，作 QMMN 于点 M，如图 4-2， 由MQP=NPA,QMP=ANP 可得QMPPNA， 则MP AN = QM PN = PQ PA = 1 2,， P 在直线l上，设 P(2m,-m)， 则 PN=-m,AN=-2m-4, QM= 1 2m,MP=-m-2， Q（3 2m，-2m-2） ， Q 在抛物线上，将 Q 点坐标代入 y=1 2x 2 + 3 2x 2, 代简得9 8m 2 + 17 4 m = 0, 解得 m= 34 9 （零值舍去）, P（ 68 9
21、，34 9 ） 综上所述，P 点坐标为（;6;241 5 ，3:41 5 ）或（ 68 9 ，34 9 ）. 例 4如图，已知抛物线 y=1 3x 2+bx+c 经过ABC 的三个顶点，其中点 A（0，1） ，点 B（9，10） ，ACx 轴，点 P 是直线 AC 下方抛物线上的动点 （1）求抛物线的解析式； （2）过点 P 且与 y 轴平行的直线 l 与直线 AB、AC 分别交于点 E、F，当四边形 AECP 的面积最大时，求点 P 的坐标； （3）当点 P 为抛物线的顶点时，在直线 AC 上是否存在点 Q，使得以 C、P、Q 为顶点的三角形与ABC 相似，若存 在，求出点 Q 的坐标，若不
22、存在，请说明理由 【解析】 （1）点 A（0，1） B（9，10）在抛物线上， c = 1 1 3 81 9b + c = 10， b = 2 c = 1， 抛物线的解析式为 y=1 3x 2+2x+1， （2）ACx 轴，A（0，1） ， 1 3x 2+2x+1=1， x1=6，x2=0， 点 C 的坐标（6，1） ， 点 A（0，1） B（9，10） ， 直线 AB 的解析式为 y=x+1， 设点 P（m，1 3m 2+2m+1） ， E（m，m+1） PE=m+1（1 3m 2+2m+1）=1 3m 23m， ACEP，AC=6， S四边形 AECP=SAEC+SAPC=1 2ACEF+
23、 1 2ACPF= 1 2AC（EF+PF）= 1 2ACPE= 1 26（ 1 3m 23m）=m29m=（m+9 2） 2+81 4 ， 6m0， 当 m=9 2时，四边形 AECP 的面积的最大值是 81 4 ，此时点 P（9 2， 5 4） ； （3）y=1 3x 2+2x+1=1 3（x+3） 22， P（3，2） ， PF=yFyP=3，CF=xFxC=3， PF=CF， PCF=45同理可得：EAF=45， PCF=EAF， 在直线 AC 上存在满足条件的 Q， 设 Q（t，1）且 AB=92，AC=6，CP=32, 以 C、P、Q 为顶点的三角形与ABC 相似， 当CPQABC
24、 时，CQ AC = CP AB， |t:6| 6 = 32 92，t=4 或 t=8（不符合题意，舍）Q（4，1） 当CQPABC 时，CQ AB = CP AC， |t:6| 92 = 32 6 ，t=3 或 t=15（不符合题意，舍）Q（3，1） 综上所述，Q 点坐标为（-4，1）或（3，1） 例 5.如图，在矩形 OABC 中，AO=10，AB=8，沿直线 CD 折叠矩形 OABC 的一边 BC，使点 B 落在 OA 边上的点 E 处，分 别以 OC，OA 所在的直线为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，抛物线 y=ax 2+bx+c 经过 O，D，C 三点. (1)求 AD 的长及抛
25、物线的解析式； (2)一动点 P 从点 E 出发，沿 EC 以每秒 2 个单位长的速度向点 C 运动，同时动点 Q 从点 C 出发，沿 CO 以每秒 1 个 单位长的速度向点 O 运动，当点 P 运动到点 C 时，两点同时停止运动，设运动时 间为 t 秒，当 t 为何值时，以 P， Q，C 为顶点的三角形与ADE 相似？ (3)点 N 在抛物线对称轴上，点 M 在抛物线上，是否存在这样的点 M 与点 N，使以 M，N，C，E 为顶点的四边形是平 行四边形？若存在，请直接写出点 M 与点 N 的坐标（不写求解过程） ；若不存在，请说明理由. 【解析】 （1）解：四边形 ABCO 为矩形， OAB
26、=AOC=B=90，AB=CO=8，AO=BC=10 由题意，得BDCEDC B=DEC=90，EC=BC=10，ED=BD 由勾股定理易得 EO=6 AE=106=4， 设 AD=x，则 BD=ED=8x， 由勾股定理，得 x 2+42=（8x）2 ， 解得，x=3， AD=3 抛物线 y=ax 2+bx+c 过点 D（3，10） ，C（8，0） ，O（0,0,） 9a + 3b = 10 64a + 8b = 0 c = 0 解得 a = 2 3 b = 16 3 抛物线的解析式为：y= 2 3x 2+16 3 x （2）DEA+OEC=90，OCE+OEC=90， DEA=OCE， 由（
27、1）可得 AD=3，AE=4，DE=5 而 CQ=t，EP=2t，PC=102t 当PQC=DAE=90，ADEQPC， CQ EA = C ED，即 t 4 = 10;2t 5 ， 解得 t=40 3 当QPC=DAE=90，ADEPQC， PC AE = CQ ED，即 10;2t 4 = t 5， 解得 t=25 7 当 t=40 13或 25 7 时，以 P、Q、C 为顶点的三角形与ADE 相似 （3）解：假设存在符合条件的 M、N 点，分两种情况讨论： EC 为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过 EC 中点， 若四边形 MENC 是平行四边形，那么 M 点必为抛物线顶点； 则
28、：M（4，32 3 ） ； 而平行四边形的对角线互相平分，那么线段 MN 必被 EC 中点（4，3）平分，则 N（4， 14 3 ） ； EC 为平行四边形的边，则 EC/MN，EC=MN， 设 N（4，m） ，则 M（48，m+6）或 M（4+8，m6） ； 将 M（4，m+6）代入抛物线的解析式中，得：m=38， 此时 N（4，38） 、M（4，32） ； 将 M（12，m6）代入抛物线的解析式中，得：m=26， 此时 N（4，2 6） 、M（12，32） 综上，存在符合条件的 M、N 点，且它们的坐标为： M1（4，32） ，N1（4，38） M2（12，32） ，N2（4，26） M3
29、（4，32 3 ） ，N3（4， 14 3 ） 例 6.（走角题）.如图，抛物线y = ax2+ bx + c与 x 轴交于 A、B(1,0)两点，与 y 轴交于点 D，直线 AD:y=x+3，抛 物线的顶点为 C，CEAB. （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点 M，使得SACD= 3 8SMAB?若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由； （3）若点 P 为 x 轴上方的抛物线上一动点（点 P 与顶点 C 不重合） ，PQAC 于点 Q，当PCQ 与ACE 相似时，求 点 P 的坐标； 【解析】 （1）求解析式，基础简单题； 由 y=x+3 可得 A(-3,0),D(0
30、,3), 设二次函数解析式为y = a(x+ 3)(x 1)， 代入 D 点坐标，可得 a=-1， 二次函数解析式为y = x2 2x + 3. （2）二次函数与面积问题，中等难度题； 由（1）可得顶点 C 的坐标为（-1，4） ， 设 CE 与 AD 交于点 G， G O y x C D E B A 图1 H F Q P G O y x C D E B AM 图2 F Q P A B E D C x y O 则 G（-1，2） ，CG=2， 则SACD= 1 2OA CG = 3, SMAB= 8, SMAB= 1 2AB |yM| = 1 2 4 |yM| = 8, |yM| = 4, 当
31、yM= 4，即x2 2x + 3 = 4，解得 x=-1，即 M 的坐标为（-1，4） ； 当yM= 4，即x2 2x + 3 = 4，解得 x=1 22，即 M 的坐标为（1 22，4） ； 综上所述，M 点的坐标为（-1，4） 、 （1 + 22，4） 、 （1 22，4） ； （3）二次函数与相似问题，压轴性质小题. 由于AEC=PQC=90，所以PCQ 与ACE 相似存在以下两种情形： 当EACQPC 时，如图 1， 作 FAAC 交 CP 的延长线于点 F， 作 FHx 轴于点 H， 则EACAFC, 则 CE:AE=CA:AF=4:2=2, 易证EACHFA， 则 CA:AF=AE
32、:HF=EC:AH， 可得 FH=1,AH=2, 则 OH=5, 则 F(-5,1)， C（-1，4） ，F(-5,1)， 可得直线 CF 的解析式为：y = 3 4x + 19 4 , 解联立方程组 y = 3 4x + 19 4 y = x2 2x + 3 ， 可得x = 1 y = 4 (舍去)、 x = 7 4 y = 55 16 ， P 点坐标为（ 7 4， 55 16）. 当EACQCP 时，如图 2， 则EAC=QCP， 由可知ACF=AEC, ACF+ACP=90, 即 PCCF， 由可知直线 CF 的解析式为：y = 3 4x + 19 4 ， 设直线 CP 的解析式为：y = 4 3x + b， 代入 C 点坐标，可得 b=8 3， 则直线 CM 的解析式为：y = 4 3x + 8 3， 解联立方程组 y = 4 3x + 8 3 y = x2 2x + 3 ， 可得x = 1 y = 4 (舍去)、 x = 1 3 y = 20 9 ， P 点坐标为（1 3， 20 9 ）.综上所述，P 点坐标为（ 7 4， 55 16） 、 （ 1 3， 20 9 ）.
