1、第第 5 5 讲讲 三角函数应用题三角函数应用题 【方法梳理】 1.总体解题思路不管是勾股定理的运用、还是三角函数的运用，都离不开直角三角形，所以当把题目条件落 实到图上去后，此类应用题一个最大的解题关键是：寻找已知条件与所求条件存在的直角三角形，如果没有， 作辅助线构造。 2.具体解题思路一个已知角、确定一个 Rt、用一次三函数； 3.计算注意为避免计算误差，把握一个原则：只在最后的计算结果上取近似值，计算过程中尽管保留根号或分 数，遇到到除不尽时，小数点后保留几位，要参照题目所提供参数的近似取值标准，不要按题目要求的精确方法 取近似值，另也可通过列综合式，把计算留到最后，也可避免计算误差。
2、 【强化巩固练习】 1.如图，把一根 4.5 米长的竹竿斜靠在石坝旁，量出竹竿长 1 米时它离地面的高度是 0.6 米，又量得竿顶与坝脚的 距离 BC=2.8 米，CBF 记作，则下列式子正确的是（ ） A. sin = 27 28 B. cos = 27 28 C. sin = 21 28 D. cos = 21 28 2.如图， 数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度， 在点 D 处测得旗杆顶端端点 A 的仰角ADE 为 55， 测角仪 CD 的高度为 1 米，其底端 C 与旗杆底端 B 之间的距离为 6 米，设旗杆 AB 的高度为 x 米，则下列关系式正确 的是（ ） A. ta
3、n55= 6 x1 B. tan55= x1 6 C. sin55=x1 6 D. cos55=x1 6 3如图所示，游客到某知名景区大门后，需要先在大门口 A 处乘坐缆车从空中索道行走约 2000 米到达 B 处，再沿 坡度为 1：4 的水泥路从 B 处步行约 1000 米到 C 处才能到达景区的景点已知该索道与地面的夹角是 37，求景点 C 比景区大门 A 高约多少米 （注：结果精确到 0.1 米参考数据：sin370.601，cos370.7997，tan37 0.7536，52.236，153.873，174.123） 4.如图，从楼层底部 B 处测得旗杆 CD 的顶端 D 处的仰角是
4、 53，从楼层顶部 A 处测得旗杆 CD 的顶端 D 处的仰角是 45，已知楼层 AB 的楼高为 3 米求旗杆 CD 的高度约为多少米?（参考数据 sin534 5，cos53 3 5，tan53 4 3） 5如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树 BH 和教学楼 CG 的高，先在 A 处用高 2 米的测角仪测得古树顶端 H 的仰 角HDE 为 45，此时教学楼顶端 G 恰好在视线 DH 上，再向前走 6 米到达 B 处，又测得教学楼顶端 G 的仰角 GEF 为 60，点 A、B、C 三点在同一水平线上 （1）计算古树 BH 的高； （2）计算教学楼 CG 的高 （结果保留根号） 6.今年深圳经济
5、特区成立40周年，为纪念这一伟大的历史时刻，不少市民纷纷来到福田莲花山公园的邓小平雕像 前送鲜花。 小明所在的兴趣小组站在广场的A， B处用一定高度的测角仪分别于D， E处测得雕像顶部 C 的仰角为30 ， 45 ， （如图 ） 已知A， B的距离约为27.3 m ， 雕像下的基座GH 约为4 m ， 求邓小平雕像CH 的高度。 （取31.73 ） 3045 H A B DE F G C 7.某兴趣小组借助无人飞机航拍校园如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得 A处的仰角为75，B处的仰角为30已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度（结果保留
6、 根号） 8.如图，AB 是一座高为 60(3+3)米的办公大楼，快递小哥在 AB 的 D 处操作无人机进行快递业务，这时在另外一座 楼房的 C 处有人要寄快递，已知 C 与 D 在同一水平线上，从 A 看 C 的仰角为 30，从 B 看 C 的俯角为 45， （1）请求出 C 与 D 的水平距离 CD ； （2）已知 D 出信号发射器的信号只能覆盖周围 150 米范围内，若无人机以 10 米每秒的速度沿着 AC 飞向 C 处取快 递，请问当无人机飞行多长时间后会出现接收不到信号的危险？（结果保留根号） 9.深圳市某学校数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，如图，此时无人机在
7、离地面 30 米 的点 D 处，操控者站在点 A 处，无人机测得点 A 的俯角为 30，测得教学楼楼顶点 C 处的俯角为 45，又经过人 工测量得到操控者和教学楼 BC 间的距离为 57 米，求教学楼 BC 的高度（3 1.7） 10.某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为 30，山高 857.5 尺，组员从山脚 D 处沿山坡向着雕像方向前进 1620 尺到达 E 点，在点 E 处测得雕像顶端 A 的仰 角为 60，求雕像 AB 的高度 【答案详解】【答案详解】 1. 【解析】 作 CFAB 于点 F，则AD DE = AC CF,即 1
8、 0.6 = 4.5 CF，CF=2.7m,sin= CF BC = 2.7 2.8 = 27 28，故选 A 2.【解析】由题可知：BE=CD=1,BC=DE=6,AB=x，则 AE=x-1，则 tan55=x1 6 ，故选 B 3 【解析】 作 BDAM 于点 D，作 CEAM 于点 E，作 BFCE 于点 F，得 RtABD，RtBCF，矩形 BDEF.则 AB=2000 米，BC=1000 米，CF:BF=1:4,BD=ABsin3720000.60181203.6 米，EF=BD1203.6 米，设 CF=x，则 BF=4x，CF2+ BF2= BC2,x2+ 16x2= 10002
9、,100017242.5 米，即 CF242.5 米，CE=CF+EF,CE1446.1 米 景点 C 比景区大门 A 高约 1446.1 米. 4.【解析】 作 AECD 于 E 点，由题意可知:DAE=45,DBC=53,AB=3, 设 BC=AE=DE=x，则 DC=3+x，tan53= 4 3，即： 3+ 4 3，x9,则 DC3+912，答:旗杆 CD 的高度约为 12 米， 5 【解析】 （1）由题可知 AD=BE=2 米，DE=6 米，EDH 是等腰直角三角形，则 EH=DE=6 米，BH=8 米； （2） 设 GF=x 米， 在 RtEFG 中， 由 tan60= x EF可得
10、 EF= 3 3 x， 由 EH/CG 可得DE DF = EH GF， 即 6 6+ 3 3 x = 6 x， 解得： x=9+33, CG=9+33+2=11+33 6.【解析】如图所示，在RtCGD中,CDG=30；RtCGE中, CEG=45；令CG=x，则DG=3x，EG=x； DE=AB=3x+x=27.3CG=x10 CH=10-4=6 答：邓小平雕像高约 6 米 7.【解析】 求无人机的飞机高度，必作辅助线 BHCH 于点 H，出现一个直角三角形，可以用三角函数求边的长度；但是题目已 知线段 AB=4 8 = 32 米不在这个直角三角形中，说明必须把 B 的位置往下转移。由AC
11、H=75，BCH=30， 可得ACB=45，出现 45角又需作辅助线的，依第九条解题经验，便易知该作 ADBC 于 D，利用 RtACD、Rt ADB，把 AB 边的长度转移到 RtBCH 中，便可解决问题。 解：如图，作 ADBC，BH水平线，由题意ACH=75，BCH=30，ABCH ，ABC=30, ACB=45 AB=48=32m，AD=CD=ABsin30=16m，BD=ABcos30=16 3 m，BC=CD+BD=16+16 3 m， BH=BCsin30=（8+8 3 ）m 8.【解析】 （1）由已知得DAC=60,DBC=45,ADC=90,设 AD=xm,在 RtADC 中
12、，tanDAC=CD AD,CD=ADtan DAC=xtan60=3x，在 RtBCD 中，BCD=90-DBC=45=DBC,BD=CD=3x,AB=AD+BD, x+3x=60(3+3),解得 x=603,CD=3x=180m 答：C 与 D 的水平距离 CD 为 180m （2）过点 D 作 DEAC 于点 E，设无人机飞到 F 处时出现接收不到信号的危险，连接 DF，则 DF=150，在 RtADE 中，sinDAC=DE AD,cosDAC= AE AD,DE=ADsinDAC=603sin60=90, AE=ADcosDAC=603cos60=303,在 Rt DEF 中，EF=
13、DF2 DE2= 1502 902= 120，AF=AE+EF=303+120,t=AF 10 = 303+120 10 = 33 + 12 答：当无人机飞行(33 + 12)秒后会出现接收不到信号的危险 9.【解析】 如图， 作 DEAB 于点 E， 作 CFDE 于点 F， 由题可知：AB=57 米，DE=30 米， A=30,DCF=45,在 RtADE 中， 由 tanA=tan30=DE AE = 30 AE = 3 3 可得 AE=303米,由题易得四边形 CFEB 是矩形， 则 CF=EB=AB-AE=57-303,在 RtCFD 中，由 tanDCF=tan45=DF CF = 1可得 DF=CF=(57-303)米,BC=EF=DE-DF=303-2724 米 10.【解析】 如图，过点 E 作 EFAC，EGCD，在 RtDEG 中，DE=1620，D=30，EG=DEsinD=16201 2=810， BC=857.5，CF=EG，BF=BCCF=47.5，在 RtBEF 中，tanBEF= ，EF=3BF，在 RtAEF 中， AEF=60，设 AB=x，tanAEF= ，AF=EFtanAEF，x+47.5=347.5，x=95， 答：雕像 AB 的高度为 95 尺
