第13讲 二次函数几何综合压轴题 重点题型针对训练(含答案)2021年北师大版中考数学二轮复习

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资源描述

1、第第 1313 讲讲 二次函数几何综合压轴题二次函数几何综合压轴题 【思路方法】 1.总体解题思路 2.总体解题方法 (1)代数论证方法 (2)几何论证方法 3.具体思考角度 【点】 交点联立方程解答; 图像上的点代入法或依解析式设点的坐标; 中点中点坐标公式; 【直线】 正常情况“待定系数法” 平行线K 值相等; 垂直线K 值负倒数; 【线段】 点的坐标表示水平或垂直线段一定遵循“右减左、上减下”原则,不明确时加上绝对值; 利用两点间的距离公式表示或计算线段长度; 利用有关几何性质表示或计算线段长度; 距离或高点到直线的距离公式: 如 P(m,n)到直线 y=kx+b 的距离或高,先把直线的

2、函数表达式变形为方程形式:kx-y+b=0,代入公式 公式: = |;:| 1:2 线段比或线段积利用相似三角形性质转化 【角】 三角函数Rt“一线三垂直模型” 等角性质如等边对等角、平行、全等或相似性质等 和差倍分角首先转化成某角的具体度数或一对等角; 【三角形】 等腰三角形一定要结合“边(腰)相等” 、“底边三线合一”这两性质展开分析思考; 直角三角形一定要利用好直角走 “一线三垂直模型” 、 “垂直 k 值负倒数” 、 “勾股定理”等思路; 三角形相似一定要抓住相似性质“对应边成比例” 、 “对应角相似” 、 “面积比等于相似比平方”等思路; 【特殊四边形】 平行四边形 代数对角线平行+

3、中点坐标公式; 几何:作垂线,走全等; 菱形 代数对角线平行+中点坐标公式+邻边相等; 几何:对角线垂直,走 Rt+邻边相等; 矩形 代数对角线平行+中点坐标公式+邻边垂直; 几何:对角线相等,走 Rt; 【最值】 单一线段最值 代数字母表示,走二次函数配方; 几何:三个特殊位置法,走点到直线距离;转化成将军饮马问题; 线段和差(周长)最值 代数字母表示,走二次函数配方; 几何:三个特殊位置法,走点到直线距离;转化成将军饮马问题; 面积最值 代数字母表示,走二次函数配方; 几何:转化成高或底的线段最值问题; 定值 代数字母表示,约分成具体数值; 几何:利用相似等几何性质,转化成与已知线段相联系

4、; 【面积方法】“铅垂法” 、 “割补法” 、 “公式法” 、 “相似的面积比或不相似时平行线间的底之比” 【强化巩固练习】 1在平面直角坐标系中,抛物线 yax 2bxc 经过点 A、B、C,已知 A(1,0) ,B(6,0) ,C(0,6) (1)求此抛物线的函数表达式; (2)若点 D 为第四象限内抛物线上一动点,当BCD 面积最大时,求BCD 面积最大值; (3)在 x 轴上是否存在点 M,使OCMACO45,若存在,请求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由 2.如图 1, 抛物线 = 1 4 2 + + 与 x 轴负半轴交于点 A, 与 x 轴正半轴交于点 B, 与 y 轴负半轴交

5、于点 C, OC=OB=10. (1)求抛物线解析式; (2)点 P,Q 在第四象限内抛物线上,点 P 在点 Q 下方,连接 CP,CQ,OCP+OCQ=180,设点 Q 的横坐标为 m, 点 P 的横坐标为 n,求 m 与 n 的函数关系式; (3)如图 2,在(2)的条件下,连接 AP 交 CO 于点 D,过点 Q 作 QEAB 于点 E,连接 BQ,DE,是否存在点 P,使 AED=2EQB,若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由。 D C B A o y x 3. 已知抛物线 = 2 3 4( 0,且),( 1 ymP与), 5( 2 yQ是该抛物线上的两点,且 21 yy

6、,求 m 的取值范围; (3)如图 11,当 a=1 时,该抛物线 与 x 轴分别交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,D 是直线 BC 下方抛物线上的一 个动点,AD 交 BC 于点 E,设点 E 的横坐标为 n,记 = ,当 n 为何值时,S 取最大值?并求出 S 的最大值. 6.如图 1, 抛物线y = ax2+ 2x + c与 x 轴交于点 A,B, 与 y 轴交于点 C(0,3), 连接 BC, 抛物线的对称轴为直线 x=1, 且与 BC 交于点 D,与 x 轴交于点 E. (1)求抛物线的解析式; (2)如图 2,把DEB 绕点 D 顺时针旋转 60得到DMN,求证:点 M 在

7、抛物线上; (3)如图 3,点 P 是抛物线上的动点,连接 PN,BN,当PNB=30时,请直接写出直线 PN 的解析式. 7在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 yax 2+bx+c 与 x 轴交于 A(1,0) ,B(4,0)两点,与 y 轴交于点 C (0,2) (1)求抛物线的函数表达式; (2)如图 1,点 D 为第四象限抛物线上一点,连接 AD,BC 交于点 E,求DE AE的最大值; (3)如图 2,连接 AC,BC,过点 O 作直线 lBC,点 P,Q 分别为直线 l 和抛物线上的点,试探究:在第一象限 是否存在这样的点 P,Q,使PQBCAB若存在,请求出所有符合条件的点

8、 P 的坐标;若不存在,请说明理 由 8.如图 1,直线yx2与x轴交于点B ,与y轴交于点C ,抛物线yax2 bx c(a 0)经过点A, B,C, 点 A 的坐标为(1,0) (1)求二次函数yax2 bxc(a0)的表达式; (2)抛物线的图像上是否存在点P,使得PCB 15 ,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由; (3)如图2,直线BC上有一动点D,连接AD,将线段AD绕点D顺时针旋转90 得到线段DE ,连接AE,BE当AEBE 取最小值时,若以A ,B ,E ,F为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出E点和F点的坐标 9.如图 1,抛物线 = 2 3 + 与 x 轴交于

9、点( -1,0),与 y 轴交于点 B(0,3 ) ,在线段 OA 上有一动点 E (不 与 O 、A 重合) ,过点 E 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N,交抛物线于点 P. (1)分别求出抛物线和直线 AB 的函数表达式; (2)连接 PA 、PB ,求PAB 面积的最大值,并求出此时点 P 的坐标; (3)如图 2,点 E(2,0),将线段 OE 绕点 O 逆时针旋转得到 OE,旋转角为 (090),连接 EA 、EB, 求 EA+2 3EB 的最小值 10.已知二次函数 = 2+ + 的图像与 x 轴交于 A(-3,0),B(1,0)两点,与 y 轴交于点 C(0,-3). (1

10、)求二次函数的解析式; (2)D 是二次函数图像上位于第三象限内的点,求点 D 到直线 AC 的距离最大值时点 D 的坐标; (3)M 是二次函数图像对称轴上的点,在二次函数图像上是否存在点 N,使以 M、N、B、O 为顶点的四边形是平行 四边形?若有,请直接写出点 N 的坐标 11如图 1,已知抛物线y 3 9 (x3)(x43)与 x 轴交于A、B两点,与y轴交于点C (1)(3 分)写出A、B、C三点的坐标 (2)(4 分)若点P为OBC内一点,求OPBPCP的最小值 (3)(3 分)如图 2,点Q为对称轴左侧抛物线上一动点,点D(4,0),直线DQ分别与y轴、 直线AC交于E、F两点,

11、当CEF为等腰三角形时,请直接写出CE的长 x y 图2 F E A C O B D Q x y 图1 A C O PB 【答案详解】【答案详解】 1在平面直角坐标系中,抛物线 yax 2bxc 经过点 A、B、C,已知 A(1,0) ,B(6,0) ,C(0,6) (1)求此抛物线的函数表达式; (2)若点 D 为第四象限内抛物线上一动点,当BCD 面积最大时,求BCD 面积最大值; (3)在 x 轴上是否存在点 M,使OCMACO45,若存在,请求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由 【解析】 (1)设交点式,代入点 B 坐标即可得抛物线解析式:y = x2 5x 6 (2) “铅垂法”

12、+配方法解题。 如图 1 作 DE/y 轴交 BC 于点 E, 设 D(a, a2 5a 6), 由 B,C 可得直线 BC 的解析式为 y=x-6, 则 E(a,a-6) , 则 DE=a-6-(a2 5a 6)= a2+ 6a, 则SBCD= 1 2OB DE = 1 2 6( a2+ 6a) = 3a2+ 18a = 3(a 3)2+ +27, 当 a=3 时,SBCD有最大值,最大值为 27. (3)二次函数典型题型:点角存在性问题。先把角的和差问题转化成一个角的问题,再按点角存在性问题的典型 思路解题。 由 B,C 两点坐标可知,OCB=45, 当点 M 在 y 轴右侧时,OCMAC

13、O45,OCM+BCM=45, ACO=BCM, 则 tanACO=tanBCM=OA OC = 1 6, 作 BFBC 交 CM 于点 F,过 B 作 GPx 轴,作 FGGP 于点 G,作 CPGP 于点 P, 则由“一线三垂直模型”易得FGBBPC, 则FG BP = GB CP = FB BC = tanBCM = 1 6, CP=BP=6, FG=GB=1, F(5,1), D C B A o y x 直线 CF 的表达式为 y=7 5x 6, M(30 7 ,0) 作 M 关于点 O 的对称点 M,连接 CM, 则OCM=OCM, 由OCMACO45 可得OCMACO45, 点 M

14、符合题目要求, 则 M( 30 7 ,0) 综上所述,点 M 的坐标为(30 7 ,0)或(-30 7 ,0) 2.如图 1, 抛物线 = 1 4 2 + + 与 x 轴负半轴交于点 A, 与 x 轴正半轴交于点 B, 与 y 轴负半轴交于点 C, OC=OB=10. (1)求抛物线解析式; (2)点 P,Q 在第四象限内抛物线上,点 P 在点 Q 下方,连接 CP,CQ,OCP+OCQ=180,设点 Q 的横坐标为 m, 点 P 的横坐标为 n,求 m 与 n 的函数关系式; (3)如图 2,在(2)的条件下,连接 AP 交 CO 于点 D,过点 Q 作 QEAB 于点 E,连接 BQ,DE

15、,是否存在点 P,使 AED=2EQB,若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由。 【解析】 (1)由 OC=OB=10 可得 C(0,-10),B(10,0), 代入可得抛物线解析式为: = 1 4 2 3 2 10 (2)作 QMy 轴交于点 M,作 PNy 轴交于点 N, 图1 D C B A o y x E M GF 图2 D C B A o y x P x y A B C P Q o 图1 E D x y A B C P Q o 图2 设 Q(m, 1 4 2 3 2 10),P(n, 1 4 2 3 2 10), OCP+OCQ=180,OCP+PCN=180, OCQ=P

16、CN, tanOCQ=tanPCN, = ,即 1 4 2;3 2 = ;1 4 2:3 2 , 整理得:m=-n+12 (3)先把倍角转化为等角,再按点角性问题解题 作 EH 平分AED,则EQB=AEH, 则 tanAEH=tanEQB= 4 :4 , 由角平分线性质联想到辅助线:作 HAx 轴交 EH 于点 H,作 HMED 交 ED 延长线于点 M, 由对角平分线的对称性质可得 AE=EM=m+4,HM=AH=4, 作 HNy 轴于点 N, 则 ON=AH=4,HN=OA=4, 由 HM=HN=4,DH=DH 可证HNDHMD, 可得 MD=DN,作 PFx 轴于点 F, 则 tanF

17、AP= = = 4 = ;1 4 2:3 2:10 :4 = ;10 ;4 , OD=10-n, m=-n+12, OD=m-2, DM=DN=OD-ON=m-6, DE=EM-DM=m+4-(m-6)=10, 在 RtODE 中,由2+ 2= 2可列方程为: 2+ (10 )2= 102, 即(12 )2+ (10 )2= 102, 解得 n=4 或 18(舍去), P(4,-12) N 图3 o MQ P C B A y x 图4 y x o Q P N M H FE D C B A 3. 已知抛物线 = 2 3 4( 0,且),( 1 ymP与), 5( 2 yQ是该抛物线上的两点,且

18、21 yy ,求 m 的取值范围; (6)如图 11,当 a=1 时,该抛物线 与 x 轴分别交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,D 是直线 BC 下方抛物线上的一 个动点,AD 交 BC 于点 E,设点 E 的横坐标为 n,记 = ,当 n 为何值时,S 取最大值?并求出 S 的最大值. 【解析】 (1)对称轴是直线 x=1;顶点坐标为(1,-4a). (2)a0,当 x1 时,y 随 x 的增大而增大. 当点 P 位于对称轴的右侧,即当 m1 时, 1 2, m5; 当点 P 位于对称轴的左侧,即当 m5, o B C A D x y G F E 图3 R H o B C A D x

19、 y G F E 图4 解得 m-3; m 的取值范围是 m5. (3)当 a=1 时抛物线的解析式为 = 2 2 3. 当 y=0 时2 2 3 = 0, 解得1= 3,2= 1, A(-1,0),B(3,0), 当 x=0 时 y=-3, C(0,-3), 直线 BC 的解析式为:y=x-3. 过点 A 作 AF/y 轴交直线 BC 于点 F,作 HD/y 轴交直线 BC 于点 G,交 x 轴于点 D, 则DEGAEF, = = = , A(-1,0), F(-1,4), AF=4, 设 D(a,2 2 3), 则 G(a,a-3), DG=a-3-(2 2 3)=2+ 3, S=; 2:

20、3 4 = 1 4( 3 2) 2 + 9 16, 1 40, 当 a=3 2时,S 有最大值,且最大值为 9 16, 此时点 D 的坐标为(3 2, 15 4 ). 直线 AD 的解析式为:y=-3 2x- 3 2, 联立方程y = 3 2x 3 2 = 3 , 解得 = 3 5 = 4 5 ,n=3 5. 当 n=3 5时,S 取最大值,最大值为 9 16. 6.如图 1, 抛物线y = ax2+ 2x + c与 x 轴交于点 A,B, 与 y 轴交于点 C(0,3), 连接 BC, 抛物线的对称轴为直线 x=1, 且与 BC 交于点 D,与 x 轴交于点 E. (1)求抛物线的解析式;

21、(2)如图 2,把DEB 绕点 D 顺时针旋转 60得到DMN,求证:点 M 在抛物线上; (3)如图 3,点 P 是抛物线上的动点,连接 PN,BN,当PNB=30时,请直接写出直线 PN 的解析式. 【解析】 (1)由对称轴 x=1 可知 b 2a = 1 a = 1, 则 a=-1, 由 C 点坐标可得 c=3, 抛物线解析式为y = x2+ 2x + 3 (2)由抛物线解析式可知, 当 y=0 时x2+ 2x + 3=0 ,解得x1= 1,x2= 3, A(-1,0),B(3,0), 由 C(0,3),B(3,0)可得直线 BC 的解析式为 y=-x+3, 则 D(1,2),E(1,0

22、), 则 DE=2, 由旋转性质可得MDE=60,MD=DE=2, 延长 DM 交 x 轴交于点 G,作 MHx 轴于点 H, 则G=30, 在 RtGDE 中由 DE=2, 可得 GD=4,DE=23, 则 GM=2, 由 MH/DE 可得 GH:GE=MH:DE=GM:GD=2:4, 则可得 MH=1,EH=3, OH=3 1, M(1-3,1), 当 x=1-3时x2+ 2x + 3 = (1 3) 2 + 2(1 3) + 3 = 1, 点 M 在抛物线上; (3)如图 5,过点 M 作 QRx 轴,作 DQQR 于 Q,作 NRQR 于点 R, 由题可知DEB 为等腰直角三角形, 则

23、MDN 是等腰直角三角形, 则DQMMRN, 则 MR=DQ=3,RN=MQ=1, N(2 3, 1 3), 由题可知 DB=DN,BDN=60, DNB 是等边三角形, 当 P 点在 B 点上方时, PNB=30, 由等边三角形“三线合一”性质可知 NP 垂直平分线段 DB, 则题可知EDB 是等腰直角三角形, E 点在线段 BD 的垂直平分线 NP 上, 由 N、E 的坐标可得直线 NP 的解析式为 y=x-1; 当 P 点在 B 点下方时, PNB=30,DNB=60, DNP=90, 由 D、N 两点坐标可得直线 DN 的解析式为:y = (2 + 3)x 3, 设直线 NP 的解析式

24、为y = (2 + 3)x + b, 代入 N 点坐标可得 b=8-53, 直线 NP 的解析式为y = (2 + 3)x + 8 53, 综上所述,直线 PN 的解析式为 y=x-1 或y = (2 + 3)x + 8 53 7在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 yax 2+bx+c 与 x 轴交于 A(1,0) ,B(4,0)两点,与 y 轴交于点 C (0,2) (1)求抛物线的函数表达式; (2)如图 1,点 D 为第四象限抛物线上一点,连接 AD,BC 交于点 E,求DE AE的最大值; (3)如图 2,连接 AC,BC,过点 O 作直线 lBC,点 P,Q 分别为直线 l 和

25、抛物线上的点,试探究:在第一象限 是否存在这样的点 P,Q,使PQBCAB若存在,请求出所有符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理 由 【解析】(1)设抛物线为交点式, 即 y=a(x+1)(x-4), 代入 C 点坐标, 可得 a=1 2, 抛物线解析式为y = 1 2(x+1)(x-4)= 1 2x 2 3 2x 2 (2)构造相似典型图形“8 字模型” ,利用相似性质把DE AE用代数式表示出来,再利用二次函数配方法求最值。 作 KAx 轴交直线 BC 于点 K,作 DGx 轴于点 G,交直线 BC 于点 F, 由 B(4,0)、C(0,-2)可得直线 BC 的解析式为:y=1 2

26、x-2, 则 K(-1,-5 2) , 则 AK=5 2, 设 D(a, 1 2a 2 3 2a 2), 则 F(a, 1 2a-2),则 DF= 1 2a-2-( 1 2a 2 3 2a 2)= 1 2a 2 + 2a, DF/AK, DE AE = DF AK = ;1 2a 2:2a 5 2 = 1 5a 2 + 4 5a = 1 5(a 2) 2 + 4 5, 即当 a=2 时,DE AE有最大值为 4 5. (3)由题可知:AC2= 5,BC2= 20,AB2= 25, AC2+ BC2= AB2, ACB=90, 当PQBCAB 时, QPB=ACB=90,BP QP = BC A

27、C = 20 5 = 2, 构造“一线三垂直模型”可求解点 P 的坐标; 又直线 lBC, 直线 l 的表达式为 y=1 2x. 当 P 在 Q 点右侧时,如图, 过 P 作 MNx 轴于 N,作 QMMN 于点 M, 则QMPPNB, BN MP = PN QM = BP QP = 2 设 P(2m,m), 则 BN=2m-4,PN=m, QM=1 2m,MP=m-2, Q 点坐标为(3 2m,2m-2), 将 Q 点坐标代入抛物线解析式中得1 2 (3 2m) 2 3 2 (3 2m) 2 = 2m 2, 解得 m=34 9 或 m=0(舍去), P 点坐标为(68 9 ,34 9 ) ;

28、 当 P 在 Q 点左侧时,如图, 过 P 作 MNx 轴于 N,作 QMMN 于点 M, 则QMPPNB, BN MP = PN QM = BP QP = 2 设 P(2m,m), 则 BN=4-2m,PN=m, QM=1 2m,MP=2-m, Q 点坐标为(5 2m,2), 将 Q 点坐标代入抛物线解析式中得1 2 (5 2m) 2 3 2 (5 2m) 2 = 2, 解得 m=3:41 5 或 m=3;41 5 (舍去), P 点坐标为(6:241 5 ,3:41 5 ) ; 综上所述,P 的坐标为(68 9 ,34 9 )或(6:241 5 ,3:41 5 ) 8.如图 1,直线yx2

29、与x轴交于点B ,与y轴交于点C ,抛物线yax2 bx c(a 0)经过点A, B,C, 点 A 的坐标为(1,0) (1)求二次函数yax2 bxc(a0)的表达式; (2)抛物线的图像上是否存在点P,使得PCB 15 ,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由; (3)如图2,直线BC上有一动点D,连接AD,将线段AD绕点D顺时针旋转90 得到线段DE ,连接AE,BE当AEBE 取最小值时,若以A ,B ,E ,F为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出E点和F点的坐标 【解析】 (1)直线 y=-x+2 与 x 轴交于点 B,与 y 轴交于点 C, B(2,0) ,C(0,2) 抛

30、物线交 x 轴于 A,B 两点, 设抛物线解析式为 y=a(x+1)(x-2) 代入点 C(0,2), 解得 a=-1, 抛物线解析式为 = ( + 1)( 2) = 2+ + 2 (2)分以下两种情况: 当点 P 在 BC 的下方时, 设 CP 交 x 轴于点 Q, 则OCQ=OCB-PCB=45-15=30, 在 RtOCQ 中,tanOCQ= = 2 = 3 3 , OQ=23 3 ,Q(23 3 ,0) 直线 CQ 的解析式为: = 3 + 2, 联立,得 = 3 + 2 = 2+ + 2, 解得 P(3 + 1,- 3-1) 当点 P 在 BC 的上方时, 设 CP 交x轴于点 Q,

31、 则OCQ=OCB+PCB=45+15=60, 在 RtOCQ 中,tanOCQ= = 2 = 3, OQ=23,Q(23,0) 直线 CQ 的解析式为: = 3 3 + 2, 联立,得 = 3 3 + 2 = 2+ + 2 , 解得 P(3:3 3 , ;3:5 3 ) 综上所述:P 的坐标为(3 + 1,- 3-1)或(3:3 3 , ;3:5 3 ) (3)先用“三点特殊位置法”确定动点 E 的运动路线(注意利用CBA=45) ,再利用“将军饮马问题”求出最小值 时 E 点的坐标; 当 D 与 B 重合时, 则 DEAB,且 DE=AB, 则 E(3,3), 当 E 与在直线直线上时,

32、则 AEAB,且 AE=AB, 则 E(-1,3), 则可以确定点 E 在直线 y=3 上运动, 作点 B 关于直线 y=3 的对称点 B(2,6), 连接 AB,交直线 y=3 于点 E, 此时 AE+BE 有最小值, 则直线 AB的解析式为: = 2 + 2, 当 y=3 时 x=1 2,E( 1 2,3), 即当 AE+BE 最小时,E(1 2,3), A(-1,0)、B(2,0)、E(1 2,3), 以 AB 为对角线时, = 1 + 2 1 2 = 1 2 = 0 + 0 3 = 3,F( 1 2,-3); 以 AE 为对角线时, = 1 + 1 2 2 = 5 2 = 0 + 3

33、0 = 3 ,F( 5 2,3); 以 BE 为对角线时, = 2 + 1 2 (1) = 7 2 = 0 + 3 0 = 3 ,F( 7 2,3) 综上所述,当AEBE取最小值时,若以A ,B ,E ,F为顶点的四边形是平行四边形,E(1 2,3),F 点的坐标为 (1 2,-3)、 ( 5 2,3)或( 7 2,3) 9.如图 1,抛物线 = 2 3 + 与 x 轴交于点( -1,0),与 y 轴交于点 B(0,3 ) ,在线段 OA 上有一动点 E (不 与 O 、A 重合) ,过点 E 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N,交抛物线于点 P. (1)分别求出抛物线和直线 AB 的函数

34、表达式; (2)连接 PA 、PB ,求PAB 面积的最大值,并求出此时点 P 的坐标; (3)如图 2,点 E(2,0),将线段 OE 绕点 O 逆时针旋转得到 OE,旋转角为 (090),连接 EA 、EB, 求 EA+2 3EB 的最小值 【解析】 : (1)抛物线 = 2 3 + 与 x 轴交于点(-1,0),与 y 轴交于点 B(0,3), 则有 = 3 + 3 + = 0, 解得 = 3 4 = 3 , 抛物线解析式为: = 3 4 2 + 9 4 + 3, 令 y=0,则 3 4 2 + 9 4 + 3 = 0, 解得 x=4 或 x=-1, A(4,0),B(0,3), 设直线

35、 AB 的解析式为 y=kx+b,则 = 3 4 + = 0 , 解得 = 3 4 = 3 , 直线 AB 的解析式为 y= 3 4x+3 (2)如图 1 中,设 P(x, 3 4 2 + 9 4 + 3), 则 N(x, 3 4x+3) , 则设PAB 的面积为 S, 则 S= + = 1 2 = 1 2 4 ( 3 4 2 + 9 4 + 3 + 3 4x 3) = 3 2 2 + 6 = 3 2 ( 2)2+ 6, 3 20,S 随 x 的增大而减小, 当 x=2 时,S 有最大值,且最大值为 6, 此时 P 点坐标为(2,9 2) (3)点 E 在圆上运动,故是“阿氏圆”问题,构造“共

36、角模型”的相似三角形关键在于:使半径成为比例中项; 如图 2 中,在 y 轴上取一点 M , 使得 OM =4 3, 连接 AM, 在 AM上取一点 E,使得 OE=OE OE = 2,OMOB=4 33=4, 2= , = , BOE=EOB, MOEEOB, = = 2 3, ME=2 3BE, AE+2 3BE=AE+EM=AM, 此时 AE +2 3BE 最小(两点间线段最短,A、M、E共线时) , 最小值=AM=42+ (4 3) 2 = 410 3 10.已知二次函数 = 2+ + 的图像与 x 轴交于 A(-3,0),B(1,0)两点,与 y 轴交于点 C(0,-3). (1)求

37、二次函数的解析式; (2)D 是二次函数图像上位于第三象限内的点,求点 D 到直线 AC 的距离最大值时点 D 的坐标; (3)M 是二次函数图像对称轴上的点,在二次函数图像上是否存在点 N,使以 M、N、B、O 为顶点的四边形是平行 四边形?若有,请直接写出点 N 的坐标 【解析】 (1)设二次函数解析为交点式:y=a(x+3)(x-1), 代入 C 点坐标, 可得 a=1, y=(x+3)(x-1)= 2+ 2 3 (2)由于 AC 是固定长, 当 D 到直线 AC 的距离最大时, 此时DAC 的面积最大, 设直线 AC 的解析式为 y=kx+b, 代入 A,C 两点坐标可得 k=-1,b

38、=-3, 直线 AC 的解析式为 y=-x-3, 作 DG/y 轴交 AC 于点 G, 设 D(a, 2+ 2 3), 则 G(a,-a-3), DG=-a-3-(2+ 2 3)= 2 3, 则 = 1 2 = 1 2 3( 2 3) = 3 2( + 3 2) 2 + 27 8 , 当 a= 3 2时 有最大值, 即 D 到直线 AC 的距离最大, 此时 D 点坐标为( 3 2, 15 4 ). (3)此题正确的方法是代数法 由题可知 O(0,0),B(1,0),设 M(-1,a) 当 OB 为平行四边形对角线时,xN = xO+ xB xM= 2 , 把 x=2 代入二次函数解析式中,得

39、y=-5, N(2,-5), ; 当 OM 为平行四边形对角线时,xN = xO+ xM xB= 2 , 把 x=-2 代入二次函数解析式中,得 y=-3, N(-2,-3), 当 BM 为平行四边形对角线时,xN = xB+ xM xO= 0 , 把 x=0 代入二次函数解析式中,得 y=-3, N(0,-3), 综上所述,N 的坐标为(2,-5) 、 (-2,-3)或(2,5) 11如图 1,已知抛物线y 3 9 (x3)(x43)与 x 轴交于A、B两点,与y轴交于点C (1)(3 分)写出A、B、C三点的坐标 (2)(4 分)若点P为OBC内一点,求OPBPCP的最小值 (3)(3 分

40、)如图 2,点Q为对称轴左侧抛物线上一动点,点D(4,0),直线DQ分别与y轴、 直线AC交于E、F两点,当CEF为等腰三角形时,请直接写出CE的长 【解析】 (1)当 3 9 (x3)(x43)=0, 解得 x=-3 或 43, A(-3,0),B(43,0), 当 x=0 时,y= 3 9 3 (43)=4, C(0,4). (2)小题的解题过程: 由 OB、OC 的长可得OBC=30, 则OBC=90, 由 OC=4,OB=43, 可得 BC=BC=8, 由勾股定理可得最小值 OC=47, (3)分三种情况一一论证,解题时,一定要利用好分类讨论题型的特征(一种情况简单、一种情况中等、一

41、种情况较难) ,每一种先画出草图,再确定由易到难的顺序依次解答,至少要得到 2 分, 当 CE=CF 时,如图 1;当 CE=EF 时,如图 2;当 EF=FC 时,如图 3;由于等腰三角形添辅助线首先会联想 到“三线合一” ,即作底边的垂线,而图 3 的垂线是往坐标轴作,故更符合平常解等腰三角形的图形习惯,故 先解图 3,其余按图 3 的添辅助线方法及解题思路过程解答,这样解题的速度会快很多。 当O、P、P、C四点共线时, 这三折线成一直线段,则PO+PC+PB =OP+PC+PP=OC,即是最小值。 将BPC绕点B顺时针旋转60,得 BPP为等边三角形, 这样可使PO、PC(PC)、PB(

42、PP) 形成连接的三段折线 C C P P O B C P P C B O x y 图2 F E A C O B D Q x y 图1 A C O PB 当 EF=FC 时,如图 3, 作 FMEC 于点 M, 则 EM=MC, 设 EM=MC=a, 由 MF/OA 可得 MF:OA=CM:OC, 即 MF:3=a:4, 可得 MF=3 4a, 由 MF/OD 可得 MF:OD=EM:OE, 即3 4a:4=a:(4+2a), 解得 a=2 3, 则 CE=2a=4 3 当 CE=CF 时,如图 1; 作 FMEC 于点 M, 设 CE=CF=m, 由 OA=3,OC=4 可得 CF=5, 由

43、 MF/OA 可得 CM:OC=MF:OA=CF:CA, 即 CM:4=MF:3=m:5, 可得 CM=4 5m,MF= 3 5m, 由 MF/OD 可得 MF:OD=ME:OE, 即 ME:(4-m)=3 5m:4= 3 20m, ME=3(4;) 20 , 由 OE+ME+CM=OC=4 可列方程为: 4-m+3(4;) 20 +4 5m=4, 解得 m=8 3, 则 CE=8 3 当 CE=EF 时,如图 2, 作 FMEC 于点 M,但按上述思路解,计算量太大,放弃,思考代数方法。 作 AG/DF 交 y 轴于点 G,如图 4, 由ECF 是等腰, 易得GAC 也是等腰, 设 OG=n, 则 AG=CG=4-n, 在 RtOAG 中,由勾股定理可得:32+ 2= (4 )2, 解得 n=7 8, 则 G(0, 7 8), 由 A、G 坐标可得直线 AG 的解析式为 y= 7 24x+ 7 8, 由 AG/DF 可设直线 DF 的解析式为 y= 7 24x+b, 代入 D 点坐标可得址 DF 的解析式为 7 24x 7 6, E(0, 7 6), OE=7 6, CE=31 6 综上所述,CE 的长度为4 3、 8 3或 31 6 .

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