1、第第 1313 讲讲 二次函数几何综合压轴题二次函数几何综合压轴题 【思路方法】 1.总体解题思路 2.总体解题方法 （1）代数论证方法 （2）几何论证方法 3.具体思考角度 【点】 交点联立方程解答； 图像上的点代入法或依解析式设点的坐标； 中点中点坐标公式； 【直线】 正常情况“待定系数法” 平行线K 值相等； 垂直线K 值负倒数； 【线段】 点的坐标表示水平或垂直线段一定遵循“右减左、上减下”原则，不明确时加上绝对值； 利用两点间的距离公式表示或计算线段长度； 利用有关几何性质表示或计算线段长度； 距离或高点到直线的距离公式： 如 P(m,n)到直线 y=kx+b 的距离或高,先把直线的
2、函数表达式变形为方程形式：kx-y+b=0，代入公式 公式： = |;:| 1:2 线段比或线段积利用相似三角形性质转化 【角】 三角函数Rt“一线三垂直模型” 等角性质如等边对等角、平行、全等或相似性质等 和差倍分角首先转化成某角的具体度数或一对等角； 【三角形】 等腰三角形一定要结合“边(腰)相等” 、“底边三线合一”这两性质展开分析思考； 直角三角形一定要利用好直角走 “一线三垂直模型” 、 “垂直 k 值负倒数” 、 “勾股定理”等思路； 三角形相似一定要抓住相似性质“对应边成比例” 、 “对应角相似” 、 “面积比等于相似比平方”等思路； 【特殊四边形】 平行四边形 代数对角线平行+
3、中点坐标公式； 几何：作垂线，走全等； 菱形 代数对角线平行+中点坐标公式+邻边相等； 几何：对角线垂直，走 Rt+邻边相等； 矩形 代数对角线平行+中点坐标公式+邻边垂直； 几何：对角线相等，走 Rt； 【最值】 单一线段最值 代数字母表示，走二次函数配方； 几何：三个特殊位置法，走点到直线距离；转化成将军饮马问题； 线段和差（周长）最值 代数字母表示，走二次函数配方； 几何：三个特殊位置法，走点到直线距离；转化成将军饮马问题； 面积最值 代数字母表示，走二次函数配方； 几何：转化成高或底的线段最值问题； 定值 代数字母表示，约分成具体数值； 几何：利用相似等几何性质，转化成与已知线段相联系
4、； 【面积方法】“铅垂法” 、 “割补法” 、 “公式法” 、 “相似的面积比或不相似时平行线间的底之比” 【强化巩固练习】 1在平面直角坐标系中，抛物线 yax 2bxc 经过点 A、B、C，已知 A（1，0） ，B（6，0） ，C（0，6） （1）求此抛物线的函数表达式； （2）若点 D 为第四象限内抛物线上一动点，当BCD 面积最大时，求BCD 面积最大值； （3）在 x 轴上是否存在点 M，使OCMACO45，若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 2.如图 1， 抛物线 = 1 4 2 + + 与 x 轴负半轴交于点 A， 与 x 轴正半轴交于点 B， 与 y 轴负半轴交
5、于点 C， OC=OB=10. （1）求抛物线解析式； （2）点 P,Q 在第四象限内抛物线上，点 P 在点 Q 下方，连接 CP,CQ，OCP+OCQ=180，设点 Q 的横坐标为 m， 点 P 的横坐标为 n，求 m 与 n 的函数关系式； （3）如图 2，在（2）的条件下，连接 AP 交 CO 于点 D，过点 Q 作 QEAB 于点 E，连接 BQ，DE，是否存在点 P，使 AED=2EQB，若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。 D C B A o y x 3. 已知抛物线 = 2 3 4( 0,且),( 1 ymP与), 5( 2 yQ是该抛物线上的两点，且 21 yy
6、，求 m 的取值范围； （3）如图 11，当 a=1 时，该抛物线 与 x 轴分别交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，D 是直线 BC 下方抛物线上的一 个动点，AD 交 BC 于点 E，设点 E 的横坐标为 n，记 = ，当 n 为何值时，S 取最大值？并求出 S 的最大值. 6.如图 1， 抛物线y = ax2+ 2x + c与 x 轴交于点 A,B， 与 y 轴交于点 C(0,3)， 连接 BC， 抛物线的对称轴为直线 x=1， 且与 BC 交于点 D，与 x 轴交于点 E. （1）求抛物线的解析式； （2）如图 2，把DEB 绕点 D 顺时针旋转 60得到DMN，求证：点 M 在
7、抛物线上； (3)如图 3，点 P 是抛物线上的动点，连接 PN,BN,当PNB=30时，请直接写出直线 PN 的解析式. 7在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 yax 2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0） ，B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C （0，2） （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图 1，点 D 为第四象限抛物线上一点，连接 AD，BC 交于点 E，求DE AE的最大值； （3）如图 2，连接 AC，BC，过点 O 作直线 lBC，点 P，Q 分别为直线 l 和抛物线上的点，试探究：在第一象限 是否存在这样的点 P，Q，使PQBCAB若存在，请求出所有符合条件的点
8、 P 的坐标；若不存在，请说明理 由 8.如图 1，直线yx2与x轴交于点B ，与y轴交于点C ，抛物线yax2 bx c(a 0)经过点A， B，C， 点 A 的坐标为(1,0) （1）求二次函数yax2 bxc(a0)的表达式； （2）抛物线的图像上是否存在点P，使得PCB 15 ，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，直线BC上有一动点D，连接AD，将线段AD绕点D顺时针旋转90 得到线段DE ，连接AE，BE当AEBE 取最小值时，若以A ，B ，E ，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出E点和F点的坐标 9.如图 1，抛物线 = 2 3 + 与 x 轴交于
9、点( -1,0),与 y 轴交于点 B(0,3 ) ,在线段 OA 上有一动点 E （不 与 O 、A 重合） ，过点 E 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N，交抛物线于点 P. （1）分别求出抛物线和直线 AB 的函数表达式； （2）连接 PA 、PB ，求PAB 面积的最大值，并求出此时点 P 的坐标； （3）如图 2，点 E(2,0)，将线段 OE 绕点 O 逆时针旋转得到 OE，旋转角为 (090)，连接 EA 、EB， 求 EA+2 3EB 的最小值 10.已知二次函数 = 2+ + 的图像与 x 轴交于 A(-3,0),B(1,0)两点，与 y 轴交于点 C(0,-3). （1
10、）求二次函数的解析式； （2）D 是二次函数图像上位于第三象限内的点，求点 D 到直线 AC 的距离最大值时点 D 的坐标； （3）M 是二次函数图像对称轴上的点，在二次函数图像上是否存在点 N，使以 M、N、B、O 为顶点的四边形是平行 四边形？若有，请直接写出点 N 的坐标 11如图 1，已知抛物线y 3 9 (x3)(x43)与 x 轴交于A、B两点，与y轴交于点C （1）(3 分)写出A、B、C三点的坐标 （2）(4 分)若点P为OBC内一点，求OPBPCP的最小值 （3）(3 分)如图 2，点Q为对称轴左侧抛物线上一动点，点D(4，0)，直线DQ分别与y轴、 直线AC交于E、F两点，
11、当CEF为等腰三角形时，请直接写出CE的长 x y 图2 F E A C O B D Q x y 图1 A C O PB 【答案详解】【答案详解】 1在平面直角坐标系中，抛物线 yax 2bxc 经过点 A、B、C，已知 A（1，0） ，B（6，0） ，C（0，6） （1）求此抛物线的函数表达式； （2）若点 D 为第四象限内抛物线上一动点，当BCD 面积最大时，求BCD 面积最大值； （3）在 x 轴上是否存在点 M，使OCMACO45，若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 【解析】 （1）设交点式，代入点 B 坐标即可得抛物线解析式：y = x2 5x 6 （2） “铅垂法”
12、+配方法解题。 如图 1 作 DE/y 轴交 BC 于点 E， 设 D(a, a2 5a 6)， 由 B,C 可得直线 BC 的解析式为 y=x-6， 则 E（a,a-6） ， 则 DE=a-6-(a2 5a 6)= a2+ 6a, 则SBCD= 1 2OB DE = 1 2 6( a2+ 6a) = 3a2+ 18a = 3(a 3)2+ +27， 当 a=3 时，SBCD有最大值，最大值为 27. （3）二次函数典型题型：点角存在性问题。先把角的和差问题转化成一个角的问题，再按点角存在性问题的典型 思路解题。 由 B,C 两点坐标可知，OCB=45, 当点 M 在 y 轴右侧时，OCMAC
13、O45，OCM+BCM=45, ACO=BCM， 则 tanACO=tanBCM=OA OC = 1 6， 作 BFBC 交 CM 于点 F，过 B 作 GPx 轴，作 FGGP 于点 G，作 CPGP 于点 P， 则由“一线三垂直模型”易得FGBBPC， 则FG BP = GB CP = FB BC = tanBCM = 1 6, CP=BP=6， FG=GB=1, F(5,1), D C B A o y x 直线 CF 的表达式为 y=7 5x 6, M(30 7 ，0) 作 M 关于点 O 的对称点 M，连接 CM， 则OCM=OCM， 由OCMACO45 可得OCMACO45， 点 M
14、符合题目要求， 则 M( 30 7 ，0) 综上所述，点 M 的坐标为(30 7 ，0)或(-30 7 ，0) 2.如图 1， 抛物线 = 1 4 2 + + 与 x 轴负半轴交于点 A， 与 x 轴正半轴交于点 B， 与 y 轴负半轴交于点 C， OC=OB=10. （1）求抛物线解析式； （2）点 P,Q 在第四象限内抛物线上，点 P 在点 Q 下方，连接 CP,CQ，OCP+OCQ=180，设点 Q 的横坐标为 m， 点 P 的横坐标为 n，求 m 与 n 的函数关系式； （3）如图 2，在（2）的条件下，连接 AP 交 CO 于点 D，过点 Q 作 QEAB 于点 E，连接 BQ，DE
15、，是否存在点 P，使 AED=2EQB，若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。 【解析】 （1）由 OC=OB=10 可得 C(0,-10),B(10,0)， 代入可得抛物线解析式为： = 1 4 2 3 2 10 （2）作 QMy 轴交于点 M，作 PNy 轴交于点 N， 图1 D C B A o y x E M GF 图2 D C B A o y x P x y A B C P Q o 图1 E D x y A B C P Q o 图2 设 Q(m, 1 4 2 3 2 10),P(n, 1 4 2 3 2 10)， OCP+OCQ=180，OCP+PCN=180， OCQ=P
16、CN， tanOCQ=tanPCN， = ，即 1 4 2;3 2 = ;1 4 2:3 2 ， 整理得：m=-n+12 （3）先把倍角转化为等角，再按点角性问题解题 作 EH 平分AED，则EQB=AEH， 则 tanAEH=tanEQB= 4 :4 ， 由角平分线性质联想到辅助线：作 HAx 轴交 EH 于点 H，作 HMED 交 ED 延长线于点 M， 由对角平分线的对称性质可得 AE=EM=m+4，HM=AH=4， 作 HNy 轴于点 N， 则 ON=AH=4,HN=OA=4, 由 HM=HN=4,DH=DH 可证HNDHMD， 可得 MD=DN，作 PFx 轴于点 F， 则 tanF
17、AP= = = 4 = ;1 4 2:3 2:10 :4 = ;10 ;4 ， OD=10-n， m=-n+12， OD=m-2， DM=DN=OD-ON=m-6， DE=EM-DM=m+4-(m-6)=10， 在 RtODE 中，由2+ 2= 2可列方程为： 2+ (10 )2= 102， 即(12 )2+ (10 )2= 102， 解得 n=4 或 18(舍去)， P(4,-12) N 图3 o MQ P C B A y x 图4 y x o Q P N M H FE D C B A 3. 已知抛物线 = 2 3 4( 0,且),( 1 ymP与), 5( 2 yQ是该抛物线上的两点，且
18、21 yy ，求 m 的取值范围； （6）如图 11，当 a=1 时，该抛物线 与 x 轴分别交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，D 是直线 BC 下方抛物线上的一 个动点，AD 交 BC 于点 E，设点 E 的横坐标为 n，记 = ，当 n 为何值时，S 取最大值？并求出 S 的最大值. 【解析】 (1)对称轴是直线 x=1；顶点坐标为（1，-4a）. (2)a0,当 x1 时，y 随 x 的增大而增大. 当点 P 位于对称轴的右侧，即当 m1 时， 1 2, m5； 当点 P 位于对称轴的左侧，即当 m5, o B C A D x y G F E 图3 R H o B C A D x
19、 y G F E 图4 解得 m-3； m 的取值范围是 m5. (3)当 a=1 时抛物线的解析式为 = 2 2 3. 当 y=0 时2 2 3 = 0， 解得1= 3，2= 1， A(-1,0),B(3,0)， 当 x=0 时 y=-3， C(0,-3)， 直线 BC 的解析式为：y=x-3. 过点 A 作 AF/y 轴交直线 BC 于点 F，作 HD/y 轴交直线 BC 于点 G，交 x 轴于点 D， 则DEGAEF， = = = ， A(-1,0), F(-1,4), AF=4, 设 D(a，2 2 3)， 则 G(a,a-3)， DG=a-3-(2 2 3)=2+ 3, S=; 2:
20、3 4 = 1 4( 3 2) 2 + 9 16， 1 40, 当 a=3 2时，S 有最大值，且最大值为 9 16， 此时点 D 的坐标为（3 2， 15 4 ）. 直线 AD 的解析式为：y=-3 2x- 3 2， 联立方程y = 3 2x 3 2 = 3 ， 解得 = 3 5 = 4 5 ，n=3 5. 当 n=3 5时，S 取最大值,最大值为 9 16. 6.如图 1， 抛物线y = ax2+ 2x + c与 x 轴交于点 A,B， 与 y 轴交于点 C(0,3)， 连接 BC， 抛物线的对称轴为直线 x=1， 且与 BC 交于点 D，与 x 轴交于点 E. （1）求抛物线的解析式；
21、（2）如图 2，把DEB 绕点 D 顺时针旋转 60得到DMN，求证：点 M 在抛物线上； (3)如图 3，点 P 是抛物线上的动点，连接 PN,BN,当PNB=30时，请直接写出直线 PN 的解析式. 【解析】 （1）由对称轴 x=1 可知 b 2a = 1 a = 1， 则 a=-1， 由 C 点坐标可得 c=3， 抛物线解析式为y = x2+ 2x + 3 （2）由抛物线解析式可知， 当 y=0 时x2+ 2x + 3=0 ,解得x1= 1,x2= 3, A(-1,0),B(3,0), 由 C(0,3),B(3,0)可得直线 BC 的解析式为 y=-x+3， 则 D(1,2),E(1,0
22、), 则 DE=2， 由旋转性质可得MDE=60,MD=DE=2, 延长 DM 交 x 轴交于点 G，作 MHx 轴于点 H， 则G=30， 在 RtGDE 中由 DE=2， 可得 GD=4,DE=23， 则 GM=2， 由 MH/DE 可得 GH:GE=MH:DE=GM:GD=2:4， 则可得 MH=1,EH=3, OH=3 1, M(1-3,1)， 当 x=1-3时x2+ 2x + 3 = (1 3) 2 + 2(1 3) + 3 = 1, 点 M 在抛物线上； （3）如图 5，过点 M 作 QRx 轴，作 DQQR 于 Q，作 NRQR 于点 R， 由题可知DEB 为等腰直角三角形， 则
23、MDN 是等腰直角三角形， 则DQMMRN， 则 MR=DQ=3,RN=MQ=1, N(2 3, 1 3), 由题可知 DB=DN，BDN=60, DNB 是等边三角形， 当 P 点在 B 点上方时， PNB=30， 由等边三角形“三线合一”性质可知 NP 垂直平分线段 DB， 则题可知EDB 是等腰直角三角形， E 点在线段 BD 的垂直平分线 NP 上， 由 N、E 的坐标可得直线 NP 的解析式为 y=x-1； 当 P 点在 B 点下方时， PNB=30，DNB=60， DNP=90， 由 D、N 两点坐标可得直线 DN 的解析式为：y = (2 + 3)x 3， 设直线 NP 的解析式
24、为y = (2 + 3)x + b， 代入 N 点坐标可得 b=8-53, 直线 NP 的解析式为y = (2 + 3)x + 8 53， 综上所述，直线 PN 的解析式为 y=x-1 或y = (2 + 3)x + 8 53 7在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 yax 2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0） ，B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C （0，2） （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图 1，点 D 为第四象限抛物线上一点，连接 AD，BC 交于点 E，求DE AE的最大值； （3）如图 2，连接 AC，BC，过点 O 作直线 lBC，点 P，Q 分别为直线 l 和
25、抛物线上的点，试探究：在第一象限 是否存在这样的点 P，Q，使PQBCAB若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理 由 【解析】(1)设抛物线为交点式， 即 y=a(x+1)(x-4)， 代入 C 点坐标， 可得 a=1 2， 抛物线解析式为y = 1 2(x+1)(x-4)= 1 2x 2 3 2x 2 (2)构造相似典型图形“8 字模型” ，利用相似性质把DE AE用代数式表示出来，再利用二次函数配方法求最值。 作 KAx 轴交直线 BC 于点 K，作 DGx 轴于点 G,交直线 BC 于点 F， 由 B(4,0)、C(0,-2)可得直线 BC 的解析式为：y=1 2
26、x-2， 则 K（-1，-5 2） ， 则 AK=5 2， 设 D(a, 1 2a 2 3 2a 2)， 则 F(a, 1 2a-2),则 DF= 1 2a-2-( 1 2a 2 3 2a 2)= 1 2a 2 + 2a, DF/AK， DE AE = DF AK = ;1 2a 2:2a 5 2 = 1 5a 2 + 4 5a = 1 5(a 2) 2 + 4 5， 即当 a=2 时，DE AE有最大值为 4 5. (3)由题可知：AC2= 5，BC2= 20，AB2= 25， AC2+ BC2= AB2, ACB=90， 当PQBCAB 时， QPB=ACB=90，BP QP = BC A
27、C = 20 5 = 2， 构造“一线三垂直模型”可求解点 P 的坐标； 又直线 lBC， 直线 l 的表达式为 y=1 2x. 当 P 在 Q 点右侧时，如图， 过 P 作 MNx 轴于 N，作 QMMN 于点 M， 则QMPPNB， BN MP = PN QM = BP QP = 2 设 P(2m，m)， 则 BN=2m-4，PN=m， QM=1 2m，MP=m-2， Q 点坐标为（3 2m，2m-2）, 将 Q 点坐标代入抛物线解析式中得1 2 (3 2m) 2 3 2 (3 2m) 2 = 2m 2， 解得 m=34 9 或 m=0(舍去)， P 点坐标为（68 9 ，34 9 ） ；
28、 当 P 在 Q 点左侧时，如图， 过 P 作 MNx 轴于 N，作 QMMN 于点 M， 则QMPPNB， BN MP = PN QM = BP QP = 2 设 P(2m，m)， 则 BN=4-2m，PN=m， QM=1 2m，MP=2-m， Q 点坐标为（5 2m，2）, 将 Q 点坐标代入抛物线解析式中得1 2 (5 2m) 2 3 2 (5 2m) 2 = 2， 解得 m=3:41 5 或 m=3;41 5 (舍去)， P 点坐标为（6:241 5 ，3:41 5 ） ； 综上所述，P 的坐标为（68 9 ，34 9 ）或（6:241 5 ，3:41 5 ） 8.如图 1，直线yx2
29、与x轴交于点B ，与y轴交于点C ，抛物线yax2 bx c(a 0)经过点A， B，C， 点 A 的坐标为(1,0) （1）求二次函数yax2 bxc(a0)的表达式； （2）抛物线的图像上是否存在点P，使得PCB 15 ，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，直线BC上有一动点D，连接AD，将线段AD绕点D顺时针旋转90 得到线段DE ，连接AE，BE当AEBE 取最小值时，若以A ，B ，E ，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出E点和F点的坐标 【解析】 （1）直线 y=-x+2 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C， B（2，0） ，C(0,2) 抛
30、物线交 x 轴于 A，B 两点， 设抛物线解析式为 y=a(x+1)(x-2) 代入点 C(0,2)， 解得 a=-1， 抛物线解析式为 = ( + 1)( 2) = 2+ + 2 （2）分以下两种情况： 当点 P 在 BC 的下方时， 设 CP 交 x 轴于点 Q， 则OCQ=OCB-PCB=45-15=30， 在 RtOCQ 中，tanOCQ= = 2 = 3 3 ， OQ=23 3 ,Q(23 3 ,0) 直线 CQ 的解析式为： = 3 + 2， 联立，得 = 3 + 2 = 2+ + 2， 解得 P(3 + 1,- 3-1) 当点 P 在 BC 的上方时， 设 CP 交x轴于点 Q，
31、 则OCQ=OCB+PCB=45+15=60， 在 RtOCQ 中，tanOCQ= = 2 = 3， OQ=23,Q(23,0) 直线 CQ 的解析式为： = 3 3 + 2， 联立，得 = 3 3 + 2 = 2+ + 2 ， 解得 P(3:3 3 , ;3:5 3 ) 综上所述：P 的坐标为(3 + 1,- 3-1)或(3:3 3 , ;3:5 3 ) (3)先用“三点特殊位置法”确定动点 E 的运动路线（注意利用CBA=45） ，再利用“将军饮马问题”求出最小值 时 E 点的坐标； 当 D 与 B 重合时， 则 DEAB，且 DE=AB， 则 E(3,3)， 当 E 与在直线直线上时，
32、则 AEAB，且 AE=AB， 则 E(-1,3)， 则可以确定点 E 在直线 y=3 上运动， 作点 B 关于直线 y=3 的对称点 B(2,6)， 连接 AB，交直线 y=3 于点 E， 此时 AE+BE 有最小值， 则直线 AB的解析式为： = 2 + 2, 当 y=3 时 x=1 2,E( 1 2，3)， 即当 AE+BE 最小时，E(1 2，3)， A(-1,0)、B(2,0)、E(1 2，3)， 以 AB 为对角线时， = 1 + 2 1 2 = 1 2 = 0 + 0 3 = 3，F（ 1 2，-3)； 以 AE 为对角线时， = 1 + 1 2 2 = 5 2 = 0 + 3
33、0 = 3 ，F（ 5 2，3)； 以 BE 为对角线时， = 2 + 1 2 (1) = 7 2 = 0 + 3 0 = 3 ，F（ 7 2，3) 综上所述，当AEBE取最小值时，若以A ，B ，E ，F为顶点的四边形是平行四边形，E(1 2，3)，F 点的坐标为 （1 2，-3)、 （ 5 2，3)或（ 7 2，3) 9.如图 1，抛物线 = 2 3 + 与 x 轴交于点( -1,0),与 y 轴交于点 B(0,3 ) ,在线段 OA 上有一动点 E （不 与 O 、A 重合） ，过点 E 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N，交抛物线于点 P. （1）分别求出抛物线和直线 AB 的函数
34、表达式； （2）连接 PA 、PB ，求PAB 面积的最大值，并求出此时点 P 的坐标； （3）如图 2，点 E(2,0)，将线段 OE 绕点 O 逆时针旋转得到 OE，旋转角为 (090)，连接 EA 、EB， 求 EA+2 3EB 的最小值 【解析】 ： （1）抛物线 = 2 3 + 与 x 轴交于点(-1,0),与 y 轴交于点 B(0,3), 则有 = 3 + 3 + = 0, 解得 = 3 4 = 3 ， 抛物线解析式为： = 3 4 2 + 9 4 + 3， 令 y=0，则 3 4 2 + 9 4 + 3 = 0， 解得 x=4 或 x=-1, A(4,0),B(0,3), 设直线
35、 AB 的解析式为 y=kx+b，则 = 3 4 + = 0 ， 解得 = 3 4 = 3 ， 直线 AB 的解析式为 y= 3 4x+3 （2）如图 1 中，设 P(x, 3 4 2 + 9 4 + 3)， 则 N(x, 3 4x+3) , 则设PAB 的面积为 S， 则 S= + = 1 2 = 1 2 4 ( 3 4 2 + 9 4 + 3 + 3 4x 3) = 3 2 2 + 6 = 3 2 ( 2)2+ 6， 3 20，S 随 x 的增大而减小， 当 x=2 时，S 有最大值，且最大值为 6， 此时 P 点坐标为（2，9 2） （3）点 E 在圆上运动，故是“阿氏圆”问题,构造“共
36、角模型”的相似三角形关键在于：使半径成为比例中项； 如图 2 中，在 y 轴上取一点 M ， 使得 OM =4 3， 连接 AM， 在 AM上取一点 E，使得 OE=OE OE = 2，OMOB=4 33=4, 2= , = , BOE=EOB, MOEEOB, = = 2 3, ME=2 3BE, AE+2 3BE=AE+EM=AM, 此时 AE +2 3BE 最小（两点间线段最短,A、M、E共线时） ， 最小值=AM=42+ (4 3) 2 = 410 3 10.已知二次函数 = 2+ + 的图像与 x 轴交于 A(-3,0),B(1,0)两点，与 y 轴交于点 C(0,-3). （1）求
37、二次函数的解析式； （2）D 是二次函数图像上位于第三象限内的点，求点 D 到直线 AC 的距离最大值时点 D 的坐标； （3）M 是二次函数图像对称轴上的点，在二次函数图像上是否存在点 N，使以 M、N、B、O 为顶点的四边形是平行 四边形？若有，请直接写出点 N 的坐标 【解析】 （1）设二次函数解析为交点式：y=a(x+3)(x-1)， 代入 C 点坐标， 可得 a=1， y=(x+3)(x-1)= 2+ 2 3 （2）由于 AC 是固定长， 当 D 到直线 AC 的距离最大时， 此时DAC 的面积最大， 设直线 AC 的解析式为 y=kx+b， 代入 A,C 两点坐标可得 k=-1,b
38、=-3， 直线 AC 的解析式为 y=-x-3, 作 DG/y 轴交 AC 于点 G， 设 D(a, 2+ 2 3)， 则 G(a,-a-3)， DG=-a-3-(2+ 2 3)= 2 3, 则 = 1 2 = 1 2 3( 2 3) = 3 2( + 3 2) 2 + 27 8 ， 当 a= 3 2时 有最大值， 即 D 到直线 AC 的距离最大， 此时 D 点坐标为（ 3 2， 15 4 ）. (3)此题正确的方法是代数法 由题可知 O(0,0),B(1,0),设 M(-1,a) 当 OB 为平行四边形对角线时，xN = xO+ xB xM= 2 , 把 x=2 代入二次函数解析式中，得
39、y=-5, N(2,-5)， ； 当 OM 为平行四边形对角线时，xN = xO+ xM xB= 2 , 把 x=-2 代入二次函数解析式中，得 y=-3, N(-2,-3)， 当 BM 为平行四边形对角线时，xN = xB+ xM xO= 0 , 把 x=0 代入二次函数解析式中，得 y=-3, N(0,-3)， 综上所述，N 的坐标为（2，-5） 、 （-2，-3）或（2，5） 11如图 1，已知抛物线y 3 9 (x3)(x43)与 x 轴交于A、B两点，与y轴交于点C （1）(3 分)写出A、B、C三点的坐标 （2）(4 分)若点P为OBC内一点，求OPBPCP的最小值 （3）(3 分
40、)如图 2，点Q为对称轴左侧抛物线上一动点，点D(4，0)，直线DQ分别与y轴、 直线AC交于E、F两点，当CEF为等腰三角形时，请直接写出CE的长 【解析】 (1)当 3 9 (x3)(x43)=0， 解得 x=-3 或 43， A(-3,0),B(43,0), 当 x=0 时，y= 3 9 3 (43)=4, C(0,4). （2）小题的解题过程： 由 OB、OC 的长可得OBC=30, 则OBC=90， 由 OC=4，OB=43， 可得 BC=BC=8, 由勾股定理可得最小值 OC=47， （3）分三种情况一一论证，解题时，一定要利用好分类讨论题型的特征（一种情况简单、一种情况中等、一
41、种情况较难） ，每一种先画出草图，再确定由易到难的顺序依次解答，至少要得到 2 分， 当 CE=CF 时，如图 1；当 CE=EF 时，如图 2；当 EF=FC 时，如图 3；由于等腰三角形添辅助线首先会联想 到“三线合一” ，即作底边的垂线，而图 3 的垂线是往坐标轴作，故更符合平常解等腰三角形的图形习惯，故 先解图 3，其余按图 3 的添辅助线方法及解题思路过程解答，这样解题的速度会快很多。 当O、P、P、C四点共线时， 这三折线成一直线段，则PO+PC+PB =OP+PC+PP=OC,即是最小值。 将BPC绕点B顺时针旋转60，得 BPP为等边三角形， 这样可使PO、PC(PC)、PB(
42、PP) 形成连接的三段折线 C C P P O B C P P C B O x y 图2 F E A C O B D Q x y 图1 A C O PB 当 EF=FC 时，如图 3, 作 FMEC 于点 M， 则 EM=MC， 设 EM=MC=a， 由 MF/OA 可得 MF:OA=CM:OC， 即 MF:3=a:4, 可得 MF=3 4a， 由 MF/OD 可得 MF:OD=EM:OE， 即3 4a：4=a：(4+2a), 解得 a=2 3， 则 CE=2a=4 3 当 CE=CF 时，如图 1； 作 FMEC 于点 M， 设 CE=CF=m， 由 OA=3,OC=4 可得 CF=5， 由
43、 MF/OA 可得 CM:OC=MF:OA=CF:CA， 即 CM:4=MF:3=m:5, 可得 CM=4 5m，MF= 3 5m， 由 MF/OD 可得 MF:OD=ME:OE， 即 ME:(4-m)=3 5m：4= 3 20m, ME=3(4;) 20 , 由 OE+ME+CM=OC=4 可列方程为： 4-m+3(4;) 20 +4 5m=4， 解得 m=8 3， 则 CE=8 3 当 CE=EF 时，如图 2, 作 FMEC 于点 M，但按上述思路解，计算量太大，放弃，思考代数方法。 作 AG/DF 交 y 轴于点 G，如图 4， 由ECF 是等腰， 易得GAC 也是等腰， 设 OG=n， 则 AG=CG=4-n， 在 RtOAG 中，由勾股定理可得：32+ 2= (4 )2， 解得 n=7 8， 则 G(0, 7 8), 由 A、G 坐标可得直线 AG 的解析式为 y= 7 24x+ 7 8, 由 AG/DF 可设直线 DF 的解析式为 y= 7 24x+b， 代入 D 点坐标可得址 DF 的解析式为 7 24x 7 6， E(0, 7 6), OE=7 6, CE=31 6 综上所述，CE 的长度为4 3、 8 3或 31 6 .
