1、 1 第第 13 讲讲 二次函数及其应用二次函数及其应用 1二次函数的概念及解析式 (1)概念：形如 yax2bxc(其中 a，b，c 是常数，且 a0) 的函数叫做二次函数，利用配方可以把二次函 数 yax2bxc 表示成 ya(x b 2a) 24acb 2 4a . (2)二次函数解析式的三种形式： 一般式 yax2bxc(a，b，c 是常数，a0)； 交点式 ya(xx1)(xx2)(a，x1，x2是常数，a0)(x1，0)、(x2，0)是函数与 x 轴的交点坐标； 顶点式 ya(xh)2k(a，h，k 是常数，a0)，其顶点坐标为 三种解析式之间的关系： 顶点式 配方 一般式 因式分
2、解交点式 解析式的求法： 确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，由于二次函数解析式有三个待定系数 a，b，c(或 a，h，k 或 a， x1，x2)，因而确定二次函数解析式需要已知三个独立的条件： a已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般式 b已知抛物线的顶点坐标时，选用顶点式 c已知抛物线与 x 轴两个交点的坐标(或横坐标 x1，x2)时，选用交点式 2二次函数的图象和性质 二次函数 yax2bxc(其中 a，b，c 是常数，且 a0)的图象是抛物线 (1)当 a0 时，抛物线的开口向上；对称轴是直线 x b 2a； 当 x b 2a时，y 有最小值，为 4acb2 4a ； 在对称轴左
3、边(即 x b 2a)时，y 随 x 的增大而减小； 在对称轴右边(即 x b 2a)时，y 随 x 的增大而增大； 顶点( b 2a， 4acb2 4a )是抛物线上位置最低的点； (2)当 a0 时，抛物线的开口向下；对称轴是直线 x b 2a； 2 当 x b 2a时，y 有最大值，为 4acb2 4a ，在对称轴左边(即 x b 2a)时， y 随 x 的增大而减小；顶点( b 2a， 4acb2 4a )是抛物线上位置最高的点 4二次函数函数的变换 (1)二次函数图象的平移： 二次函数的平移可看作是二次函数的顶点坐标的平移，即解决这类问题先把二次函数化为顶点式，由顶 点坐标的平移确定
4、函数的平移 平移规律： 将抛物线 ya(xh)2k 向左移 m 个单位得 ya(xhm)2k； 向右平移 m 个单位得 ya(x hm)2k；向上平移 m 个单位得 ya(xh)2km；向下平移 m 个单位得 ya(xh)2km简记 为“h：左加右减，k：上加下减” (2)二次函数图象的对称： 两抛物线关于 x 轴对称，此时顶点关于 x 轴对称，a 的符号相反； 两抛物线关于 y 轴对称，此时顶点关于 y 轴对称，a 的符号不变； (3)二次函数图象的旋转：开口反向(或旋转 180 )，此时顶点坐标不变，只是 a 的符号相反 5二次函数与一元二次方程之间的关系 方程 ax2bxc0 的解是二次
5、函数 yax2bxc 与 x 轴交点的横坐标解一元二次方程 ax2bxck 就是求二次函数 yax2bxc 与直线 yk 的交点的横坐标 (1)当 b24ac0 时，抛物线与 x 轴有两个交点，方程有两个不相等的实数根； (2)当 b24ac0 时，抛物线与 x 轴有一个交点，方程有两个相等的实数根； (3)当 b24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点，方程无实数根 6二次函数与一元二次不等式之间的关系 “一元二次不等式” 实际上是指二次函数的函数值“y0, y0 或 y0，y0”，一元二次不等式的解集从图象 上看是指抛物线在 x 轴上方或 x 轴下方的部分对应 x 的取值范围 考点 1：
6、二次函数的图象与性质 【例题 1】 （2019广西河池3 分）如图，抛物线 yax2+bx+c 的对称轴为直线 x1，则下列结论中，错误的 是（ ） 3 Aac0 Bb24ac0 C2ab0 Dab+c0 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称 轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【解答】解：A.由抛物线的开口向下知 a0，与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，可得 c0，因此 ac0，故 本选项正确，不符合题意； B.由抛物线与 x 轴有两个交点，可得 b24ac0，故本选项正确，不符合题意
7、； C.由对称轴为 x 2 b a 1，得 2ab，即 2a+b0，故本选项错误，符合题意； D.由对称轴为 x1 及抛物线过（3，0） ，可得抛物线与 x 轴的另外一个交点是（1，0） ，所以 ab+c0， 故本选项正确，不符合题意 故选：C 归纳：本题考查二次函数的图象性质：(1)a 的正负决定图象的开口方向，c 的正负决定图象与 y 轴的交点位 置，a 和 b 的正负决定图象对称轴的位置；(2)二次函数与方程的关系，即二次函数图象与坐标轴的交点情况 可转化为二次方程根的判别式的正负；(3)二次函数的开口方向与对称轴决定其增减性 考点 2： 二次函数的实际应用 【例题 2】 （2019湖北
8、省鄂州市10 分）“互联网+”时代上购物备受消费者青睐某网店专售一款休闲裤，其 成本为每条 40 元， 当售价为每条 80 元时， 每月可销售 100 条 为了吸引更多顾客， 该网店采取降价措施 据 市场调查反映：销售单价每降 1 元，则每月可多销售 5 条设每条裤子的售价为 x 元（x 为正整数） ，每月 的销售量为 y 条 （1）直接写出 y 与 x 的函数关系式； （2） 设该网店每月获得的利润为 w 元， 当销售单价降低多少元时， 每月获得的利润最大， 最大利润是多少？ （3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出 200 元资助贫困学生为了保证捐款后每月利润不 低于 4220
9、元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？ 【分析】 （1）直接利用销售单价每降 1 元，则每月可多销售 5 条得出 y 与 x 的函数关系式； 4 （2）利用销量 每件利润总利润进而得出函数关系式求出最值； （3）利用总利润4220+200，求出 x 的值，进而得出答案 【解答】解： （1）由题意可得：y100+5（80 x）整理得 y5x+500； （2）由题意，得： w（x40） （5x+500） 5x2+700 x20000 5（x70）2+4500 a50w 有最大值 即当 x70 时，w最大值4500 应降价 807010（元） 答：当降价 10 元时，每月获得最大
10、利润为 4500 元； （3）由题意，得： 5（x70）2+45004220+200 解之，得：x166，x2 74， 抛物线开口向下，对称轴为直线 x70， 当 66x74 时，符合该网店要求 而为了让顾客得到最大实惠，故 x66 当销售单价定为 66 元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠 归纳: 用待定系数法求二次函数解析式，需根据已知条件，灵活选择解析式：若已知图象上三个点的坐标， 可设一般式；若已知二次函数图象与 x 轴两个交点的横坐标，可设交点式；若已知抛物线顶点坐标或对称 轴与最大(或小)值，可设顶点式 考点 3： 二次函数与几何图形的综合应用 【例题 3】(2018 唐山
11、乐亭县二模)如图，直线 yx2 与抛物线 yax2bx6 相交于 A(1 2， 5 2)和 B(4，m)， 点 P 是线段 AB 上异于 A，B 的动点，过点 P 作 PCx 轴，交抛物线于点 C. (1)点 B 坐标为(4，6)，并求抛物线的解析式； (2)求线段 PC 长的最大值 【点拨】 (1)点 B 坐标代入一次函数解析式可得 m6，将 A，B 坐标代入 yax2bx6，可求出抛物线 的解析式； (2)垂直于 x 轴的线段 PC 的长就是将二次函数的解析式减去一次函数的解析式， 整理后会发现仍 然是二次函数的形式，利用二次函数的性质可得最大值 5 【解答】 解：(1)A(1 2， 5
12、2)，B(4，6)在抛物线 yax 2bx6 上， （1 2） 2a1 2b6 5 2， 42a4b66， 解得 a2， b8. 抛物线的解析式为 y2x28x6. (2)设动点 P 的坐标为(n，n2)，则点 C 的坐标为(n，2n28n6) PC(n2)(2n28n6)2n29n42(n9 4) 249 8 . 20，1 2n y1 y2 B. 2 y2 y1 C. y1 y22 D. y2 y12 【答案】A 【解析】根据二次函数顶点式得到函数的开口向下，对称轴为直线 x1，顶点坐标（1，2 ） ，根据函数 增减性可以得到，当 x1 时，y 随 x 的增大而减小.因为11 y1 y2 .
13、故选 A. 6 2. （2018广西）将抛物线 y=x26x+21 向左平移 2 个单位后，得到新抛物线的解析式为（ ） Ay=（x8）2+5 By=（x4）2+5 Cy=（x8）2+3 Dy=（x4）2+3 【答案】D 【解答】y=x26x+21 =（x212x）+21 = （x6）236+21 =（x6）2+3， 故 y=（x6）2+3，向左平移 2 个单位后， 得到新抛物线的解析式为：y=（x4）2+3 故选：D 3. （2019江苏连云港3 分）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场 ABCD，其中C120 若新 建墙 BC 与 CD 总长为 12m，则该梯形储料场 ABCD 的最大
14、面积是（ ） A18m2 B18 3m2 C24 3m2 D 45 3 2 m2 【答案】C 【解答】解：如图，过点 C 作 CEAB 于 E， 则四边形 ADCE 为矩形，CDAEx，DCECEB90 ， 则BCEBCDDCE30 ，BC12x， 在 RtCBE 中，CEB90 ， BE 1 2 BC6 1 2 x， 7 ADCE3BE63 3 2 x，ABAE+BEx+6 1 2 x 1 2 x+6， 梯形 ABCD 面积 S 1 2 （CD+AB）CE 1 2 （x+ 1 2 x+6）（63 3 2 x） 3 3 8 x2+33x+183 3 3 88 （x4）2+243， 当 x4 时
15、，S最大243 即 CD 长为 4m 时，使梯形储料场 ABCD 的面积最大为 243m2； 故选：C 4. （2018滨州）如图，若二次函数 y=ax2+bx+c（a0）图象的对称轴为 x=1，与 y 轴交于点 C，与 x 轴交 于点 A、点 B（1，0），则 二次函数的最大值为 a+b+c； ab+c0； b24ac0； 当 y0 时，1x3，其中正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【答案】B 解：二次函数 y=ax2+bx+c（a0）图象的对称轴为 x=1，且开口向下， x=1 时，y=a+b+c，即二次函数的最大值为 a+b+c，故正确； 8 当 x=1 时，ab+c=0，故错
16、误； 图象与 x 轴有 2 个交点，故 b24ac0，故错误； 图象的对称轴为 x=1，与 x 轴交于点 A、点 B（1，0）， A（3，0）， 故当 y0 时，1x3，故正确 故选：B 二、填空题： 5. （2018 四川自贡 4 分）若函数 y=x2+2xm 的图象与 x 轴有且只有一个交点，则 m 的值为 1 【分析】由抛物线与 x 轴只有一个交点，即可得出关于 m 的一元一次方程，解之即可得出 m 的值 【解答】解：函数 y=x2+2xm 的图象与 x 轴有且只有一个交点， =224 1 （m）=0， 解得：m=1 故答案为：1 6. (2018 四川省绵阳市)右图是抛物线型拱桥，当拱
17、顶离水面 2m 时，水面宽 4m，水面下降 2m，水面宽度增 加_m。 【答案】42-4 【解答】解：根据题意以 AB 为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系（如图） ， 依题可得：A（-2,0） ，B（2,0） ，C（0,2） ， 设经过 A、B、C 三点的抛物线解析式为：y=a（x-2） （x+2）, C（0,2）在此抛物线上， a=- 1 2 ， 9 此抛物线解析式为：y=- 1 2 （x-2） （x+2）, 水面下降 2m， - 1 2 （x-2） （x+2）=-2, x1=22，x2=-22， 下降之后的水面宽为：42. 水面宽度增加了：42-4. 故答案为：42
18、-4. 7. （2019四川省凉山州5 分）当 0 x3 时，直线 ya 与抛物线 y（x1）23 有交点，则 a 的取值范围 是 3a1 【答案】 ：3a1 【解答】解：法一：ya 与抛物线 y（x1）23 有交点 则有 a（x1）23，整理得 x22x2a0 b24ac4+4（2+a）0 解得 a3， 0 x3，对称轴 x1 y（31）231 a1 法二：由题意可知， 抛物线的 顶点为（1，3） ，而 0 x3 抛物线 y 的取值为3y1 ya，则直线 y 与 x 轴平行， 要使直线 ya 与抛物线 y（x1）23 有交点， 抛物线 y 的取值为3y1，即为 a 的取值范围， 3a1，故答
19、案为：3a1 9. 在平面直角坐标系中，抛物线 yx2的图象如图所示已知 A 点坐标为（1，1） ，过点 A 作 AA1x 轴交 抛物线于点 A1，过点 A1作 A1A2OA 交抛物线于点 A2，过点 A2作 A2A3x 轴交抛物线于点 A3，过点 A3作 A3A4OA 交抛物线于点 A4，依次进行下去，则点 A2019的坐标为 （1010，10102） 10 【答案】 （1010，10102） 【解答】解：A 点坐标为（1，1） ， 直线 OA 为 yx，A1（1，1） ， A1A2OA， 直线 A1A2为 yx+2， 解 2 2yx yx 得 1 1 x y 或 2 4 x y ， A2（
20、2，4） ， A3（2，4） ， A3A4OA， 直线 A3A4为 yx+6， 解 2 6yx yx 得 2 4 x y 或 3 9 x y ， A4（3，9） ， A5（3，9） ， A2019（1010，10102） ， 故答案为（1010，10102） 三、解答题： 10. 某商人将进价为每件 8 元的某种商品按每件 10 元出售，每天可销出 100 件他想采用提高售价的办法 来增加利润经试验，发现这种商品每件每提价 1 元，每天的销售量就会减少 10 件 （1）请写出售价 x（元/件）与每天所得的利润 y（元）之间的函数关系式； 11 （2）每件售价定为多少元，才能使一天的利润最大？
21、【分析】 （1）题中等量关系为：利润=（售价进价） 售出件数，根据等量关系列出函数关系式； （2）将（1）中的函数关系式配方，根据配方后的方程式即可求出 y 的最大值 【解答】解： （1）根据题中等量关系为：利润=（售价进价） 售出件数， 列出方程式为：y=（x8）10010（x10）， 即 y=10 x2+280 x1600（10 x20） ； （2）将（1）中方程式配方得： y=10（x14）2+360， 当 x=14 时，y最大=360 元， 答：售价为 14 元时，利润最大 11. (2018 石家庄十八县大联考)如图，曲线 BC 是反比例函数 yk x(4x6)的一部分，其中点 B(
22、4，1m)， C(6，m)，抛物线 yx22bx 的顶点记作 A. (1)求 k 的值； (2)判断点 A 是否与点 B 重合； (3)若抛物线与 BC 有交点，求 b 的取值范围 【解析】 ：(1)B(4，1m)，C(6，m)在反比例函数 yk x的图象上， k4(1m)6 (m) 解得 m2. k4 1(2)12. (2)m2，B(4，3) 抛物线 yx22bx(xb)2b2， A(b，b2) 12 若点 A 与点 B 重合，则有 b4，且 b23，显然不成立， 点 A 不与点 B 重合 (3)当抛物线经过点 B(4，3)时，有 3422b 4. 解得 b19 8 . 显然抛物线右半支经过
23、点 B； 当抛物线经过点 C(6，2)时，有 2622b 6. 解得 b19 6 . 这时仍然是抛物线右半支经过点 C， b 的取值范围为19 8 b19 6 . 12. （2019贵州毕节 12 分）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某 村织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入已知某种士特产每袋成本 10 元试销阶段每袋的 销售价 x（元）与该士特产的日销售量 y（袋）之间的关系如表： x（元） 15 20 30 y（袋） 25 20 10 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数，试求： （1）日销售量 y（袋）与销售价 x（元）的函数关系式； （2
24、）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为 多少元？每日销售的最大利润是多少元？ 【分析】 （1）根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量 y（袋）与销售价 x（元）的函数关系式 即可 （2）利用每件利润 总销量总利润，进而求出二次函数最值即可 【解答】解： （1）依题意，根据表格的数据，设日销售量 y（袋）与销售价 x（元）的函数关系式为 ykx+b 得 ，解得 故日销售量 y（袋）与销售价 x（元）的函数关系式为：yx+40 （2）依题意，设利润为 w 元，得 w（x10） （x+40）x2+50 x+400 13 整理得 w（x25）
25、2+225 10 当 x2 时，w 取得最大值，最大值为 225 故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为 25 元，每日销售的最大利润是 225 元 13. （2019湖北省咸宁市12 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 yx+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交 于点 B，抛物线 yx2+bx+c 经过 A，B 两点且与 x 轴的负半轴交于点 C （1）求该抛物线的解析式； （2）若点 D 为直线 AB 上方抛物线上的一个动点，当ABD2BAC 时，求点 D 的坐标； （3）已知 E，F 分别是直线 AB 和抛物线上的动点，当 B，O，E，F 为顶点的四边形是平行四边形时，
26、直 接写出所有符合条件的 E 点的坐标 【分析】 （1）求得 A.B 两点坐标，代入抛物线解析式，获得 B.c 的值，获得抛物线的解析式 （2）通过平行线分割 2 倍角条件，得到相等的角关系，利用等角的三角函数值相等，得到点坐标 （3）B.O、E.F 四点作平行四边形，以已知线段 OB 为边和对角线分类讨论，当 OB 为边时，以 EFOB 的 关系建立方程求解，当 OB 为对角线时，OB 与 EF 互相平分，利用直线相交获得点 E 坐标 【解答】解： （1）在中，令 y0，得 x4，令 x0，得 y2 A（4，0） ，B（0，2） 把 A（4，0） ，B（0，2） ，代入，得 ，解得 抛物线得
27、解析式为 （2）如图，过点 B 作 x 轴得平行线交抛物线于点 E，过点 D 作 BE 得垂线，垂足为 F 14 BEx 轴，BACABE ABD2BAC，ABD2ABE 即DBE+ABE2ABE DBEABE DBEBAC 设 D 点的坐标为（x，） ，则 BFx，DF tanDBE，tanBAC ，即 解得 x10（舍去） ，x22 当 x2 时，3 点 D 的坐标为（2，3） （3） 当 BO 为边时，OBEF，OBEF 15 设 E（m，） ，F（m，） EF|（）（）|2 解得 m12， 当 BO 为对角线时，OB 与 EF 互相平分 过点 O 作 OFAB，直线 OF交抛物线于点 F（）和（） 求得直线 EF 解析式为或 直线 EF 与 AB 的交点为 E，点 E 的横坐标为或 E 点的坐标为 （2， 1） 或 （，） 或 （） 或 （） 或 （）
