1、 第 1 页 / 共 15 页 第第 13 讲：对数函数讲：对数函数 一、课程标准 1、通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，理解对数函数的概念。 2、体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象。 3、探索并了解对数函数的单调性与特殊点。 4、知道指数函数 yax与对数函数 ylogax 互为反函数(a0，a1)。 二、基础知识回顾 1、对数函数 ylogax(a0，且 a1)的图象与性质 底数 a1 0a1 时，恒有 y0； 当 0x1 时，恒有 y1 时，恒有 y0； 当 0x0 在(0，)上是增函数 在(0，)上是减函数 注 意 当对数函数
2、的底数 a 的大小不确定时，需分 a1 和 0a0， 且 a1)与对数函数 ylogax(a0， 且 a1)互为反函数， 它们的图象关于直线 yx 对称 对数函数的图象与底数大小的比较 3、如图，作直线 y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数 故 0cd1ab. 第 2 页 / 共 15 页 由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大 三、自主热身、归纳总结 1、函数 f(x)log2(x22 2)的值域为(B ) A. ， 3 2 B. ， 3 2 C. 3 2， D. 3 2， 【答案】B 【解析】 由题意可得x22 20，即x22 2(0，2 2，得所求函数值
3、域为 ， 3 2.故选 B. 2、若 loga2logb20，则下列结论正确的是(B ) A. 0ab1 B. 0ba1 C. ab1 D. ba1 【答案】B 【解析】(方法 1)由 loga2logb20，得 0a、b1，且 1 log2a 1 log2b，即 log2blog2a log2a log2blog2ea， 所以 ca. 因为 bln 2 1 log2e1log2ea， 所以 ab. 所以 cab. （3）由题意得 a0， log2alog2a 或 a0， log2（a）log2（a）， 解得 a1 或1a0.故选 C. 变式 1、 (1)已知定义在 R 上的函数 f(x)2|
4、xm|1(m 为实数)为偶函数， 记 af(log0.53)， bf(log25)， cf(2m)， 则 a，b，c 的大小关系为 ； (2)已知函数 f(x) 3 x1，x0， log1 3 x，x0，则不等式 f(x)1 的解集为 ； (3)若函数 f(x) 2 (3) log a (ax4)在1，1上是单调增函数，则实数 a 的取值范围是 【答案】 （1）cab. （2） 1， 1 3. （3）(2， 3)(2，4) 【解析】 (1)由 f(x)2|xm|1 是偶函数可知 m0，f(x)2|x|1.af(log0.53) 0.5 log3 2 1 log 3 2 2 1 2，bf(log
5、25)= 2 log 3 2 1 2 log 5 2 14，cf(0)2|0|10，ca1 可转化为 3x11x10 x1，10，则不等式 f(x)1 可转化 第 6 页 / 共 15 页 为 1 2 log x 1x 1 3，0x1 的解集是 1， 1 3. (3)首先由 a230，可得 a 3或 a 3时， 函数 g(x)ax4 在1， 1上是 x 的增函数， 则需 a231， 故 a2.又函数 g(x)ax40 在 1，1上恒成立，故 g(1)4a0，即 2a4. 当 a 3时，函数 g(x)ax4 在1，1上是 x 的减函数，则需 0a231，故可得2a0 在1，1上恒成立，故 g(1
6、)a40，即2a 3. 综上所述，实数 a 的取值范围为(2， 3)(2，4) 变式 2、已知是偶函数，则（ ） A B C D 【答案】C 【解析】是偶函数， ，函数为增函数， ， 故选：C 方法总结：对数函数的性质有着十分广泛的应用，常见的有：比较大小，解不等式，求函数的单调区间和 值域、最值等等 (1)对数值大小比较的主要方法：化为同底数后利用函数的单调性；化为同真数后利用图像比较；借 用中间量(0 或 1 等)进行估值比较 (2)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时，要特别注意底数 a 的取值范围，并在必要时须分 底数 0a1 两种情形进行分类讨论，防止错解 第 7 页 /
7、共 15 页 考点二 对数函数的图像及其应用 例 1、 （1） 2019 潍坊一模若函数 f(x)axax(a0 且 a1)在 R 上为减函数，则函数 yloga(|x|1)的图像 可以是(D ) A B C D （2）已知 f(x)|lgx|，若 1 cab1，则 f(a)，f(b)，f(c)的大小关系是 【答案】 （1）D、 （2） f(c)f(a)f(b) 【解析】 (1)由 f(x)在 R 上是减函数，知 0a1 时，yloga(x1)的图像由 ylogax 的图像向右平移一个单位得到选 项 D 正确故选 D. （2）先作出函数 ylgx 的图像，再将图像在 x 轴下方的部分沿 x 轴
8、翻折到上方，这样，我们便得到了 y |lgx|的图像 由图可知， f(x)|lgx|在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，于是 f 1 cf(a) f(b)，而 f 1 c|lg 1 c|lgc|lgc|f(c)f(c)f(a)f(b) 变式 1、(1)函数 yln(2|x|)的大致图象为( ) 第 8 页 / 共 15 页 (2)当 0 x 1 2时，4 xlog ax，则 a 的取值范围是( ) A. 0， 2 2 B. 2 2 ，1 C(1， 2) D( 2，2) 【答案】 （1）A（2）B 【解析】(1)令 f(x)ln(2|x|)，易知函数 f(x)的定义域为x|2x2，且
9、f(x)ln(2|x|)ln(2|x|) f(x)，所以函数 f(x)为偶函数，排除选项 C、D.由对数函数的单调性及函数 y2|x|的单调性知 A 正确 (2)易知 0a1，函数 y4x与 ylogax 的大致图象如图，则由题意可知只需满足 loga 1 24 1 2， 解得 a 2 2， 2 2a1，故选 B. 变式 2、关于函数 ( ) |2|f xlnx 下列描述正确的有( ) A函数 ( )f x在区间(1,2)上单调递增 B函数 ( )yf x 的图象关于直线2x 对称 C若 12 xx ，但 12 ()()f xf x ，则 12 4xx D函数( )f x有且仅有两个零点 【答
10、案】ABD 【解析】函数 ( ) |2|f xlnx 的图象如下图所示： 由图可得： 第 9 页 / 共 15 页 函数 ( )f x在区间(1,2)上单调递增，A正确； 函数 ( )yf x 的图象关于直线2x 对称，B正确； 若 12 xx，但 12 ()()f xf x，则 12 4xx，C错误； 函数 ( )f x有且仅有两个零点，D正确 故选：ABD 方法总结： (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域 (最值)、零点时，常利用数形结合思想求解 (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解 考点三 对数
11、函数的综合及应用 例 3、已知函数 f(x)log4(ax22x3) (1)若 f(1)1，求 f(x)的单调区间； (2)是否存在实数 a，使 f(x)的最小值为 0？若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由 解 (1)因为 f(1)1，所以 log4(a5)1，因此 a54，即 a1， 这时 f(x)log4(x22x3) 由x22x30，得1x3， 即函数 f(x)的定义域为(1，3) 令 g(x)x22x3，则 g(x)在(1，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减 又 ylog4x 在(0，)上单调递增， 所以 f(x)的单调递增区间是(1，1)，单调递减区间是(1，3) (2)假
12、设存在实数 a，使 f(x)的最小值为 0， 则 h(x)ax22x3 应有最小值 1， 因此应有 a0， 3a1 a 1，解得 a 1 2. 故存在实数 a 1 2，使 f(x)的最小值为 0. 变式 1、 在函数 f(x) 1 2 log (x22ax3)中 (1)若其在1，)内有意义，求实数 a 的取值范围； (2)若其在(，1内为增函数，求实数 a 的取值范围 【解】 (1)命题等价于“ug(x)x22ax30 对 x1，)恒成立”对函数 g(x)的对称轴 x0a 进行 第 10 页 / 共 15 页 讨论有： a0或 a1， 4a2120， 解得 a2 或 a1， 3a0对x( ，1
13、 恒成立， 于是有 x0a1， g（1）0，解得 a1， a0，得 x1，即函数 f(x)的定义域 为(，1)(1，) (2)f(x)在(1，)上单调递减证明如下： 设 g(x) 1x x1，任取 1x1x2，则 g(x1)g(x2) 1x1 x11 1x2 x21 2（x2x1） （x11）（x21）. 1x10，x210.g(x1)g(x2 ) 2（x2x1） （x11）（x21）0，g(x1)g(x2) lgg(x1)lgg(x2)，即 f(x1)f(x2) f(x)在(1，)上单调递减 方法总结：高考对对数函数的考查多以对数与对数函数为载体，考查对数的运算和对数函数的图像和性质 的应用
14、，且常与二次函数、方程、不等式等内容交汇命题解决此类问题的关键是根据已知条件，将问题 转化为(或构造)对数函数或对数型函数，再利用图像或性质求解 五、优化提升与真题演练 1、已知 ( )lg(10)lg(10)f xxx ，则 ( )f x是（ ） A偶函数，且在(0,10)是增函数 B奇函数，且在(0,10)是增函数 第 11 页 / 共 15 页 C偶函数，且在(0,10)是减函数 D奇函数，且在(0,10)是减函数 【答案】C 【解析】由 100 100 x x ，得( 10,10)x ， 故函数 f x的定义域为10,10，关于原点对称， 又lg 10lg(10)( )fxxxf x，
15、故函数 f x为偶函数， 而 2 lg(10)lg(10)lg 100f xxxx ， 因为函数 2 100yx在0,10上单调递减，lgyx在0,上单调递增， 故函数 f x在0,10上单调递减，故选 C. 2、已知函数（其中）的图象如图所示，则函数 的图象大致是( ) A B C D 【答案】B 【解析】法一：结合二次函数的图象可知，所以函数单调递增，排除 C，D；把函数的图象向左平移个单位，得到函数 的图象，排除 A，选 B. 法二： 结合二次函数的图象可知， 所以， 在中， 取， 得，只有选项 B 符合， 故选:B. 第 12 页 / 共 15 页 3、【2019 年浙江 06】 在同
16、一直角坐标系中， 函数 y ， y1oga（x）（a0 且 a1） 的图象可能是 （ ） A B C D 【答案】D 【解析】由函数 y，y1oga（x） ， 当 a1 时，可得 y是递减函数，图象恒过（0，1）点， 函数 y1oga（x） ，是递增函数，图象恒过（ ，0） ； 当 1a0 时，可得 y是递增函数，图象恒过（0，1）点， 函数 y1oga（x） ，是递减函数，图象恒过（ ，0） ； 满足要求的图象为：D 4、(多选)已知函数 f(x)ln(x2)ln(6x)，则( ) Af(x)在(2，6)上单调递增 Bf(x)在(2，6)上的最大值为 2ln 2 Cf(x)在(2，6)上单调
17、递减 Dyf(x)的图象关于直线 x4 对称 【答案】BD 【解析】f(x)ln(x2)ln(6x)ln(x2)(6x)，定义域为(2，6)令 t(x2)(6x)，则 yln t因为 第 13 页 / 共 15 页 二次函数 t(x2)(6x)的图象的对称轴为直线 x4，又 f(x)的定义域为(2，6)，所以 f(x)的图象关于直线 x 4 对称，且在(2，4)上单调递增，在(4，6)上单调递减，当 x4 时，t 有最大值，所以 f(x)maxln(42) ln(64)2ln 2，故选 B、D. 5、(多选)在同一坐标系中，f(x)kxb 与 g(x)logbx 的图象如图，则下列关系不正确的
18、是( ) Ak0，0b1 Bk0，b1 Cf 1 xg(1)0(x0) Dx1 时，f(x)g(x)0 【答案】ABC 【解析】由直线方程可知，k0，0b1，故 A、B 不正确；而 g(1)0，故 C 不正确；而当 x1 时，g(x) 0，f(x)0，所以 f(x)g(x)0.所以 D 正确 6、(2019 浙江高考)在同一直角坐标系中，函数 y 1 ax，yloga x 1 2(a0，且 a1)的图象可能是( ) 【答案】D 【解析】 对于函数 yloga x 1 2， 当 y0 时， 有 x 1 21， 得 x 1 2， 即 yloga x 1 2的图象恒过定点 1 2，0 ， 排除选项
19、A、C；函数 y 1 ax与 yloga x 1 2在各自定义域上单调性相反，排除选项 B，故选 D. 7、 【2018 年江苏 05】函数 f（x）的定义域为 【答案】2，+） 【解析】由题意得：log2x1， 解得：x2， 函数 f（x）的定义域是2，+） 第 14 页 / 共 15 页 8、函数 2 11 log 1 ax f x xx 为奇函数，则实数a_ 【答案】1 【解析】 函数 2 11 log 1 ax f x xx 为奇函数 fxf x 即 0fxf x 则 22 1111 loglog0 11 axax xxxx ，即 2 11 log0 11 axax xx 22 2 1
20、11 1 111 axaxa x xxx ，则： 222 11a xx 2 1a 则：1a 当1a时， 2 11 log 1 x f x xx ，则 f x定义域为：0 x x 且1x 此时定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，不满足题意 当1a 时， 2 11 log 1 x f x xx ，满足题意 1a= 9、已知函数 f(x)loga(3ax)(a0，且 a1) (1)当 x0，2时，函数 f(x)恒有意义，求实数 a 的取值范围； (2)是否存在这样的实数 a，使得函数 f(x)在区间1，2上为减函数，并且最大值为 1？如果存在，试求出 a 的值；如果不存在，请说明理由 解：(1)a0 且 a1，设 t(x)3ax，则 t(x)3ax 为减函数，当 x0，2时，t(x)的最小值为 32a， 当 x0，2时，f(x)恒有意义，即 x0，2时，3ax0 恒成立 32a0，a0 且 a1，0a1 或 1a1， 当 x1，2时，t(x)的最小值为 32a，f(x)的最大值为 f(1)loga(3a)， 32a0， loga（3a）1，即 a 3 2， a 3 2. 故不存在这样的实数 a，使得函数 f(x)在区间1，2上为减函数，并且最大值为 1.
