1、 1 第第 1313 讲讲 二次函数及其应用二次函数及其应用 一、考点知识梳理 【考点【考点 1 1 二次函数的图像及性质】二次函数的图像及性质】 1.二次函数的概念：一般地，如果两个变量 x 和 y 之间的函数关系，可以表示成 yax 2bxc(a，b，c 是 常数，且 a0)，那么称 y 是 x 的二次函数，其中，a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项 2三种表示方法： (1)一般式：yax 2bxc(a0)； (2)顶点式：ya(xh) 2k(a0)，其中二次函数的顶点坐标是(h，k)； (3)交点式：ya(xx1)(xx2)(a0)，其中 x1，x2为抛物线与 x 轴交
2、点的横坐标 3三种表达式之间的关系 顶点式 确定 一般式 因式分解两点式 4.图像性质 二次函数 yax 2bxc(a，b，c 为常数，a0) a0 时开口向上， 对称轴：直线 x b 2a，顶点坐标： b 2a， 4acb 2 4a ，增减性：在对称轴的 左侧，即 x b 2a时，y 随 x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当 x b 2a时，y 随 x 的增大而增大，简 记为“左减右增” a0 时开口向下，对称轴：直线 x b 2a，顶点坐标： b 2a， 4acb 2 4a ，增减性：在对称轴的 左侧，即当 x b 2a时，y 随 x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当 x b 2a时，
3、y 随 x 的增大而减小， 简记为“左增右减” 【考点【考点 2 2 二次函数的实际应用】二次函数的实际应用】 1.二次函数的实际应用为每年的必考点，题型多为选择、解答题，有以下两种常考类型：(1)单纯二次函数 的实际应用；(2)与一次函数结合的实际应用 2.出题形式有三种：(1)以某种产品的销售为背景；(2)以公司的工作业绩为背景；(3)以某公司装修所需材 料为背景 3.设问方式主要有：(1)列函数关系式并求值；(2)求最优解；(3)求最大利润及利润最大时自变量的值；(4) 求最小值；(5)选择最优方案 【考点【考点 3 3 二次函数的图像与方程的关系】二次函数的图像与方程的关系】 2 二次
4、函数与一元二次方程的关系： 1当抛物线与 x 轴有两个交点时，两交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个不相等的实数根 2当抛物线与 x 轴只有一个交点时，该交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个相等的实数根 3当抛物线与 x 轴没有交点时，对应的一元二次方程无实数根 【考点【考点 4 4 二次函数的图像与几何图形的关系】二次函数的图像与几何图形的关系】 1. 平移：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法： 一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标， 利用待定系数法求出解析式； 二是只考虑平移后的顶点坐标， 即可求出解析式 平移步骤： (1)将抛物线
5、表达式转化为顶点式 ya(xh) 2k，确定其顶点坐标； (2)保持抛物线的形状不变，平移顶点坐标(h，k)即可 2.二次函数与几何图形的面积问题，是最常见的数形结合问题，首先要根据题意画出草图，结合图形分析 其中的几何图形的特点，再求出面积等相关数据 【考点【考点 5 5 二次函数的图像其它函数的关系】二次函数的图像其它函数的关系】 二次函数与一次函数、二次函数与反比例函数、两个二次函数之间的关系是近几年中考的常考题型，需要 把每个函数的性质了解清楚，点的坐标适合每个函数的表达式，然后再结合图像特点，总结规律。 二、考点分析 【考点【考点 1 1 二次函数的图像及性质】二次函数的图像及性质】
6、 【解题技巧】二次函数表达式的确定： (1)求解二次函数表达式的方法一般用待定系数法，根据所给条件的不同，要灵活选用函数表达式； 当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式 yax 2bxc 形式； 当已知抛物线的顶点或对称轴时，通常设为顶点式 ya(xh) 2k 形式； 当已知抛物线与 x 轴的交点或交点横坐标时，通常设为两点式 ya(xx1)(xx2) (2)步骤： 设二次函数的表达式； 根据已知条件，得到关于待定系数的方程组； 解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的表达式 【例 1】 （2019 福建中考）若二次函数y|a|x 2+bx+c 的图象经过A（m，n） 、B（0，y1） 、
7、C（3m，n） 、D （，y2） 、E（2，y3） ，则y1、y2、y3的大小关系是（ ） Ay1y2y3 By1y3y2 Cy3y2y1 Dy2y3y1 【举一反三举一反三 1-1】 （2019 甘肃中考）如图是二次函数yax 2+bx+c 的图象，对于下列说法：ac0，2a+b 0，4acb 2，a+b+c0，当 x0 时，y随x的增大而减小，其中正确的是（ ） 3 A B C D 【举一反三举一反三 1-2】 （2019 陕西中考）在同一平面直角坐标系中，若抛物线yx 2+（2m1）x+2m4 与 yx 2 （3m+n）x+n关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（ ） Am，n Bm5
8、，n6 Cm1，n6 Dm1，n2 【举一反三举一反三 1-3】 （2019 北京中考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax 2+bx 与y轴交于点A，将 点A向右平移 2 个单位长度，得到点B，点B在抛物线上 （1）求点B的坐标（用含a的式子表示） ； （2）求抛物线的对称轴； （3）已知点P（，） ，Q（2，2） 若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值 范围 【举一反三举一反三 1-4】 （2019 云南中考）已知k是常数，抛物线yx 2+（k2+k6）x+3k 的对称轴是y轴，并且 与x轴有两个交点 （1）求k的值； （2）若点P在物线yx 2+（k2+k6）x+3
9、k 上，且P到y轴的距离是 2，求点P的坐标 【考点【考点 2 2 二次函数的实际应用】二次函数的实际应用】 【解题技巧】(1)利用二次函数解决实际生活中的利润问题，应理清变量所表示的实际意义，注意隐含条件 的使用，同时考虑问题要周全，此类问题一般是运用“总利润总售价总成本”或“总利润每件商品 所获利润销售数量” ，建立利润与价格之间的函数关系式； (2)最值：若函数的对称轴在自变量的取值范围内，顶点坐标即为其最值，若顶点坐标不是其最值，那么最 值可能为自变量两端点的函数值；若函数的对称轴不在自变量的取值范围内，可根据函数的增减性求解， 再结合两端点的函数值对比，从而求解出最值 【例 2】（2
10、019 河北唐山中考模拟） 如图所示， 有长为 24 m的篱笆， 一面利用墙(墙的最大可用长度为 10 m)， 围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃设花圃的宽 AB 为 x m，面积为 S m 2.如果要围成面积为 45 m2的花圃， 4 那么 AB 的长是（ ） A45 m B9 m C24 m D5 m 【举一反三举一反三 2-1】 （2019 河北张家口中考模拟）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端 A 处弹跳到人梯顶 端椅子 B 处，其身体(看成一点)的运动路线是抛物线 y3 5x 23x1 的一部分，如图所示 (1)求演员弹跳离地面的最大高度是 ； (2)已知人梯高 BC3.4 m，在一次
11、表演中，人梯到起跳点 A 的水平距离是 4 m，则这次表演 （填能或否） 成功 【举一反三举一反三 2-2】 （2019 山东德州中考模拟）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离 4m处起跳投篮，球 沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为 2.5m时，达到最大高度 3.5m，然后准确落入篮框内已知篮圈 中心距离地面高度为 3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ） A此抛物线的解析式是yx 2+3.5 B篮圈中心的坐标是（4，3.05） C此抛物线的顶点坐标是（3.5，0） D篮球出手时离地面的高度是 2m 【举一反三举一反三 2-3】 （2019 湖北武汉中考） （201
12、9武汉）某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周 销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表： 售价x（元/件） 50 60 80 5 周销售量y（件） 100 80 40 周销售利润w（元） 1000 1600 1600 注：周销售利润周销售量（售价进价） （1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围） ； 该商品进价是 元/件；当售价是 元/件时，周销售利润最大，最大利润是_ 元 （2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m0） ，物价部门规定该商品售价不得超过 65 元/件，该 商店在今后的销售中，周销售量与售价
13、仍然满足（1）中的函数关系若周销售最大利润是 1400 元，求m 的值 【举一反三举一反三 2-4】 （2019 江苏徐州中考）如图，将南北向的中山路与东西向的北京路看成两条直线，十字 路口记作点A甲从中山路上点B出发，骑车向北匀速直行；与此同时，乙从点A出发，沿北京路步行向东 匀速直行设出发xmin时，甲、乙两人与点A的距离分别为y1m、y2m已知y1、y2与x之间的函数关系如 图所示 （1）求甲、乙两人的速度； （2）当x取何值时，甲、乙两人之间的距离最短？ 【考点【考点 3 3 二次函数的图像与方程的关系】二次函数的图像与方程的关系】 【解题技巧】求二次函数yax 2+bx+c（a，b，
14、c 是常数，a0）与x轴的交点坐标，令y0，即ax 2+bx+c 0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标 （1）二次函数yax 2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）的交点与一元二次方程ax 2+bx+c0 根之间的关系 b 24ac 决定抛物线与x轴的交点个数 b 24ac0 时，抛物线与 x轴有 2 个交点； b 24ac0 时，抛物线与 x轴有 1 个交点； b 24ac0 时，抛物线与 x轴没有交点 （2）二次函数的交点式：ya（xx1） （xx2） （a，b，c是常数，a0） ，可直接得到抛物线与x轴的交 点坐标（x1，0） ， （x2，0） 6 【例 3】 （2019 河北
15、沧州中考模拟）二次函数yx 2+mx 的图象如图，对称轴为直线x2，若关于x的一 元二次方程x 2+mxt0（t 为实数）在 1x5 的范围内有解，则t的取值范围是（ ） At5 B5t3 C3t4 D5t4 【举一反三举一反三 3-1】 （2019呼和浩特）对任意实数a，若多项式 2b 25ab+3a2的值总大于3，则实数 b的取值 范围是 【举一反三举一反三 3-2】 （2019 河南郑州中考模拟）如图，已知二次函数yax 2+bx+c 的部分图象，由图象可知关 于x的一元二次方程ax 2+bx+c0 的两个根分别是 【举一反三举一反三 3-3】 （2019 山东日照中考） （2019日照
16、）如图 1，在平面直角坐标系中，直线y5x+5 与x 轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线yx 2+bx+c 经过A，C两点，与x轴的另一交点为B （1）求抛物线解析式及B点坐标； （2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积 最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积； （3）如图 2，若P点是半径为 2 的B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值 最小，请求出这个最小值，并说明理由 7 【考点【考点 4 4 二次函数的图像与几何图形的关系】二次函数的图像与几何图形的关系】 【解题技巧】将函数知识与几何知识有
17、机地结合在一起这类试题一般难度较大解这类问题关键是善于 将问题转化函数模型，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些 隐含条件 【例 4】 （2019 辽宁本溪中考模拟）如图，在ABC中，C90，AB10cm，BC8cm，点P从点A沿AC 向点C以 1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以 2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止） ， 在运动过程中，四边形PABQ的面积的最小值为（ ） A19cm 2 B16cm 2 C12cm 2 D15cm 2 【举一反三举一反三 4-1】 （2019 黑龙江哈尔滨中考） （2019哈尔滨）将抛物线y2x 2向上
18、平移 3 个单位长度，再向 右平移 2 个单位长度，所得到的抛物线为（ ） Ay2（x+2） 2+3 By2（x2） 2+3 Cy2（x2） 23 Dy2（x+2） 23 【举一反三举一反三 4-2】 （2019 江苏徐州中考） ）已知二次函数的图象经过点P（2，2） ，顶点为O（0，0）将该图 象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为 【举一反三举一反三 4-3】 （2019 甘肃中考）如图，已知二次函数yx 2+bx+c 的图象与x轴交于点A（1，0） 、B（3， 0） ，与y轴交于点C （1）求二次函数的解析式； （2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点
19、A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边 形，求点P的坐标； （3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积 的最大值及此时点E的坐标 8 【举一反三举一反三 4-4】 （2019 上海中考） 在平面直角坐标系xOy中 （如图） ， 已知抛物线yx 22x， 其顶点为 A （1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况； （2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点” 试求抛物线yx 22x 的“不动点”的坐标； 平移抛物线yx 22x，使所得新抛物线的顶点 B是该抛物线的“不动点” ，其对称轴与x轴
20、交于点C，且 四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式 【考点【考点 5 5 二次函数的图像其它函数的关系】二次函数的图像其它函数的关系】 【解题技巧】解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系 式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项 【例 5】 （2019呼和浩特）二次函数yax 2与一次函数 yax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A B C D 【举一反三举一反三 5-1】 （2018 河北中考）对于题目“一段抛物线L：yx（x3）+c（0 x3）与直线l：y x+2 有唯一公共点， 若c为
21、整数， 确定所有c的值， ” 甲的结果是c1， 乙的结果是c3 或 4， 则 （ ） 9 A甲的结果正确 B乙的结果正确 C甲、乙的结果合在一起才正确 D甲、乙的结果合在一起也不正确 【举一反三举一反三 5-2】 （2019 湖北孝感中考模拟）二次函数 yax 2bxc 的图像如图所示，反比例函数 yb x与 一次函数 ycxa 在同一平面直角坐标系中的大致图像是( ) ,A) ,B) ,C) ,D) 【举一反三举一反三 5-3】 （2019 海南中考）如图，已知抛物线yax 2+bx+5 经过 A（5，0） ，B（4，3）两点， 与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD （1）求该抛物线的
22、表达式； （2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合） ，设点P的横坐标为t 当点P在直线BC的下方运动时，求PBC的面积的最大值； 该抛物线上是否存在点P，使得PBCBCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由 三、 【达标测试】 （一）选择题（一）选择题 1.（2019 天津中考）二次函数yax 2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）的自变量x与函数值y的部分对应值 如下表： x 2 1 0 1 2 y t m 2 2 n 10 ax 2+bx+c 且当x时，与其对应的函数值y0有下列结论： abc0；2 和 3 是关于x的方程ax 2+bx+ct 的两个根；0m+n 其
23、中，正确结论的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 2.（2019 浙江杭州中考）在平面直角坐标系中，已知ab，设函数y（x+a） （x+b）的图象与x轴有M 个交点，函数y（ax+1） （bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（ ） AMN N1 或MN N+1 BMN N1 或MN N+2 CMN或MN N+1 DMN或MN N1 3.（2019 浙江温州中考）已知二次函数yx 24x+2，关于该函数在1x3 的取值范围内，下列说法正 确的是（ ） A有最大值1，有最小值2 B有最大值 0，有最小值1 C有最大值 7，有最小值1 D有最大值 7，有最小值2 4.（2019 山东济南中考） （
24、2019济南）关于x的一元二次方程ax 2+bx+ 0 有一个根是1，若二次函数 yax 2+bx+ 的图象的顶点在第一象限，设t2a+b，则t的取值范围是（ ） At B1t Ct D1t 5.（2019日照）如图，是二次函数yax 2+bx+c 图象的一部分，下列结论中： abc0；ab+c0；ax 2+bx+c+10 有两个相等的实数根；4ab2a其中正确结论的序号 为（ ） A B C D 6.（2019沈阳）已知二次函数yax 2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） 11 Aabc0 Bb 24ac0 Cab+c0 D2a+b0 7.（2019 甘肃兰州中考）
25、（2019兰州）已知点A（1，y1） ，B（2，y2）在抛物线y（x+1） 2+2 上，则下 列结论正确的是（ ） A2y1y2 B2y2y1 Cy1y22 Dy2y12 8.（2019 河北台湾中考） （2019台湾）如图，坐标平面上有一顶点为A的抛物线，此抛物线与方程式y2 的图形交于B、C两点，ABC为正三角形若A点坐标为（3，0） ，则此抛物线与y轴的交点坐标为何？ （ ） A （0，） B （0，） C （0，9） D （0，19） （二）（二）填空题填空题 1.（2019 吉林长春中考） （2019长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax 22ax+ （a0）与y 轴交于点A，
26、过点A作x轴的平行线交抛物线于点MP为抛物线的顶点若直线OP交直线AM于点B，且M 为线段AB的中点，则a的值为 2.（2019 黑龙江哈尔滨中考） （2019哈尔滨）二次函数y（x6） 2+8 的最大值是 3.（2019 湖北武汉中考） （2019武汉）抛物线yax 2+bx+c 经过点A（3，0） 、B（4，0）两点，则关于x 12 的一元二次方程a（x1） 2+cbbx 的解是 4.（2019 山东日照中考模拟）已知抛物线 yax 2bxc(a0)的对称轴为直线 x2，与 x 轴的一个交点 坐标为(4，0)，其部分图像如图所示，下列结论： 抛物线过原点；4abc0；abc0；抛物线的顶点
27、坐标为(2，b)；当 x2 时，y 随 x 增 大而增大 其中结论正确的是 5.（2019 河北衡水中考模拟）直线ykx+b与抛物线yx 2交于 A（x1，y1） ，B（x2，y2）两点，当OA OB时，直线AB恒过一个定点，该定点坐标为 提示：直线l1：yk1x+b1与直线l2：yk2x+b2 互相垂直，则k1k21 6.（2019 山东淄博中考模拟）已知二次函数y+bx的图象过点A（4，0） ，设点C（1，3） ，在抛物 线的对称轴上求一点P，使|PAPC|的值最大，则点P的坐标为 7. （2019 河南安阳中考模拟） 如图所示是二次函数yax 2+bx+c 的图象 下列结论： 二次三项式
28、ax 2+bx+c 的最大值为 4；使y3 成立的x的取值范围是x2；一元二次方程ax 2+bx+c1 的两根之和为1； 该抛物线的对称轴是直线x1；4a2b+c0其中正确的结论有 （把所有正确结论的 序号都填在横线上） 8.（2019 湖北黄石中考模拟）如图，二次函数y1ax 2+bx+c 与一次函数y2kx+b的交点A、B的坐标分别 为（1，3） 、 （6，1） ，当y1y2时，x的取值范围是 13 （三）（三）解答题解答题 1.（2019新疆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax 2+bx+c 经过A（1，0） ，B（4，0） ，C（0，4） 三点 （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标
29、； （2）将（1）中的抛物线向下平移个单位长度，再向左平移h（h0）个单位长度，得到新抛物线若 新抛物线的顶点D在ABC内，求h的取值范围； （3）点P为线段BC上一动点（点P不与点B，C重合） ，过点P作x轴的垂线交（1）中的抛物线于点Q， 当PQC与ABC相似时，求PQC的面积 2.（2019 浙江温州中考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx 2+2x+6 的图象交 x轴于点A，B （点A在点B的左侧） （1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y0 时x的取值范围 （2）把点B向上平移m个单位得点B1若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若 点B1向左平移（n
30、+6）个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合已知m0，n0，求m，n的值 3.（2019 浙江杭州中考）设二次函数y（xx1） （xx2） （x1，x2是实数） 14 （1）甲求得当x0 时，y0；当x1 时，y0；乙求得当x时，y若甲求得的结果都正确， 你认为乙求得的结果正确吗？说明理由 （2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示） （3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数） ，当 0 x1x21 时，求证：0mn 4.（2019 陕西中考）在平面直角坐标系中，已知抛物线L：yax 2+（ca）x+c 经过点A（3，0）和点B
31、 （0，6） ，L关于原点O对称的抛物线为L （1）求抛物线L的表达式； （2）点P在抛物线L上，且位于第一象限，过点P作PDy轴，垂足为D若POD与AOB相似，求符 合条件的点P的坐标 5.（2019 天津中考）已知抛物线yx 2bx+c（b，c 为常数，b0）经过点A（1，0） ，点M（m，0）是 x轴正半轴上的动点 （）当b2 时，求抛物线的顶点坐标； （）点D（b，yD）在抛物线上，当AMAD，m5 时，求b的值； （）点Q（b+，yQ）在抛物线上，当AM+2QM的最小值为时，求b的值 6.（2019 福建中考）已知抛物yax 2+bx+c（b0）与 x轴只有一个公共点 （1）若抛物线
32、与x轴的公共点坐标为（2，0） ，求a、c满足的关系式； （2）设A为抛物线上的一定点，直线l：ykx+1k与抛物线交于点B、C，直线BD垂直于直线y1， 垂足为点D当k0 时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且ABC为等腰直角三角形 求点A的坐标和抛物线的解析式； 证明：对于每个给定的实数k，都有A、D、C三点共线 7.（2019 广东中考） 如图 1，在平面直角坐标系中， 抛物线yx 2+ x与x轴交于点A、B（点 15 A在点B右侧） ，点D为抛物线的顶点，点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，CAD绕点C顺时针旋 转得到CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE （1）求点A、B、D的坐
33、标； （2）求证：四边形BFCE是平行四边形； （3）如图 2，过项点D作DD1x轴于点D1，点P是抛物线上一动点，过点P作PMx轴，点M为垂足，使 得PAM与DD1A相似（不含全等） 求出一个满足以上条件的点P的横坐标； 直接回答这样的点P共有几个？ 8.（2019 河南中考）如图，抛物线yax 2+ x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C直线yx2 经过点A，C （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m 当PCM是直角三角形时，求点P的坐标； 作点B关于点C的对称点B，则平面内存在直线l，使点M，B，B到该直线的距离都相等当点P在y 轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l：ykx+b的解析式 （k，b可用含m的式子表 示）
