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第6讲 二次函数与三角形相似结合题型 重点题型针对训练(含答案)2021年北师大版中考数学二轮复习

1、第第 6 6 讲讲 二次函数与三角形相似结合题型二次函数与三角形相似结合题型 【方法梳理】 两种题型 出现相似符号“ ” 出现中文字说相似 分类讨论(注意步骤书写技巧)相似性质 走“边成比例性质” 列方程求解 走“角相等性质” 三角函数或边角存在性问题 【强化巩固练习】 例 1.如图 1,已知抛物线 y=ax+bx+3 图象与 x 轴相交于 A(-3,0) ,B(1,0)两点,与 y 轴相交于点 C. (1)请直接写出抛物线的解析式为_ (2)如图 1,连接 AC,若点 P 在 y 轴上时,AP 和 4C 的夹角为 15,求线段 CP 的长; (3)如图 2,直线 l 与 x 轴相交于点 M,

2、直线 l 与线段 BC 相交于点 N,当MCNCAM 时,求直线 l 的表达式. 例 2在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 yax 2+bx+c 与 x 轴交于 A(1,0) ,B(4,0)两点,与 y 轴交于点 C(0,2) (1)求抛物线的函数表达式; (2)如图 1,点 D 为第四象限抛物线上一点,连接 AD,BC 交于点 E,求DE AE的最大值; (3)如图 2,连接 AC,BC,过点 O 作直线 lBC,点 P,Q 分别为直线 l 和抛物线上的点,试探究:在第一象限 是否存在这样的点 P,Q,使PQBCAB若存在,请求出所有符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理 由 例

3、 3.已知抛物线y = 1 2x 2 + bx + c与 x 轴交于 A(-4,0)、B 两点,与 y 轴交于点 C,且 AO=2OC. (1)求抛物线的函数表达式; (2)如图 1,点 D 为第三象限抛物线上一点,连接 OD、AC 交于点 E,求DE OE的最大值; (3)如图 2,连接 AC,BC,过点 O 作直线l/AC,点 P,Q 分别为直线l和抛物线上的点,试探究:在第二象限是否 存在这样的点 P,Q,使PQACBA,若存在,请求出所有符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由。 例 4如图,已知抛物线 y=1 3x 2+bx+c 经过ABC 的三个顶点,其中点 A(0,1) ,

4、点 B(9,10) ,ACx 轴,点 P 是直线 AC 下方抛物线上的动点 (1)求抛物线的解析式; (2)过点 P 且与 y 轴平行的直线 l 与直线 AB、AC 分别交于点 E、F,当四边形 AECP 的面积最大时,求点 P 的坐标; (3)当点 P 为抛物线的顶点时,在直线 AC 上是否存在点 Q,使得以 C、P、Q 为顶点的三角形与ABC 相似,若存 在,求出点 Q 的坐标,若不存在,请说明理由 l x y o A B C 图2 例 5.如图,在矩形 OABC 中,AO=10,AB=8,沿直线 CD 折叠矩形 OABC 的一边 BC,使点 B 落在 OA 边上的点 E 处,分 别以 O

5、C,OA 所在的直线为 x 轴,y 轴建立平面直角坐标系,抛物线 y=ax 2+bx+c 经过 O,D,C 三点. (1)求 AD 的长及抛物线的解析式; (2)一动点 P 从点 E 出发,沿 EC 以每秒 2 个单位长的速度向点 C 运动,同时动点 Q 从点 C 出发,沿 CO 以每秒 1 个 单位长的速度向点 O 运动,当点 P 运动到点 C 时,两点同时停止运动,设运动时 间为 t 秒,当 t 为何值时,以 P, Q,C 为顶点的三角形与ADE 相似? (3)点 N 在抛物线对称轴上,点 M 在抛物线上,是否存在这样的点 M 与点 N,使以 M,N,C,E 为顶点的四边形是平 行四边形?

6、若存在,请直接写出点 M 与点 N 的坐标(不写求解过程) ;若不存在,请说明理由. 例 6.(走角题).如图,抛物线y = ax2+ bx + c与 x 轴交于 A、B(1,0)两点,与 y 轴交于点 D,直线 AD:y=x+3,抛 物线的顶点为 C,CEAB. (1)求抛物线的解析式; (2)抛物线上是否存在点 M,使得SACD= 3 8SMAB?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由; (3)若点 P 为 x 轴上方的抛物线上一动点(点 P 与顶点 C 不重合) ,PQAC 于点 Q,当PCQ 与ACE 相似时,求 点 P 的坐标; 【答案详解】【答案详解】 例 1.如图 1,已

7、知抛物线 y=ax+bx+3 图象与 x 轴相交于 A(-3,0) ,B(1,0)两点,与 y 轴相交于点 C. (1)请直接写出抛物线的解析式为_ (2)如图 1,连接 AC,若点 P 在 y 轴上时,AP 和 4C 的夹角为 15,求线段 CP 的长; (3)如图 2,直线 l 与 x 轴相交于点 M,直线 l 与线段 BC 相交于点 N,当MCNCAM 时,求直线 l 的表达式. G O y x C D E B A 【解析】 (1)y = x2 2x + 3 (2)注意题目隐藏条件“CAO=45” ,即当 P 在 C 点上方时则OAP=60,当 P 在 C 点下方时则OAP=30,利用

8、特殊角的三角函数值来求解 CP 的长; 解:由抛物线解析式可得 C(0,3), 则 OA=OC=3,则CAO=45. 当点 P 在 C 点上方时,则OAP=60, OP=OAtanOAP=3OA=33, CP=OP-OC=33-3; 当点 P 在 C 点下方时,则OAP=30, OP=OAtanOAP= 3 3 OA=3, CP=OC-OP=33; 综上所述,CP 的长为 33-3 或 33; (3)二次函数与三角形相似综合题型,此题不存在分类讨论,有两个思考角度或解题方法,分别是“走边”或“走 角” ; 【思考角度 1】 “走边” 解:由MCNCAM 可得ACM=CMN, 可得 AC/MN,

9、 由 A、C 两点坐标可得直线 AC 的解析式为 y=x+3, 则设直线 MN 的解析式为 y=x+a, 即 OM=a, 由MCNCAM 可得 MC:CA=MN:CM, 即MN = CM2 CA = a2:9 32 , 由 MN/AC 可得 MN:AC=MB:BA, 即a 2:9 32 :32 = (a + 1):4, 解得 a=3 2或 a=3(舍去), 直线 l 的表达式 y=x+3 2. 【思考角度 2】 “走角” 由MCNCAM 可得CAM=MCN=45,出现特殊角,而只需求出 M 点坐标即可求出直线 l 的表达式.这是二次函数 几何综合题中的典型题型“边角存在性问题”.按“边角存在性

10、问题”的典型解题思路走即可解答此题. 解:如图,作 BDBC 交 MC 于点 D,过点 B 作 y 轴的平行线,过点 C、D 作 x 轴的平分线,分别交于点 E、F 两点, 由CBD=BED=CFB=90,BDE=DCF,CD=BD, 可证BDEBCF, 则 DE=BF=3,BE=CF=1, D(-2,-1), 设直线 CD 的解析式为 y=kx+3, 代入 D 点坐标可得 k=2, 直线 CD 的解析式为 y=2x+3, M(-3 2,0), 直线 l 的表达式 y=x+3 2. 例 2在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 yax 2+bx+c 与 x 轴交于 A(1,0) ,B(4,0

11、)两点,与 y 轴交于点 C(0,2) (1)求抛物线的函数表达式; (2)如图 1,点 D 为第四象限抛物线上一点,连接 AD,BC 交于点 E,求DE AE的最大值; (3)如图 2,连接 AC,BC,过点 O 作直线 lBC,点 P,Q 分别为直线 l 和抛物线上的点,试探究:在第一象限 是否存在这样的点 P,Q,使PQBCAB若存在,请求出所有符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理 由 【解析】 (1)设抛物线为交点式,即 y=a(x+1)(x-4), 代入 C 点坐标,可得 a=1 2, 抛物线解析式为y = 1 2(x+1)(x-4)= 1 2x 2 3 2x 2 (2)构造

12、相似典型图形“8 字模型” ,利用相似性质把DE AE用代数式表示出来,再利用二次函数配方法求最值。 解:作 KAx 轴交直线 BC 于点 K,作 DGx 轴于点 G,交直线 BC 于点 F, 由 B(4,0)、C(0,-2)可得直线 BC 的解析式为:y=1 2x-2, 则 K(-1,-5 2) , 则 AK=5 2, 设 D(a, 1 2a 2 3 2a 2), 则 F(a, 1 2a-2), 则 DF=1 2a-2-( 1 2a 2 3 2a 2)= 1 2a 2 + 2a, DF/AK, DE AE = DF AK = ;1 2a 2:2a 5 2 = 1 5a 2 + 4 5a =

13、1 5(a 2) 2 + 4 5, 即当 a=2 时,DE AE有最大值为 4 5. (3)由题可知:AC2= 5,BC2= 20,AB2= 25, AC2+ BC2= AB2, ACB=90, 当PQBCAB 时,QPB=ACB=90,BP QP = BC AC = 20 5 = 2,构造“一线三垂直模型”可求解点 P 的坐标; 又直线 lBC, 直线 l 的表达式为 y=1 2x. 当 P 在 Q 点右侧时,如图, 过 P 作 MNx 轴于 N,作 QMMN 于点 M, 则QMPPNB, BN MP = PN QM = BP QP = 2 设 P(2m,m),则 BN=2m-4,PN=m,

14、 QM=1 2m,MP=m-2, Q 点坐标为(3 2m,2m-2), 将 Q 点坐标代入抛物线解析式中得1 2 (3 2m) 2 3 2 (3 2m) 2 = 2m 2, 解得 m=34 9 或 m=0(舍去), P 点坐标为(68 9 ,34 9 ) ; 当 P 在 Q 点左侧时,如图, 过 P 作 MNx 轴于 N,作 QMMN 于点 M, 则QMPPNB, BN MP = PN QM = BP QP = 2 设 P(2m,m), 则 BN=4-2m,PN=m, QM=1 2m,MP=2-m, Q 点坐标为(5 2m,2), 将 Q 点坐标代入抛物线解析式中得1 2 (5 2m) 2 3

15、 2 (5 2m) 2 = 2, 解得 m=3:41 5 或 m=3;41 5 (舍去), P 点坐标为(6:241 5 ,3:41 5 ) ; 综上所述,P 的坐标为(68 9 ,34 9 )或(6:241 5 ,3:41 5 ) 例 3.已知抛物线y = 1 2x 2 + bx + c与 x 轴交于 A(-4,0)、B 两点,与 y 轴交于点 C,且 AO=2OC. (1)求抛物线的函数表达式; (2)如图 1,点 D 为第三象限抛物线上一点,连接 OD、AC 交于点 E,求DE OE的最大值; (3)如图 2,连接 AC,BC,过点 O 作直线l/AC,点 P,Q 分别为直线l和抛物线上

16、的点,试探究:在第二象限是否 存在这样的点 P,Q,使PQACBA,若存在,请求出所有符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由。 【解析】 (1)A(-4,0), OA=4, AO=2OC, OC=2, C(0,-2), 将 A、C 两点坐标代入y = 1 2x 2 + bx + c, 可得 1 2 16 4b + c = 0 c = 2 , 解得b = 3 2 c = 2 , 抛物线的函数表达式y = 1 2x 2 + 3 2x 2 (2)出现“线段比” ,构造相似三角形,利用相似性质转化成已知线段相关联;出现最值,用字母表示,利用二次 函数配方法求解。 解:作 DF/y 轴交 AC

17、于点 F, 由 A、C 的坐标可得直线 AC 的解析式为 y= 1 2x 2, 设 D(a, 1 2a 2 + 3 2a 2), 则 F(a, 1 2a-2), DF= 1 2a-2-( 1 2a 2 + 3 2a 2)= 1 2a 2 2a, DF/OC, l x y o A B C 图2 DE OE = DF OC = ; 1 2a 2;2a 2 , 即DE OE = 1 4a 2 a = 1 4 (a + 2)2+ 1, 1 4 0, 当 a=-2 时DE OE有最大值,最大值为 1 (3)解题经验:没图的几何题(原图并没给出 P、Q 位置) ,首先考虑分类讨论。不难发现:P 可在抛物线

18、内部(即 P 在 BQ 的左侧) ,也可在抛物线外部(即 P 在 BQ 的右侧) , 解题经验:相似中的已知三角形,多为特殊三角形,则由 A、B、C 的坐标不难发现ABC 是以点 C 为直角顶点的 直角三角形,则对应角P 也是直角,求直角顶点的坐标,代数论证方法走的是“两直线垂直 k 值负倒数”思路, 几何论证方法走的是“构造一线三垂直模型” ,从计算的角度,首选几何方法。 解:当1 2x 2 + 3 2x 2 = 0时 x=-4 或 x=1, B(1,0), 则AB = 5,AC = 25,BC = 5, AC2+ BC2= AB2, ACB=90, PQACBA, APQ=ACB=90,P

19、Q PA = CB AC = 5 25 = 1 2, AC/l,直线 AC 的解析式为 y= 1 2x 2, 直线l的解析式为 y= 1 2x. 当 P 在 AQ 右侧时,过点 P 作 MNx 轴于点 N,作 QMMN 于点 M,如图 4-1, 由MQP=NPA,QMP=ANP 可得QMPPNA, 则MP AN = QM PN = PQ PA = 1 2,, P 在直线l上,设 P(2m,-m), 则 PN=-m,AN=4+2m, QM= 1 2m,MP=2+m, Q(5 2m,2) , Q 在抛物线上,当1 2x 2 + 3 2x 2 = 2时解得 x= ;3;41 2 (正值舍去), 则

20、m=;3;41 5 ,P(;6;241 5 ,3:41 5 ) 当 P 在 AQ 左侧时,过点 P 作 MNx 轴于点 N,作 QMMN 于点 M,如图 4-2, 由MQP=NPA,QMP=ANP 可得QMPPNA, 则MP AN = QM PN = PQ PA = 1 2,, P 在直线l上,设 P(2m,-m), 则 PN=-m,AN=-2m-4, QM= 1 2m,MP=-m-2, Q(3 2m,-2m-2) , Q 在抛物线上,将 Q 点坐标代入 y=1 2x 2 + 3 2x 2, 代简得9 8m 2 + 17 4 m = 0, 解得 m= 34 9 (零值舍去), P( 68 9

21、,34 9 ) 综上所述,P 点坐标为(;6;241 5 ,3:41 5 )或( 68 9 ,34 9 ). 例 4如图,已知抛物线 y=1 3x 2+bx+c 经过ABC 的三个顶点,其中点 A(0,1) ,点 B(9,10) ,ACx 轴,点 P 是直线 AC 下方抛物线上的动点 (1)求抛物线的解析式; (2)过点 P 且与 y 轴平行的直线 l 与直线 AB、AC 分别交于点 E、F,当四边形 AECP 的面积最大时,求点 P 的坐标; (3)当点 P 为抛物线的顶点时,在直线 AC 上是否存在点 Q,使得以 C、P、Q 为顶点的三角形与ABC 相似,若存 在,求出点 Q 的坐标,若不

22、存在,请说明理由 【解析】 (1)点 A(0,1) B(9,10)在抛物线上, c = 1 1 3 81 9b + c = 10, b = 2 c = 1, 抛物线的解析式为 y=1 3x 2+2x+1, (2)ACx 轴,A(0,1) , 1 3x 2+2x+1=1, x1=6,x2=0, 点 C 的坐标(6,1) , 点 A(0,1) B(9,10) , 直线 AB 的解析式为 y=x+1, 设点 P(m,1 3m 2+2m+1) , E(m,m+1) PE=m+1(1 3m 2+2m+1)=1 3m 23m, ACEP,AC=6, S四边形 AECP=SAEC+SAPC=1 2ACEF+

23、 1 2ACPF= 1 2AC(EF+PF)= 1 2ACPE= 1 26( 1 3m 23m)=m29m=(m+9 2) 2+81 4 , 6m0, 当 m=9 2时,四边形 AECP 的面积的最大值是 81 4 ,此时点 P(9 2, 5 4) ; (3)y=1 3x 2+2x+1=1 3(x+3) 22, P(3,2) , PF=yFyP=3,CF=xFxC=3, PF=CF, PCF=45同理可得:EAF=45, PCF=EAF, 在直线 AC 上存在满足条件的 Q, 设 Q(t,1)且 AB=92,AC=6,CP=32, 以 C、P、Q 为顶点的三角形与ABC 相似, 当CPQABC

24、 时,CQ AC = CP AB, |t:6| 6 = 32 92,t=4 或 t=8(不符合题意,舍)Q(4,1) 当CQPABC 时,CQ AB = CP AC, |t:6| 92 = 32 6 ,t=3 或 t=15(不符合题意,舍)Q(3,1) 综上所述,Q 点坐标为(-4,1)或(3,1) 例 5.如图,在矩形 OABC 中,AO=10,AB=8,沿直线 CD 折叠矩形 OABC 的一边 BC,使点 B 落在 OA 边上的点 E 处,分 别以 OC,OA 所在的直线为 x 轴,y 轴建立平面直角坐标系,抛物线 y=ax 2+bx+c 经过 O,D,C 三点. (1)求 AD 的长及抛

25、物线的解析式; (2)一动点 P 从点 E 出发,沿 EC 以每秒 2 个单位长的速度向点 C 运动,同时动点 Q 从点 C 出发,沿 CO 以每秒 1 个 单位长的速度向点 O 运动,当点 P 运动到点 C 时,两点同时停止运动,设运动时 间为 t 秒,当 t 为何值时,以 P, Q,C 为顶点的三角形与ADE 相似? (3)点 N 在抛物线对称轴上,点 M 在抛物线上,是否存在这样的点 M 与点 N,使以 M,N,C,E 为顶点的四边形是平 行四边形?若存在,请直接写出点 M 与点 N 的坐标(不写求解过程) ;若不存在,请说明理由. 【解析】 (1)解:四边形 ABCO 为矩形, OAB

26、=AOC=B=90,AB=CO=8,AO=BC=10 由题意,得BDCEDC B=DEC=90,EC=BC=10,ED=BD 由勾股定理易得 EO=6 AE=106=4, 设 AD=x,则 BD=ED=8x, 由勾股定理,得 x 2+42=(8x)2 , 解得,x=3, AD=3 抛物线 y=ax 2+bx+c 过点 D(3,10) ,C(8,0) ,O(0,0,) 9a + 3b = 10 64a + 8b = 0 c = 0 解得 a = 2 3 b = 16 3 抛物线的解析式为:y= 2 3x 2+16 3 x (2)DEA+OEC=90,OCE+OEC=90, DEA=OCE, 由(

27、1)可得 AD=3,AE=4,DE=5 而 CQ=t,EP=2t,PC=102t 当PQC=DAE=90,ADEQPC, CQ EA = C ED,即 t 4 = 10;2t 5 , 解得 t=40 3 当QPC=DAE=90,ADEPQC, PC AE = CQ ED,即 10;2t 4 = t 5, 解得 t=25 7 当 t=40 13或 25 7 时,以 P、Q、C 为顶点的三角形与ADE 相似 (3)解:假设存在符合条件的 M、N 点,分两种情况讨论: EC 为平行四边形的对角线,由于抛物线的对称轴经过 EC 中点, 若四边形 MENC 是平行四边形,那么 M 点必为抛物线顶点; 则

28、:M(4,32 3 ) ; 而平行四边形的对角线互相平分,那么线段 MN 必被 EC 中点(4,3)平分,则 N(4, 14 3 ) ; EC 为平行四边形的边,则 EC/MN,EC=MN, 设 N(4,m) ,则 M(48,m+6)或 M(4+8,m6) ; 将 M(4,m+6)代入抛物线的解析式中,得:m=38, 此时 N(4,38) 、M(4,32) ; 将 M(12,m6)代入抛物线的解析式中,得:m=26, 此时 N(4,2 6) 、M(12,32) 综上,存在符合条件的 M、N 点,且它们的坐标为: M1(4,32) ,N1(4,38) M2(12,32) ,N2(4,26) M3

29、(4,32 3 ) ,N3(4, 14 3 ) 例 6.(走角题).如图,抛物线y = ax2+ bx + c与 x 轴交于 A、B(1,0)两点,与 y 轴交于点 D,直线 AD:y=x+3,抛 物线的顶点为 C,CEAB. (1)求抛物线的解析式; (2)抛物线上是否存在点 M,使得SACD= 3 8SMAB?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由; (3)若点 P 为 x 轴上方的抛物线上一动点(点 P 与顶点 C 不重合) ,PQAC 于点 Q,当PCQ 与ACE 相似时,求 点 P 的坐标; 【解析】 (1)求解析式,基础简单题; 由 y=x+3 可得 A(-3,0),D(0

30、,3), 设二次函数解析式为y = a(x+ 3)(x 1), 代入 D 点坐标,可得 a=-1, 二次函数解析式为y = x2 2x + 3. (2)二次函数与面积问题,中等难度题; 由(1)可得顶点 C 的坐标为(-1,4) , 设 CE 与 AD 交于点 G, G O y x C D E B A 图1 H F Q P G O y x C D E B AM 图2 F Q P A B E D C x y O 则 G(-1,2) ,CG=2, 则SACD= 1 2OA CG = 3, SMAB= 8, SMAB= 1 2AB |yM| = 1 2 4 |yM| = 8, |yM| = 4, 当

31、yM= 4,即x2 2x + 3 = 4,解得 x=-1,即 M 的坐标为(-1,4) ; 当yM= 4,即x2 2x + 3 = 4,解得 x=1 22,即 M 的坐标为(1 22,4) ; 综上所述,M 点的坐标为(-1,4) 、 (1 + 22,4) 、 (1 22,4) ; (3)二次函数与相似问题,压轴性质小题. 由于AEC=PQC=90,所以PCQ 与ACE 相似存在以下两种情形: 当EACQPC 时,如图 1, 作 FAAC 交 CP 的延长线于点 F, 作 FHx 轴于点 H, 则EACAFC, 则 CE:AE=CA:AF=4:2=2, 易证EACHFA, 则 CA:AF=AE

32、:HF=EC:AH, 可得 FH=1,AH=2, 则 OH=5, 则 F(-5,1), C(-1,4) ,F(-5,1), 可得直线 CF 的解析式为:y = 3 4x + 19 4 , 解联立方程组 y = 3 4x + 19 4 y = x2 2x + 3 , 可得x = 1 y = 4 (舍去)、 x = 7 4 y = 55 16 , P 点坐标为( 7 4, 55 16). 当EACQCP 时,如图 2, 则EAC=QCP, 由可知ACF=AEC, ACF+ACP=90, 即 PCCF, 由可知直线 CF 的解析式为:y = 3 4x + 19 4 , 设直线 CP 的解析式为:y = 4 3x + b, 代入 C 点坐标,可得 b=8 3, 则直线 CM 的解析式为:y = 4 3x + 8 3, 解联立方程组 y = 4 3x + 8 3 y = x2 2x + 3 , 可得x = 1 y = 4 (舍去)、 x = 1 3 y = 20 9 , P 点坐标为(1 3, 20 9 ).综上所述,P 点坐标为( 7 4, 55 16) 、 ( 1 3, 20 9 ).