1、专题专题 0101 中点相关的辅助线问题中点相关的辅助线问题 1如图，在ABC中，ABAC，AD是中线，AE是角平分线，点F是AE上任意一点（不与A，E 重合） ，连接BF、CF给出以下结论： ABEB ACEC ； 1 () 2 DAEACBABC； 11 ()() 22 ABACADABAC；AB CFACBF其中一定正确的有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1个 【分析】【分析】根据面积法可得 ABE ACE SAB SAC ， ABE ACE SBE SCE ，从而可得正确；由AD是中线，无法得出 1 () 2 DAEACBABC，故可判断错误；运用 SAS 证明ADCMDB得A
2、CMB，在 AMB中运用三角形三边关系可得结论，从而判断；在AB上截取ANAC，连接FN，运用SAS证 明AFNAFC得NFCF，在BNF中运用三角形三边关系可得结论，从而判断 【解析】【解析】过E作EGAB于G，EHAC于H，过A作AKBC于K， AE是BAC角平分线，EGAB，EHAC， EGEH， 1 2 1 2 ABE ACE AB EG SAB SAC AC EH ，AKBC， 1 2 ABE SBE AK ， 1 2 ACE SCE AK 1 2 1 2 ABE ACE BE AK SBE SCE CE AK ， ABEB ACEC ，故正确； 180BACACBABC180()B
3、ACACBABC ， AE平分BAC， 11 90() 22 BAECAEBACACBABC ， AD是中线，无法得出 1 () 2 DAEACBABC，故错误； 延长AD到M使DMAD，连接BM， AD是中线，BDCD， 在ADC和MDB中， ADMD ADCMDB BDCD ，()ADCMDB SAS ，ACMB 在AMB中，ABBMAMABBM 2AMADDMAD，ACBM，2ABACADABAC 11 ()() 22 ABACADABAC，故正确； 在AB上截取ANAC，连接FN， AE是角平分线，NAFCAF， 在AFN和AFC中， ANAC NAFCAF AFAF ，()AFNAF
4、C SAS ，NFCF， 在BNF中，BFNFBN， BNABANABAC，BFCFABAC， 即AB CFACBF，故正确； 综上正确故选 B 【小结】【小结】此题主要考查了三角形的中线， 角平分线以及全等三角形的判定与性质， 关键是正确画出辅助线 2如图，在ABC 中，AB=8，AC=5，AD是ABC的中线，则 AD的取值范围是（ ） A3AD13 B1.5AD6.5 C2.5AD7.5 D10AD， BD- CD 【分析】【分析】 （1）延长 AD至 E，使 DE=AD，连接 CE，利用“SAS”证明CDEADB，再利用三角形的三 边关系证明即可； （2）在 AB 上截取 AG=AC，连
5、接 DG，利用“SAS”证明ADCADG，再根据三角形三边关系即可证 明 AB- AC BD- CD 【解析】【解析】 （1）如图，延长 AD 至 E，使 DE=AD，连接 CE， 在CDE与ADB中， ADDE ADBEDC BDCD ，CDEADB（SAS） ，AB=CE， AB+AC=AC+CEAE=2AD，即 AB+AC2AD； （2）在 AB 上截取 AG=AC，连接 DG， AD 是角平分线，1=2， 在ADC 和ADG 中，12 ACAG ADAD ，ADCADG(SAS)，DC=DG， AB- AC = AB- AG=BG BD- DG = BD- CD 【小结】【小结】本题主
6、要考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系，添加辅助线构建全等三角形是解 题的关键 16 在ABC中， C90 ， ACBC， D 是 AB的中点， E为直线 AC上一动点， 连接 DE， 过点 D 作 DFDE， 交直线 BC于点 F，连接 EF （1）如图 1，当点 E是线段 AC的中点时，AE2，BF1，求 EF的长； （2）当点 E在线段 CA 的延长线上时，依题意补全图形 2，用等式表示 AE，EF，BF之间的数量关系，并 证明 【分析】【分析】 （1）由三角形的中位线定理得 DEBC，DE 1 2 BC，进而证明四边形 CEDF是矩形得 DECF， 得出 CF，再根据勾股定理
7、得结果； （2）过点 B作 BMAC，与 ED 的延长线交于点 M，连接 MF，证明ADEBDM得 AEBM，DE DM，由垂直平分线的判定定理得 EFMF，进而根据勾股定理得结论 【解析】【解析】 （1）D是 AB的中点，E 是线段 AC的中点， DEBC，DE 1 2 BC， ACB90 ， DEC90 ， DFDE， EDF90 ， 四边形 CEDF是矩形， DECF 1 2 BC， CFBF1， CEAE2， EF 2222 125CFCE ； （2）AE2+BF2EF2 证明：过点 B 作 BMAC，与 ED 的延长线交于点 M，连接 MF， 则AEDBMD，CBMACB90 ， D
8、 点是 AB 的中点， ADBD， 在ADE 和BDM 中， AEDBMD ADEBDM ADBD ，ADEBDM（AAS） ，AEBM，DEDM， DFDE， EFMF， BM2+BF2MF2， AE2+BF2EF2 【小结】【小结】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直平分线的判定， 关键在于构造全等三角形 17 如图 1， 已知正方形ABCD和等腰Rt BEF，EFBE，90BEF，F是线段BC上一点， 取DF 中点G，连接EG、CG （1）探究EG与CG的数量与位置关系，并说明理由； （2）如图 2，将图 1 中的等腰Rt BEF绕点B顺时针旋转090，
9、则（1）中的结论是否仍然成 立？请说明理由； （3）在（2）的条件下，若2AD ，求2GEBF的最小值 【分析】【分析】 （1）首先根据正方形和等腰直角三角形的性质得出B、E、D三点共线，然后利用直角三角形斜 边中线的性质即可证明EGCG， 然后利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得出90EGC， 从而证明EGCG； （2）延长CG至H，使GHCG，连接HF交BC于M，连接EH、EC，首先通过 SAS 证明 HFGCDG，从而利用全等三角形的性质及平行线的判定证明/HF CD，进而可利用正方形和等 腰直角三角形的性质证明BECFEH，从而可证明结论仍然成立； （3）连接AH，首先根据题意
10、确定当A、H、G，C在同一直线上时，2GEBF有最小值，此时BE在 BC上，然后根据平行四边形的判定及性质得出2GEBF有最小值就是AC的长，最后利用勾股定理求 解即可 【解析】【解析】 （1）EGCG且EGCG 理由如下：如图 1，连接BD 正方形ABCD和等腰Rt BEF， 45EBFDBC， B、E、D三点共线 90DEF，G为DF的中点，90DCB， 1 2 EGDFCGDG 2EGFEDG ，2CGFCDG 290EGFCGFEDC ，即90EGC， EGCG （2）仍然成立 理由如下：如图 2，延长CG至H，使GHCG，连接HF交BC于M，连接EH、EC GFGD，HGFCGD，H
11、GCG，HFGCDG SAS， HFCD，GHFGCD，/HF CD ABCD是正方形，HFBC，HFBC BEF是等腰直角三角形， BEEF，EBCHFE，BECFEH SAS， HEEC，BECFEH，90BEFHEC ，ECH为等腰直角三角形 又CGGH，EGCG且EGCG （3）如下图，连接AH， 当A、H、G，C在同一直线上时，2GEBF有最小值，此时BE在BC上， /FH AB，/AC BF， 四边形ABFH是平行四边形，AHBF，由（2）知CG GH，2GEBFCHAHAC， 即2GEBF有最小值，就是AC的长，由勾股定理得 22 222 2AC 【小结】【小结】本题主要考查四边
12、形综合，掌握平行四边形的判定及性质，等腰三角形的性质，正方形的性质， 全等三角形的判定及性质是解题的关键 18如图，在 ABC 中，AB=AC，D 为线段 BC的延长线上一点，且 DB=DA，BEAD 于点 E，取 BE的 中点 F，连接 AF (1)若 AC= 15，AE=3，求 BE的长； (2)在（1）的条件下，如果D=45 ，求 ABD的面积 (3)若BAC=DAF，求证：2AF=AD； 【分析】【分析】 （1）在 RtAEB中，利用勾股定理即可解决问题； （2）由D45 可证得 BEDE，再利用三角的面积公式计算即可； （3）如图，延长 AF至 M点，使 AFMF，连接 BM，首先证
13、明AEFMFB，再证明ABMACD 即可 【解析】【解析】 （1）解：ABAC，AC15， AB15， BEAD，AE3， 在 RtAEB 中， 2222 ( 15)( 3)2 3BEABAE ； （2）解：BEAD，D45 ， EBDD 45 ， BEDE2 3， ADAE+DE32 33 3， 11 3 32 39 22 ABD SAD BE； （3）证明：如图，延长 AF至 M点，使 AFMF，连接 BM， 点 F为 BE的中点， EFBF， 在AEF和MBF 中， AFFM AFEBFM EFBF ，AEFMBF（SAS） ，FAEFMB， AEMB， EAB+ABM180， ABM1
14、80BAD， 又ABAC，DBDA， ABCACBBAD， ACD180ACB， ABMACD 又BACDAF， BACMACDAFMAC， 12 在ABM 和ACD 中， 12 ABAC ABMACD ，ABMACD（ASA） ，AMAD， 又AMAF+MF2AF， 2AFAD 【小结】【小结】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是中线延 长一倍，作出正确的辅助线构造全等三角形，属于常考题型 19阅读下面材料： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图，AD为ABC中线，点 E 在 AC 上，BE交 AD于点 F，AEEF求证：ACBF 经过讨论，同学们得
15、到以下两种思路： 思路一如图， 添加辅助线后依据 SAS可证得ADCGDB， 再利用 AEEF可以进一步证得GFAE AFEBFG，从而证明结论 思路二如图，添加辅助线后并利用 AEEF 可证得GBFGAFEFAE，再依据 AAS可以进一 步证得ADCGDB，从而证明结论 完成下面问题： （1）思路一的辅助线的作法是： ； 思路二的辅助线的作法是： （2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不 需要写出证明过程） 【分析】【分析】 （1）依据 SAS可证得ADCGDB，再利用 AEEF 可以进一步证得GFAEAFE BFG，从而证明结论 作 B
16、GBF交 AD 的延长线于点 G利用 AEEF 可证得GBFGAFEFAE，再依据 AAS 可 以进一步证得ADCGDB，从而证明结论 （2）作 BGAC交 AD的延长线于 G，证明ADCGDB（AAS） ，得出 ACBG，证出GBFG， 得出 BGBF，即可得出结论 【解析】【解析】 （1）延长 AD至点 G，使 DGAD，连接 BG，如图，理由如下： AD为ABC中线， BDCD， 在ADC和GDB 中， =AD DG ADCGD CDBD B ，ADCGDB（SAS） ，ACBG， AEEF，CADEFA， BFGG，GCAD， GBFG， BGBF， ACBF 故答案为：延长 AD至点
17、 G，使 DGAD，连接 BG； 作 BGBF交 AD 的延长线于点 G，如图 理由如下：BGBF，GBFG， AEEF，EAFEFA，又EFABFG，GEAF， 在ADC和GDB 中， CADG ADCG CDBD DB ，ADCGDB（AAS） ，ACBG，ACBF； 故答案为：作 BGBF交 AD 的延长线于点 G； （2）作 BGAC交 AD的延长线于 G，如图所示：则GCAD，AD为ABC中线，BDCD， 在ADC和GDB 中， CADG ADCG CDBD DB ，ADCGDB（AAS） ，ACBG， AEEF，CADEFA， BFGEFA，GCAD，GBFG，BGBF，ACBF
18、【小结】【小结】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、其中一般证明两个三角形全等共有 四个定理：AAS、ASA、SAS、SSS，需要同学们灵活运用，解题的关键是学会做辅助线解决问题 20已知：如图，在ABC中，90C，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且EDFD 于D.求证： 222 AEBFEF . 【分析】【分析】通过倍长线段DE，将AE、BF、EF转化到BGF中，再证BGF为直角三角形. 【解析】【解析】延长ED至G，使DGDE，连结BG、FG， ADBD，ADEBDG， ADEBDG， AEBG，ADBG ， ACBG ， 180CFBG ，90FBG， 222
19、 BGBFGF， 又EDFD，EDGD， EFGF， 222 AEBFEF . 【小结】【小结】本题考查了全等三角形判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关 键. 21如图所示，在ABC中，AD为中线，90 ,2BADABAD，求DAC的度数 【分析】【分析】延长 AD至 E，使DEAD，连结CE，则ADBEDC，根据全等三角形的性质得 EC=AB， 90EBAD ，由 AB=2AD 可得 EC=AE，可得AEC 是等腰直角三角形，即可得DAC的度数 【解析】【解析】延长 AD 至 E，使DEAD，连结CE， BD=CD，ADB=EDC ADBEDC， EC=AB，90EBAD ， AB=2AD，DEAD AB=AE=EC AEC是等腰直角三角形， DAC=45 . 故答案为 45 . 【小结】【小结】本题考查全等三角形的判定与性质, 等腰直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线构建全等三角 形和等腰直角三角形.
