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吃透中考数学29个几何模型模型01:中点相关的辅助线问题

1、专题专题 0101 中点相关的辅助线问题中点相关的辅助线问题 1如图,在ABC中,ABAC,AD是中线,AE是角平分线,点F是AE上任意一点(不与A,E 重合) ,连接BF、CF给出以下结论: ABEB ACEC ; 1 () 2 DAEACBABC; 11 ()() 22 ABACADABAC;AB CFACBF其中一定正确的有( ) A4 个 B3 个 C2 个 D1个 【分析】【分析】根据面积法可得 ABE ACE SAB SAC , ABE ACE SBE SCE ,从而可得正确;由AD是中线,无法得出 1 () 2 DAEACBABC,故可判断错误;运用 SAS 证明ADCMDB得A

2、CMB,在 AMB中运用三角形三边关系可得结论,从而判断;在AB上截取ANAC,连接FN,运用SAS证 明AFNAFC得NFCF,在BNF中运用三角形三边关系可得结论,从而判断 【解析】【解析】过E作EGAB于G,EHAC于H,过A作AKBC于K, AE是BAC角平分线,EGAB,EHAC, EGEH, 1 2 1 2 ABE ACE AB EG SAB SAC AC EH ,AKBC, 1 2 ABE SBE AK , 1 2 ACE SCE AK 1 2 1 2 ABE ACE BE AK SBE SCE CE AK , ABEB ACEC ,故正确; 180BACACBABC180()B

3、ACACBABC , AE平分BAC, 11 90() 22 BAECAEBACACBABC , AD是中线,无法得出 1 () 2 DAEACBABC,故错误; 延长AD到M使DMAD,连接BM, AD是中线,BDCD, 在ADC和MDB中, ADMD ADCMDB BDCD ,()ADCMDB SAS ,ACMB 在AMB中,ABBMAMABBM 2AMADDMAD,ACBM,2ABACADABAC 11 ()() 22 ABACADABAC,故正确; 在AB上截取ANAC,连接FN, AE是角平分线,NAFCAF, 在AFN和AFC中, ANAC NAFCAF AFAF ,()AFNAF

4、C SAS ,NFCF, 在BNF中,BFNFBN, BNABANABAC,BFCFABAC, 即AB CFACBF,故正确; 综上正确故选 B 【小结】【小结】此题主要考查了三角形的中线, 角平分线以及全等三角形的判定与性质, 关键是正确画出辅助线 2如图,在ABC 中,AB=8,AC=5,AD是ABC的中线,则 AD的取值范围是( ) A3AD13 B1.5AD6.5 C2.5AD7.5 D10AD, BD- CD 【分析】【分析】 (1)延长 AD至 E,使 DE=AD,连接 CE,利用“SAS”证明CDEADB,再利用三角形的三 边关系证明即可; (2)在 AB 上截取 AG=AC,连

5、接 DG,利用“SAS”证明ADCADG,再根据三角形三边关系即可证 明 AB- AC BD- CD 【解析】【解析】 (1)如图,延长 AD 至 E,使 DE=AD,连接 CE, 在CDE与ADB中, ADDE ADBEDC BDCD ,CDEADB(SAS) ,AB=CE, AB+AC=AC+CEAE=2AD,即 AB+AC2AD; (2)在 AB 上截取 AG=AC,连接 DG, AD 是角平分线,1=2, 在ADC 和ADG 中,12 ACAG ADAD ,ADCADG(SAS),DC=DG, AB- AC = AB- AG=BG BD- DG = BD- CD 【小结】【小结】本题主

6、要考查了全等三角形的判定和性质,三角形三边的关系,添加辅助线构建全等三角形是解 题的关键 16 在ABC中, C90 , ACBC, D 是 AB的中点, E为直线 AC上一动点, 连接 DE, 过点 D 作 DFDE, 交直线 BC于点 F,连接 EF (1)如图 1,当点 E是线段 AC的中点时,AE2,BF1,求 EF的长; (2)当点 E在线段 CA 的延长线上时,依题意补全图形 2,用等式表示 AE,EF,BF之间的数量关系,并 证明 【分析】【分析】 (1)由三角形的中位线定理得 DEBC,DE 1 2 BC,进而证明四边形 CEDF是矩形得 DECF, 得出 CF,再根据勾股定理

7、得结果; (2)过点 B作 BMAC,与 ED 的延长线交于点 M,连接 MF,证明ADEBDM得 AEBM,DE DM,由垂直平分线的判定定理得 EFMF,进而根据勾股定理得结论 【解析】【解析】 (1)D是 AB的中点,E 是线段 AC的中点, DEBC,DE 1 2 BC, ACB90 , DEC90 , DFDE, EDF90 , 四边形 CEDF是矩形, DECF 1 2 BC, CFBF1, CEAE2, EF 2222 125CFCE ; (2)AE2+BF2EF2 证明:过点 B 作 BMAC,与 ED 的延长线交于点 M,连接 MF, 则AEDBMD,CBMACB90 , D

8、 点是 AB 的中点, ADBD, 在ADE 和BDM 中, AEDBMD ADEBDM ADBD ,ADEBDM(AAS) ,AEBM,DEDM, DFDE, EFMF, BM2+BF2MF2, AE2+BF2EF2 【小结】【小结】本题主要考查了直角三角形的性质,全等三角形的性质与判定,勾股定理,垂直平分线的判定, 关键在于构造全等三角形 17 如图 1, 已知正方形ABCD和等腰Rt BEF,EFBE,90BEF,F是线段BC上一点, 取DF 中点G,连接EG、CG (1)探究EG与CG的数量与位置关系,并说明理由; (2)如图 2,将图 1 中的等腰Rt BEF绕点B顺时针旋转090,

9、则(1)中的结论是否仍然成 立?请说明理由; (3)在(2)的条件下,若2AD ,求2GEBF的最小值 【分析】【分析】 (1)首先根据正方形和等腰直角三角形的性质得出B、E、D三点共线,然后利用直角三角形斜 边中线的性质即可证明EGCG, 然后利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得出90EGC, 从而证明EGCG; (2)延长CG至H,使GHCG,连接HF交BC于M,连接EH、EC,首先通过 SAS 证明 HFGCDG,从而利用全等三角形的性质及平行线的判定证明/HF CD,进而可利用正方形和等 腰直角三角形的性质证明BECFEH,从而可证明结论仍然成立; (3)连接AH,首先根据题意

10、确定当A、H、G,C在同一直线上时,2GEBF有最小值,此时BE在 BC上,然后根据平行四边形的判定及性质得出2GEBF有最小值就是AC的长,最后利用勾股定理求 解即可 【解析】【解析】 (1)EGCG且EGCG 理由如下:如图 1,连接BD 正方形ABCD和等腰Rt BEF, 45EBFDBC, B、E、D三点共线 90DEF,G为DF的中点,90DCB, 1 2 EGDFCGDG 2EGFEDG ,2CGFCDG 290EGFCGFEDC ,即90EGC, EGCG (2)仍然成立 理由如下:如图 2,延长CG至H,使GHCG,连接HF交BC于M,连接EH、EC GFGD,HGFCGD,H

11、GCG,HFGCDG SAS, HFCD,GHFGCD,/HF CD ABCD是正方形,HFBC,HFBC BEF是等腰直角三角形, BEEF,EBCHFE,BECFEH SAS, HEEC,BECFEH,90BEFHEC ,ECH为等腰直角三角形 又CGGH,EGCG且EGCG (3)如下图,连接AH, 当A、H、G,C在同一直线上时,2GEBF有最小值,此时BE在BC上, /FH AB,/AC BF, 四边形ABFH是平行四边形,AHBF,由(2)知CG GH,2GEBFCHAHAC, 即2GEBF有最小值,就是AC的长,由勾股定理得 22 222 2AC 【小结】【小结】本题主要考查四边

12、形综合,掌握平行四边形的判定及性质,等腰三角形的性质,正方形的性质, 全等三角形的判定及性质是解题的关键 18如图,在 ABC 中,AB=AC,D 为线段 BC的延长线上一点,且 DB=DA,BEAD 于点 E,取 BE的 中点 F,连接 AF (1)若 AC= 15,AE=3,求 BE的长; (2)在(1)的条件下,如果D=45 ,求 ABD的面积 (3)若BAC=DAF,求证:2AF=AD; 【分析】【分析】 (1)在 RtAEB中,利用勾股定理即可解决问题; (2)由D45 可证得 BEDE,再利用三角的面积公式计算即可; (3)如图,延长 AF至 M点,使 AFMF,连接 BM,首先证

13、明AEFMFB,再证明ABMACD 即可 【解析】【解析】 (1)解:ABAC,AC15, AB15, BEAD,AE3, 在 RtAEB 中, 2222 ( 15)( 3)2 3BEABAE ; (2)解:BEAD,D45 , EBDD 45 , BEDE2 3, ADAE+DE32 33 3, 11 3 32 39 22 ABD SAD BE; (3)证明:如图,延长 AF至 M点,使 AFMF,连接 BM, 点 F为 BE的中点, EFBF, 在AEF和MBF 中, AFFM AFEBFM EFBF ,AEFMBF(SAS) ,FAEFMB, AEMB, EAB+ABM180, ABM1

14、80BAD, 又ABAC,DBDA, ABCACBBAD, ACD180ACB, ABMACD 又BACDAF, BACMACDAFMAC, 12 在ABM 和ACD 中, 12 ABAC ABMACD ,ABMACD(ASA) ,AMAD, 又AMAF+MF2AF, 2AFAD 【小结】【小结】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识,解题的关键是中线延 长一倍,作出正确的辅助线构造全等三角形,属于常考题型 19阅读下面材料: 数学课上,老师给出了如下问题: 如图,AD为ABC中线,点 E 在 AC 上,BE交 AD于点 F,AEEF求证:ACBF 经过讨论,同学们得

15、到以下两种思路: 思路一如图, 添加辅助线后依据 SAS可证得ADCGDB, 再利用 AEEF可以进一步证得GFAE AFEBFG,从而证明结论 思路二如图,添加辅助线后并利用 AEEF 可证得GBFGAFEFAE,再依据 AAS可以进一 步证得ADCGDB,从而证明结论 完成下面问题: (1)思路一的辅助线的作法是: ; 思路二的辅助线的作法是: (2)请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法(要求:只写出辅助线的作法,并画出相应的图形,不 需要写出证明过程) 【分析】【分析】 (1)依据 SAS可证得ADCGDB,再利用 AEEF 可以进一步证得GFAEAFE BFG,从而证明结论 作 B

16、GBF交 AD 的延长线于点 G利用 AEEF 可证得GBFGAFEFAE,再依据 AAS 可 以进一步证得ADCGDB,从而证明结论 (2)作 BGAC交 AD的延长线于 G,证明ADCGDB(AAS) ,得出 ACBG,证出GBFG, 得出 BGBF,即可得出结论 【解析】【解析】 (1)延长 AD至点 G,使 DGAD,连接 BG,如图,理由如下: AD为ABC中线, BDCD, 在ADC和GDB 中, =AD DG ADCGD CDBD B ,ADCGDB(SAS) ,ACBG, AEEF,CADEFA, BFGG,GCAD, GBFG, BGBF, ACBF 故答案为:延长 AD至点

17、 G,使 DGAD,连接 BG; 作 BGBF交 AD 的延长线于点 G,如图 理由如下:BGBF,GBFG, AEEF,EAFEFA,又EFABFG,GEAF, 在ADC和GDB 中, CADG ADCG CDBD DB ,ADCGDB(AAS) ,ACBG,ACBF; 故答案为:作 BGBF交 AD 的延长线于点 G; (2)作 BGAC交 AD的延长线于 G,如图所示:则GCAD,AD为ABC中线,BDCD, 在ADC和GDB 中, CADG ADCG CDBD DB ,ADCGDB(AAS) ,ACBG, AEEF,CADEFA, BFGEFA,GCAD,GBFG,BGBF,ACBF

18、【小结】【小结】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、其中一般证明两个三角形全等共有 四个定理:AAS、ASA、SAS、SSS,需要同学们灵活运用,解题的关键是学会做辅助线解决问题 20已知:如图,在ABC中,90C,D为AB的中点,E、F分别在AC、BC上,且EDFD 于D.求证: 222 AEBFEF . 【分析】【分析】通过倍长线段DE,将AE、BF、EF转化到BGF中,再证BGF为直角三角形. 【解析】【解析】延长ED至G,使DGDE,连结BG、FG, ADBD,ADEBDG, ADEBDG, AEBG,ADBG , ACBG , 180CFBG ,90FBG, 222

19、 BGBFGF, 又EDFD,EDGD, EFGF, 222 AEBFEF . 【小结】【小结】本题考查了全等三角形判定与性质,勾股定理,正确添加辅助线,熟练掌握相关知识是解题的关 键. 21如图所示,在ABC中,AD为中线,90 ,2BADABAD,求DAC的度数 【分析】【分析】延长 AD至 E,使DEAD,连结CE,则ADBEDC,根据全等三角形的性质得 EC=AB, 90EBAD ,由 AB=2AD 可得 EC=AE,可得AEC 是等腰直角三角形,即可得DAC的度数 【解析】【解析】延长 AD 至 E,使DEAD,连结CE, BD=CD,ADB=EDC ADBEDC, EC=AB,90EBAD , AB=2AD,DEAD AB=AE=EC AEC是等腰直角三角形, DAC=45 . 故答案为 45 . 【小结】【小结】本题考查全等三角形的判定与性质, 等腰直角三角形的性质,解题的关键是作辅助线构建全等三角 形和等腰直角三角形.