1、 倍长中线模型巩固练习倍长中线模型巩固练习(提优提优) 1. 如图，ABC 为等边三角形，BDDE，BDE120，连接 CE，F 为 CE 的中点，连接 DF 并倍长， 连接 AD、CG、AG.下列结论：CGDE；若 DEBC，则ABHGBD；在的条件下，若 CE BC，则.其中正确的有( ) A.都正确 B.只有正确 C.只有正确 D.只有正确 【解答】A 【解析】点 F 是 EC 的中点，CFEF， 在CFG 和EFD 中，CFGEFD(SAS)， CGDE，故本选项正确； DEBC，BDE120，GBD60(两直线平行，同旁内角互补)， ABC 是等边三角形，ABCACB60，ABAC，
2、 ABDABCGBD120，ACG180-ACB120，ABDACG 又CGDE，DBDE，BDCG， 在ABD 与ACG 中，ABDACG(SAS)， ADAG，BADCAG，DAG60，ADG 是等边三角形， ADG60，BDGBDHADGBDH60， 又AHBBDHGBDBDH60，AHBGDB(等量代换)， ABHGBD，ABHGBD，故本选项正确； 如图所示，过点 D 作 DQBC 于点 Q， ECBC，D/CE. 又DEBC，四边形 DECQ 是矩形，CQDE. BDDE，DECG，CQCG， 设，则在 RtBDQ 中，由特殊角的三角函数值求得， 在 RtGQD 中，由勾股定理求得
3、， 由知ADG 是等边三角形，则 ADGD， ，即，故本选项正确； 综上所述，正确的结论是. 2. 小明遇到这样一个问题，如图 1，ABC 中，AB7，AC5，点 D 为 BC 的中点，求 AD 的取值范围. 小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍， 以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图 2，延长 AD 到 E，使 DEAD，连接 BE，构造BEDCAD，经过推理和计算使问题得到解决 请回答：(1)小明证明BEDCAD 用到的判定定理是： (用字母表示)， (2)AD 的取值范围是 ； (3)
4、小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造. 参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图 3，在正方形 ABCD 中，E 为 AB 边的中点 G、F 分别为 AD，BC 边上的点，若 AG2，BF4， GEF90，求 GF 的长. 【解答】(1)SAS；(2)1AD6；(3)GF6 【解析】(1)在BED 与CAD 中，BEDCAD(SAS)； (2)BEDCAD，BEAC5， AB7，2AE12，22AD12，1AD6. (3)延长 GE 交 CB 的延长线于点 M，如图所示： 四边形 ABCD 是正方形，ADCM，AGEM， 在AEG 和BEM 中，AEGB
5、EM(AAS)，GEEM，AGBM2， EFMG，FGFM， BF4，MFBFBM246，GFFM6. 3. 如图 1，在ABC 中，点 D 是 BC 的中点，延长 AD 到点 G，使 DGAD，连接 CG，可以得到ABD GCD，这种作辅助线的方法我们通常叫做“倍长中线法” 如图 2， 在ABC 中， 点 D 是 BC 的中点点 E 是 AB 上一点， 连接 ED， 小明由图 1 中作辅助线的方法想到： 延长 ED 到点 G，使 DGED，连接 CG. (1)请直接写出线段 BE 和 CG 的关系： ； (2)如图 3，若A90，过点 D 作 DFDE 交 AC 于点 F，连接 EF，已知
6、BE3，其它条 件不变，求 EF 的长. 【解答】(1)BECG；(2)EF 【解析】(1)点 D 是 BC 的中点，BDCD， 在EBD 和GCD 中，EBDGCD(SAS)，BECG； (2)连接 GF，如图所示： 由(1)知EBDGCD，BGCD，BECG3， 又A90，BBCA90， GCDBCA90，即GCF90， CG3， DFDE，且 DEDG，EFFG. 4. 自主学习，学以致用 先阅读，再回答问题：如图 1，已知ABC 中，AD 为中线。延长 AD 至 E，使 DEAD.在ABD 和ECD 中，ADDE，ADBEDC，BDCD，所以，ABDECD(SAS)，进一步可得到 AB
7、CE，AB CE 等结论. 在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的 计算或证明题。 解决问题：如图 2，在ABC 中，AD 是三角形的中线，F 为 AD 上一点，且 BFAC，连 结并延长 BF 交 AC 于点 E，求证：AEEF. 【解答】见解析 【解析】证明：延长 AD 至点 G，使得 DFDG，连接 CG，如图所示： AD 是中线，BDDC， 在BDF 和CDG 中，BDFCDG， BFCG，BFDG， AFEBFD，AFEG， BFCG，BFAC，CGAC，GCAF， AFECAF，AEEF. 5. 定义：如图 1，在ABC 中，把
8、 AB 绕点 A 逆时针旋转 a(0180)并延长一倍得到 AB，把 AC 绕点 A 顺时针旋转并延长一倍得到 AC，连接 BC.当时，称ABC是ABC 的“倍旋 三角形” ，ABC边 BC上的中线 AD 叫做ABC 的“倍旋中线”. 特例感知： (1)如图 1，当BAC90，BC4 时，则“倍旋中线”AD 长为 ；如图 2，当ABC为等边三角 形时， “倍旋中线”AD 与 BC 的数量关系为 ； 猜想论证： (2)在图 3 中，当ABC 为任意三角形时，猜想“倍旋中线”AD 与 BC 的数量关系，并给予证明. 【解答】(1)AD4，ADBC；(2)ADBC，证明见解析 【解析】(1)BAC9
9、0，BAC90BAC， 根据题意知，AB2AB，AC2AC， ，ABCABC， ，BC2BC， 在 RtABC中，AD 是斜边中线，BC2AD，ADBC4； 如图 2，A BC是等边三角形， ABAC BC，BAC60， AD 是A BC的中线， ，ADB90， ， 由题意得 AB2AB，AC2AC，ABAC， 由得， BC30 ， 如图所示，过点 A 作 AEBC 于点 E，BC2BE， 在 RtABE 中， ； (2)ADBC， 证明：由题意知，AB2AB，AC2AC，延长 AD 到 M，使 DMAM，连接 BM，CM，AM2AD， AD 是ABC的中线，BDCD， 四边形 ABMC是平行
10、四边形，ACBM2AC，BACABM180， BABCAC180， BACBAC180， BACABM， AB2AB，BACABM， AM2BC，ADBC. 6. 已知抛物线经过 A(，0)，B(1，0)，点 P 为抛物线上一动点，直线 与轴交于点 D. (1)求此抛物线解析式； (2)如图 1，连结 OP 并倍长至 Q，试说明在直线上有且仅有一点 M，使OMQ90; (3)如图 2，连结 PO 并延长交抛物线于另一点 T，求证：y 轴平分PDT. 【解答】(1)；(2)见解析；(3)见解析 【解析】(1)设抛物线的解析式为，将点 C 的坐标代入解得， 该抛物线的函数解析式为； (2)作 PM 与定直线垂直，垂足为 M 点，如图所示： 设，则， ， 由“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直”可得，M 点是唯一的，即以 P 为圆心，PO 为半径的 圆恰好与定直线相切于点 M，切点 M 当然也是唯一的， 在直线上有且只有一点 M，使得OMQ90 ； (3)设直线 PT 的解析式为，作 TE 与定直线垂直，垂足为 E，作 PF 与定直线垂直，垂足为 F，如图 所示： 设，由消去整理得， 由韦达定理可得， 又 ， ，TDEPDF，ODTODP，即轴平分PDT.
