1、专题九圆的综合题类型一 与三角形结合 (2019广东)如图1，在ABC中，ABAC，O是ABC的外接圆，过点C作BCDACB交O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CFAC，连接AF.(1)求证：EDEC；(2)求证：AF是O的切线；(3)如图2，若点G是ACD的内心，BCBE25，求BG的长【分析】 (1)由ABAC知ABCACB，结合ACBBCD，ABCADC得BCDADC，从而得证；(2)连接OA，由CAFCFA知ACDCAFCFA2CAF，结合ACBBCD得ACD2ACB，CAFACB，据此可知AFBC，从而得OAAF，得到证；(3)证ABECBA得AB2BCBE，据此知A
2、B5，连接AG，得BAGBADDAG，BGAGACACB，由点G为内心知DAGGAC，结合BADDAGGACACB得BAGBGA，从而得出BG.【自主解答】 1(2019中山模拟)如图，AB是O的直径，C，G是O上两点，且C是的中点，过点C的直线CDBG的延长线于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F.(1)求证：CD是O的切线；(2)若，求证：AEAO；(3)连接AD，在(2)的条件下，若CD2，求AD的长2(2019广东模拟)如图，在RtABC中，ACB90，AO是ABC的角平分线以O为圆心，OC为半径作O.(1)求证：AB是O的切线；(2)已知AO交O于点E，延长AO交O于点
3、D，tan D，求的值；(3)在(2)的条件下，设O的半径为3，求AB的长类型二 与四边形结合 (2019禅城区二模)如图，平行四边形ABCD中，ACBC，过A，B，C三点的O与AD相交于点E，连接CE.(1)证明：ABCE；(2)证明：DC与O相切；(3)若O的半径r5，AB8，求sinACE的值【分析】 (1)由平行四边形的性质和圆的内接四边形可得DBDEC，即可得CDCEAB；(2)由垂径定理可得CFAB，即可证DC与O相切；(3)连接OE，OA，过点C作CNAD于点N，过点O作OMAE于点M，由勾股定理、相似三角形的性质、等腰三角形的性质即可得解【自主解答】 3(2019空港经济区一模
4、)如图，四边形ABCD内接于O，ABAD，对角线BD为O的直径，AC与BD交于点E.点F为CD延长线上一点，且DFBC.(1)证明：ACAF；(2)若AD2，AF1，求AE的长；(3)若EGCF交AF于点G，连接DG.证明：DG为O的切线4(2019霞山区一模)如图，四边形ABCD的顶点在O上，BD是O的直径，延长CD，BA交于点E，连接AC，BD交于点F，作AHCE，垂足为点H，已知ADEACB.(1)求证：AH是O的切线；(2)若OB4，AC6，求sinACB的值；(3)若，求证：CDDH.参考答案类型一【例1】 (1)如图，ABAC，13.12，23.34，24，EDEC.(2)如图，连
5、接OA，OB，OC，OBOC，ABAC，AO是BC的垂直平分线，AOBC.由(1)已证23，ABDF.ABACCF，四边形ABCF是平行四边形，AFBC，AOAF，AF是O的切线(3)如图，连接AG，12，25，15.G是ADC的内心，78.BAG57，618，BAG6，ABBG.33，15，ABECBA，AB2BEBC25，AB5，BG5.跟踪训练1(1)证明：如图，连接OC，AC，CG.C是的中点，ACCG，ABCCBG.OCOB，OCBOBC，OCBCBG，OCBG.CDBG，OCCD，CD是O的切线 (2)解：OCBD，OCFDBF，EOCEBD，.OAOB，AEOA.(3)解：如图，
6、过A作AHDE于H.由(2)知E30，EBD60，CBDEBD30.CD2，BD6，DE6，BE12，AEBE4，AH2，EH2，DH4.在RtDAH中，AD2.2(1)证明：如图，过点O作OFAB于点F，AO平分CAB，OCAC，OFAB，OCOF，AB是O的切线(2)解：如图，连接CE，ED是O的直径，ECD90，ECOOCD90.ACB90，ACEECO90，ACEDCO.OCOD，OCDODC，ACEADC.CAEDAC，ACEADC，.tan D，.(3)解：由(2)知，设AEx，AC2x.ACEADC，AC2AEAD，(2x)2x(x6)，解得x2或x0(不合题意，舍去)，AE2，
7、AC4.由(1)知ACAF4，OFBACB90.BB，OFBACB，.设BFa，则BC，BOBCOC3.在RtBOF中，BO2OF2BF2，(3)232a2，解得a或a0(不合题意，舍去)，ABAFBF.类型二【例2】 (1)四边形ABCD是平行四边形，ABCD，BD，ADBC.四边形ABCE是圆的内接四边形，DECB，DDEC，CDCE，ABCE.(2)如图，连接CO，并延长CO交AB于F.ACBC，且CO是半径，CFAB，AFBF.四边形ABCD是平行四边形，ABCD，且CFAB，CFCD，且CO是半径，DC与O相切(3)如图，连接OE，OA，过点C作CNAD于点N，过点O作OMAE于点M
8、，AFBF，AB8，AFBF4，且AO5，CFAB，OF3，CFCOOF8，AC4，ACBCAD4.BD，CNDCFB90，CDNCBF，DN.CDCE，CNDA，DNEN，AEADDNEN.OEOA，OMAD，AMEMAE，EOMAOE.ACEAOE，ACEEOM，sinACEsinEOM.跟踪训练3(1)证明：四边形ABCD内接于O，ABCADC180.ADFADC180，ABCADF.在ABC和ADF中，ABCADF，ACAF.(2)解：由(1)得，ACAF1.ABAD，ADEACD.DAECAD，ADEACD，AE22.(3)证明：EGCF，1，AGAE.由(2)得，.DAGFAD，A
9、DGAFD，ADGF.ACAF，ACDF.又ACDABD，ADGABD.BD为O的直径，BAD90，ABDBDA90，ADGBDA90，GDBD，DG为O的切线4(1)证明：如图，连接OA.由圆周角定理得ACBADB.ADEACB，ADEADB.BD是直径，DABDAE90.在DAB和DAE中，DABDAE，ABAE.又OBOD，OADE.又AHDE，OAAH，AH是O的切线(2)解由(1)知，EDBE，DBEACD，EACD，AEACAB6.在RtABD中，AB6，BD8，ADEACB，sinACBsinADB.(3)证明：由(2)知，OA是BDE的中位线，OADE，OADE，CDFAOF，CDOADE，即CDCE.ACAE，AHCE，CHHECE，CDCH，CDDH.
