1、专题十几何变换综合题类型一 涉及一个动点的几何问题 (2017广东)如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A(0，2)和C(2，0)，点D是对角线AC上一动点(不与A，C重合)，连接BD，作DEDB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF.(1)填空：点B的坐标为_；(2)是否存在这样的点D，使得DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；(3)求证：；设ADx，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式(可利用的结论)，并求出y的最小值【分析】 (1)求出AB，BC的长即可解决问题；(2)先推出ACO30，ACD
2、60，由DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有EDEC，DCEEDC30，推出DBCBCD60，可得DBC是等边三角形，推出DCBC2，由此即可解决问题；(3)先表示出DN，BM，再判断出BMDDNE，即可得出结论；作DHAB于H.想办法用x表示BD，DE的长，构建二次函数即可解决问题。【自主解答】 1(2019中山模拟)如图，在矩形ABCD中，AB5，AD4，E为AD边上一动点(不与点A重合)，AFBE，垂足为F，GFCF，交AB于点G，连接EG.设AEx，SBEGy.(1)证明：AFGBFC；(2)求y与x的函数关系式，并求出y的最大值；(3)若BFC为等腰三角形，请直接写出x的值2(20
3、19威海)如图，在正方形ABCD中，AB10 cm，E为对角线BD上一动点，连接AE，CE，过E点作EFAE，交直线BC于点F.E点从B点出发，沿着BD方向以每秒2 cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止，设BEF的面积为y cm2，E点的运动时间为x秒(1)求证：CEEF；(2)求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；(3)求BEF面积的最大值3(2019霞山区一模)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B坐标为(4，6)，点P为线段OA上一动点(与点O，A不重合)，连接CP，过点P作PECP交AB于点D，且PEPC，过点P作PFOP且PFPO(点F在第一象限)，
4、连接FD，BE，BF，设OPt.(1)直接写出点E的坐标(用含t的代数式表示)：_；(2)四边形BFDE的面积记为S，当t为何值时，S有最小值，并求出最小值；(3)BDF能否是等腰直角三角形，若能，求出t；若不能，请说明理由类型二 涉及两个动点的几何问题 (2018广东)已知RtOAB，OAB90，ABO30，斜边OB4，将RtOAB绕点O顺时针旋转60，如图1，连接BC.(1)填空：OBC_；(2)如图1，连接AC，作OPAC，垂足为P，求OP的长度；(3)如图2，点M，N同时从点O出发，在OCB边上运动，M沿OCB路径匀速运动，N沿OBC路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速
5、度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，OMN的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？【分析】 (1)只要证明OBC是等边三角形即可；(2)求出AOC的面积，利用三角形的面积公式计算即可；(3)分三种情形讨论求解即可解决问题：当0x时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NEOC且交OC于点E.当x4时，M在BC上运动，N在OB上运动当4x4.8时，M，N都在BC上运动，作OGBC于G.【自主解答】 4(2019青岛)已知：如图，在四边形ABCD中，ABCD，ACB90，AB10 cm，BC8 cm，OD垂直平分AC.点P从点B出发，沿BA方向匀
6、速运动，速度为1 cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为 1 cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动过点P作PEAB，交BC于点E，过点Q作 QFAC，分别交AD，OD于点F，G.连接OP，EG.设运动时间为t(s)(0t5)，解答下列问题：(1)当t为何值时，点E在BAC的平分线上？(2)设四边形PEGO的面积为S(cm2)，求S与t的函数关系式；(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(4)连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OEOQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由类
7、型三 涉及动线、动图的几何问题 (2016广东)如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA，QD，并过点Q作QOBD，垂足为O，连接OA，OP.(1)请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？(2)请判断OA，OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；(3)在平移变换过程中，设ySOPB，BPx(0x2)，求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值【分析】 (1)根据平移的性质，可得PQ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得答案；(2)根据正方形的性质，平移的性质，可得PQ与AB的关系，根据等腰直
8、角三角形的性质与判定，可得PQO，根据全等三角形的性质与判定，可得AO与OP的数量关系，根据余角的性质，可得AO与OP的位置关系；(3)根据等腰直角三角形的性质，可得OE的长，根据三角形的面积公式，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得到答案【自主解答】 5(2019广东模拟)如图1，在平面直角坐标系中，点A(0，6)，点B(6，0)RtCDE中，CDE90，CD4，DE4，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合RtCDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动解答下列问题：(1)如图2，当RtCDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求BME的度数(2)如图3，在RtCDE的运
9、动过程中，当CE经过点B时，求BC的长(3)在RtCDE的运动过程中，设ACh，OAB与CDE的重叠部分的面积为S，请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值6(2019普宁模拟)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AB在x轴上，点B坐标(6，0)，点C在y轴正半轴上，且cos B，动点P从点C出发，以每秒一个单位长度的速度向D点移动(P点到达D点时停止运动)，移动时间为t秒，过点P作平行于y轴的直线l与菱形的其他边交于点Q.(1)求点D坐标；(2)求OPQ的面积S关于t的函数关系式，并求出S的最大值；(3)在直线l移动过程中，是否存在t值，使SS菱形ABCD？若存在，求出t的值
10、；若不存在，请说明理由参考答案类型一【例1】 (1)(2，2)提示：四边形AOCB是矩形，BCOA2，OCAB2，BCOBAO90，B(2，2)(2)存在理由如下：OA2，OC2，tanACO，ACO30，ACB60.如图，当E在线段CO上时，DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有EDEC，DCEEDC30，DBCBCD60，DBC是等边三角形，DCBC2.在RtAOC中，ACO30，OA2，AC2AO4，ADACCD422，当AD2时，DEC是等腰三角形如图，当E在OC的延长线上时，DCE是等腰三角形，只有CDCE，DBCDECCDE15，ABDADB75，ABAD2.综上所述，满足条件的A
11、D的值为2或2.(3)如图，过点D作MNAB交AB于M，交OC于N.A(0，2)和C(2，0)，直线AC的表达式为yx2.设D(a，a2)，DNa2，BM2a.BDE90，BDMNDE90，BDMDBM90，DBMEDN.BMDDNE90，BMDDNE，.如图，作DHAB于H.在RtADH中，ADx，DAHACO30，DHADx，AHx，BH2x，在RtBDH中，BD，DEBD，矩形BDEF的面积为y(x2)(2x2)，即y(x3)2.0，x3时，y有最小值.跟踪训练1(1)证明：在矩形ABCD中，ABC90，ABFFBC90.AFBE，AFB90，ABFGAF90，GAFFBC.FGFC，G
12、FC90，AFBGFC，AFBGFBGFCGFB，即AFGBFC，AFGBFC.(2)解：由(1)得AFGBFC，.在RtABF中，tanABF，在RtEAB中，tanEBA，.BCAD4，AB5，AG，BGABAG5x，yBGAE(5x)xx2x(x)2，y的最大值为.(3)解：BFC为等腰三角形，当FCFB时，如图，过点F作FHBC于H，过点F作FPAB于P，BHCHBC2，四边形BHFP是矩形，FPBH2.在RtBPF中，tanPBF，在RtAPF中，tanAFP.AFPPAF90，PBFPAF90，PBFPFA，.APPBAB5，AP5PB，PB4或PB1(舍)PFAE，PBFABE，
13、xAE.当BFBC4时，在RtABF中，AF3，易得AEFBAF，xAE.当FCBC4时，如图，连接CG，在RtCFG和RtCBG中，RtCFGRtCBG，FGBG.ABF是直角三角形，点G是AB的中点，AGBGAB.由(2)知AGx，x，x.即x的值为，或.2(1)证明：如图，过点E作MNAB，交AD于M，交BC于N，四边形ABCD是正方形，ADBC，ABAD，MNAD，MNBC，AMEFNE90NFEFEN.AEEF，AEFAEMFEN90，AEMNFE.DBC45，BNE90，BNENAM，AEMEFN(AAS)，AEEF.四边形ABCD是正方形，ADCD，ADECDE.DEDE，ADE
14、CDE(SAS)，AECEEF.(2)解：在RtBCD中，由勾股定理得BD10，0x5，由题意得BE2x，BNENx，由(1)知AEEFEC，分两种情况：当0x时，ABMN10，MEFN10x，BFFNBN10xx102x，yBFEN(102x)x2x25x(0x5)；当x5时，过E作ENBC于N，ENBNx，FNCN10x，BFBC2CN102(10x)2x10，yBFEN(2x10)x2x25x.(3)解：当0x时，y2x25x2(x)2，20，当x时，y有最大值是；当0，当x时，y随x的增大而增大，当x5时，y有最大值50.即BEF面积的最大值是50.3解：(1)(t6，t)(2)如图，
15、连接EF，过点E作EGx轴于点G.DAEG，PADPGE，ADt(4t)，BDABAD6t(4t)t2t6.EGx轴，FPx轴，且EGFP，四边形EGPF为矩形，EFBD，EFPG，S四边形BEDFSBDFSBDEBDEF(t2t6)6(t2)216，当t2时，S有最小值是，最小值为16.(3)假设FBD为直角，则点F在直线BC上PFOPAB，点F不可能在BC上，即FBD不可能为直角；假设FDB为直角，则点D在EF上点D在矩形的对角线PE上，点D不可能在EF上，即FDB不可能为直角；假设BFD为直角，且FBFD，则FBDFDB45.如图，作FHBD于点H，则FHPA，即4t6t，方程无解，假设
16、不成立，即BDF不可能是等腰直角三角形类型二【例2】 (1)60(2)OB4，ABO30，OAOB2，ABOA2，SAOCOAAB222.BOC是等边三角形，OBC60，ABCABOOBC90，AC2，OP.(3)当0x时，M在OC上运动，N在OB上运动如图，过点N作NEOC且交OC于点E，则NEONsin 60x，yOMNE1.5xxx2，x时，y有最大值，最大值为.当x4时，M在BC上运动，N在OB上运动如图，作MHOB于H，则BM81.5x，MHBMsin 60(81.5x)，yONMHx22x.当x时，y取最大值，y.当4x4.8时，M，N都在BC上运动，如图，作OGBC于G.MN12
17、2.5x，OGAB2，yMNOG12x，当x4时，y有最大值，y2.综上所述，y有最大值，最大值为.跟踪训练4解：(1)在RtABC中，AB10，BC8，ACB90，AC6，tan B，PE，cos B，BE.BC8，EC8.当点E在BAC的平分线上时，PEEC，即8，t4，当t为4秒时，点E在BAC的平分线上(2)如图，作PHAC于H，则APHABC，即，PH.ABCD，FQAC，ACDBACGQD，ABCCDO，DGQDOCBCA，.O为AC的中点，OC3，OD4，CD5.DQt，DGt，GQt，SS四边形ABCDSAOPSAODSBPES梯形ECDG8664334t3(8)t2t6(0t
18、5)(3)St2t6(0t5)，0，t.05，存在t.(4)假设存在如图，EOCCOQ90，GOQCOQ90，EOCGOQ，RtEOCRtQOG，即，化简为t213.2t320，即(t10)(t3.2)0，t110(舍)，t23.2，存在t3.2时，使OEOQ.类型三【例3】 (1)四边形APQD为平行四边形(2)OAOP，OAOP.理由如下：四边形ABCD是正方形，ABBCPQ，ABOOBQ45.OQBD，PQO45，ABOOBQPQO45，OBOQ.在AOB和POQ中，AOBPOQ(SAS)，OAOP，AOBPOQ，AOPBOQ90，OAOP.(3)如图，过O作OEBC于E.如图，当P点在
19、B点右侧时，则BQx2，OE，yx，即y(x1)2.又0x2，当x2时，y有最大值为2.如图，当P点在B点左侧时，则BQ2x，OE，yx，即y(x1)2.又0x2，当x1时，y有最大值为.综上所述，当x2时，y有最大值为2.跟踪训练5解：(1)在平面直角坐标系中，点A(0，6)，点B(6，0)OAOB，OAB45.CDE90，CD4，DE4，OCE60，CMAOCEOAB 604515，BMECMA15.(2)CDE90，CD4，DE4，OBCDEC30.OB6，BC4.(3)h2时，如图，作MNy轴交y轴于点N，作MFDE交DE于点F.CD4，DE4，ACh，ANNM，CN4FM，ANMN4
20、hFM.CMNCED，解得FM4h，SSEDCSEGM44(44h)(4h)h24h8，S最大15.当2h62时，SSAOBSACM66h(hh)18h2，S最大15.如图，当62h6时，SSOBCOBOC(6h)2，S最大6.6解：(1)在RtBOC中，BOC90，OB6，cos B，BC10，OC8.四边形ABCD为菱形，CDx轴，点D的坐标为(10，8)(2)ABBC10，点B的坐标为(6，0)，点A的坐标为(4，0)分两种情况考虑，如图所示当0t4时，PQOC8，OQt，SPQOQ4t.40，当t4时，S取得最大值，最大值为16；当4t10时，设直线AD的表达式为ykxb(k0)，将A(4，0)，D(10，8)代入ykxb得解得直线AD的表达式为yx.当xt时，yt，PQ8(t)(10t)，SPQtt2t.St2t(t5)2，0，当t5时，S取得最大值，最大值为.综上所述，S关于t的函数关系式为SS的最大值为.(3)S菱形ABCDABOC80.当0t4时，4t12，解得t3；当4t10时，t2t12，解得t15(舍去)，t25.综上所述，在直线l移动过程中，存在t值，使SS菱形ABCD，t的值为3或5.
