1、题型五 反比例函数综合题(10年7考)【题型解读】反比例函数综合题近10年考查7次，考查的类型有两种：反比例函数与一次函数结合考查5次，反比例函数与几何图形结合考查2次；设题常用三角形、矩形和梯形等知识结合考查，考查的设问数一般为23问，设问有：一次函数和反比例函数的确定；根据一次函数和反比例函数图象确定不等式的解集；涉及几何图形面积的计算或点坐标的确定；确定三角形面积的取值范围；探究反比例函数的图象性质与应用等. 类型一 反比例函数与一次函数结合(2019、2010.21；2017、2013、2011.20)1. 如图，反比例函数y的图象过格点(网格线的交点)A，一次函数yaxb的图象经过格
2、点A，B.(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形(不写画法)，要求每个矩形均需满足下列两个条件：四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点A，点B；矩形的面积等于AOB面积的整数倍.第1题图2. (2019宜宾)如图，已知反比例函数y(k0)的图象和一次函数yxb的图象都过点P(1，m)，过点P作y轴的垂线，垂足为A，O为坐标原点，OAP的面积为1.(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)设反比例函数图象与一次函数图象的另一交点为M，过M作x轴的垂线，垂足为B，求五边形OAPMB的面积.第2题图3. (2019绵阳)如图，一次函数ykxb(k0)的图
3、象与反比例函数y(m0且m3)的图象在第一象限交于点A、B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，过A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为E、D.已知A(4，1)，CE4CD.(1)求m的值和反比例函数的解析式；(2)若点M为一次函数图象上的动点，求OM长度的最小值.第3题图4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线ykxk与双曲线y(x0)交于点A(1，a).(1)求a，k的值；(2)已知直线l过点D(2，0)且平行于直线ykxk，点P(m，n)(m3)是直线l上一动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交双曲线y(x0)于点M、N，双曲线在点M、N之间的部分与线段PM、PN所围成的区域(不含边
4、界)记为W.横、纵坐标都是整数的点叫整点.当m4时，直接写出区域W内的整点个数；若区域W内的整点个数正好是8个，结合图象，求m的取值范围.第4题图类型二 反比例函数与几何图形结合(2018.18；2014.20)1. 如图，反比例函数y(x0)图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB4，连接OA，AB，且OAAB2.(1)求k的值；(2)过点B作BCOB，交反比例函数y(其中x0)的图象于点C，连接OC交AB于点D，求的值.第3题图4. 如图，在平面直角坐标系中，OABC的顶点C的坐标为(3，0)，AOC45，反比例函数y(k0，x0)的图象经过点A且交BC于点E，过点E作EDx轴于点D，E
5、D1. (1)求反比例函数的解析式；(2)若点F是反比例函数图象上一点，且ABF的面积等于OABC面积的，求点F的坐标. 第4题图5. 如图，在AOB中，BAO30，点C为AB的中点，连接OC，反比例函数y(x0)的图象经过点B、C，点B的纵坐标为4.(1)求反比例函数的解析式；(2)求BOC的面积.第5题图拓展类型 反比例函数综合题还会怎么考(2019、2015、2014.17；2018.19；2016.18)1. (2018河南备用卷)小明在研究矩形面积S与矩形的边长x，y之间的关系时，得到下表数据：x0.511.5234612y12643210.5结果发现一个数据被墨水涂黑了，(1)被墨
6、水涂黑的数据为；(2)y与x之间的函数关系式为，且y随x的增大而；(3)如图是小明画出的y关于x的函数图象，点B、E均在该函数的图象上，其中矩形OABC的面积记为S1，矩形ODEF的面积记为S2，请判断S1和S2的大小关系，并说明理由；(4)在(3)的条件下，DE交BC于点G，反比例函数y的图象经过点G交AB于点H，连接OG、OH，则四边形OGBH的面积为.第1题图2. (2019威海)(1)阅读理解如图，点A，B在反比例函数y的图象上，连接AB，取线段AB的中点C.分别过点A，C，B作x轴的垂线，垂足为E，F，G，CF交反比例函数y的图象于点D.点E，F，G的横坐标分别为n1，n，n1(n1
7、).小红通过观察反比例函数y的图象，并运用几何知识得出结论：AEBG2CF，CFDF.由此得出一个关于，之间数量关系的命题：若n1，则.(2)证明命题小东认为：可以通过“若ab0，则ab”的思路证明上述命题；小晴认为：可以通过“若a0，b0，且ab1，则ab”的思路证明上述命题.请你选择一种方法证明(1)中的命题.第2题图3. (2019开封模拟)参照学习函数的过程与方法，探究函数y(x0)的图象与性质，因为y1，即y1，所以我们对比函数y来探究.列表：x43211234y124421y235310描点：在平面直角坐标系中以自变量x的取值为横坐标，以y相应的函数值为纵坐标，描出相应的点如图所示
8、；(1)请把y轴左边各点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来；(2)观察图象并分析表格，回答下列问题：当x0时，y随x的增大而；(“增大”或“减小”)；y的图象是由y的图象向平移个单位而得到的；图象关于点中心对称；(填点的坐标)(3)函数y与直线y2x1交于点A，B，求AOB的面积.第3题图参考答案类型一反比例函数与一次函数结合1. 解：(1)由题图可知点A的坐标为(1，3)，点B的坐标为(3，1)，将点A(1，3)代入反比例函数y中，得k3，故反比例函数的解析式为y；将A(1，3)、B(3，1)代入一次函数yaxb中，得，解得，一次函数的解析式为yx2；(2)如解图，答案不唯一(以A、
9、B为顶点的四个矩形任选两个即可)第1题解图2. 解：(1)SOAPOAAPm1，m2.P(1，2)，将P(1，2)代入y中，得k2.反比例函数的解析式为y.将P(1，2)代入yxb中，得b3.一次函数的解析式为yx3；(2)联立反比例函数和一次函数得，解得，M(2，1)如解图，过点P作PDx轴交x轴于点D.PD2，OB2，BM1，ODAP1，BDOBOD211.S五边形OAPMBS四边形OAPDS四边形PDBMAPOABD(PDBM)121(21)2.第2题解图3. 解：(1)将点A(4，1)代入反比例函数y，得m23m4，解得m14，m21，反比例函数解析式为y；(2)BDy轴，AEy轴，B
10、DAE，CDBCEA，CE4CD，AE4BD，A(4，1)，AE4，BD1，xB1，yB4，B(1，4)，将A(4，1)，B(1，4)代入一次函数ykxb，得，解得，直线AB的解析式为yx5，如解图，设直线AB与x轴的交点为F，当x0时，y5，当y0时，x5，C(0，5)，F(5，0)，则OCOF5，OCF为等腰直角三角形，CFOC5，则当OMCF于点M时，由垂线段最短可知，OM有最小值，即OMCF.OM长度的最小值为.第3题解图4. 解：(1)点A(1，a)在双曲线y上，a4.点A的坐标为(1，4)，将A(1，4)代入ykxk，得kk4，k2；(2)3个；【解法提示】直线l过点D(2，0)且
11、平行于直线y2x2，直线l的解析式为y2x4.当m4时，n2m44，点P的坐标为(4，4)依照题意画出图象，如解图所示，观察图形，可知：区域W内的整点个数是3.第4题解图如解图所示，当2x44时，即x4，此时线段PM和PN上有5个整点；当2x45时，即x4.5，此时线段PM和PN上有整点；观察图形可知：若区域W内的整点个数正好是8个，m的取值范围为40)；减小；【解法提示】由xy6，得到y(x0)，当x0时，y随x的增大而减小(3)S1S2；理由如下：S1OAOCk6，S2ODOFk6，S1S2；(4)4.【解法提示】S四边形OCBAOAOC6，SOCGODOC21，SOAHOAAH21，S四边形OGBHS四边形OCBASOCGSOAH6114.2. 解：(1) ；(2)证法一：证明： ()()，n1，n10，n10，0，即.证法二：证明： ， ，n1，n2 n21，1， .3. 解：(1)函数图象如解图所示：第3题解图(2)增大；上，1；(0，1)；(3)根据题意得2x1，解得x1.当x1时，y2x11.当x1时，y2x13.交点为(1，1)，(1，3)当y0时，2x10，x，AOB的面积(31)1.
