1、提分专练(五)反比例函数综合题|类型1|反比例函数与一次函数综合1.2019襄阳如图T5-1,已知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=mx的图象在第一、第三象限分别交于A(3,4),B(a,-2)两点,直线AB与y轴,x轴分别交于C,D两点.(1)求一次函数和反比例函数的解析式;(2)比较大小:ADBC(填“”“”或“=”);(3)直接写出y10)图象的两个交点,ACx轴,垂足为点C,已知D(0,1),连接AD,BD,BC.(1)求直线AB的表达式;(2)ABC和ABD的面积分别为S1,S2,求S2-S1.图T5-23.2019镇江如图T5-3,点A(2,n)和点D是反比例函数y=mx(m
2、0,x0)图象上的两点,一次函数y=kx+3(k0)的图象经过点A,与y轴交于点B,与x轴交于点C,过点D作DEx轴,垂足为E,连接OA,OD.已知OAB与ODE的面积满足SOABSODE=34.(1)SOAB=,m=;(2)已知点P(6,0)在线段OE上,当PDE=CBO时,求点D的坐标.图T5-3|类型2|反比例函数与几何图形结合4.如图T5-4,在平面直角坐标系中,反比例函数y=kx(k0)的图象和ABC都在第一象限内,AB=AC=52,BCx轴,且BC=4,点A的坐标为(3,5).若将ABC向下平移m个单位长度,A,C两点同时落在反比例函数图象上,则m的值为.图T5-45.2019金华
3、如图T5-5,在平面直角坐标系中,正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y=kx(k0,x0)的图象上,边CD在x轴上,点B在y轴上,已知CD=2.(1)点A是否在该反比例函数的图象上?请说明理由.(2)若该反比例函数图象与DE交于点Q,求点Q的横坐标.(3)平移正六边形ABCDEF,使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上,试描述平移过程.图T5-56.2018金华、丽水如图T5-6,四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y=mx与y=nx(x0,0mn)的图象上,对角线BDy轴,且BDAC于点P.已知点B的横坐标为4.(1)当m=4,n=20时,若点P的纵坐标为2,求直线A
4、B的函数表达式.若点P是BD的中点,试判断四边形ABCD的形状,并说明理由.(2)四边形ABCD能否成为正方形?若能,求此时m,n之间的数量关系;若不能,试说明理由.图T5-6【参考答案】1.解:(1)将A(3,4)代入y2=mx中,可得m=12,y2=12x.将B(a,-2)代入y2=12x中,可得a=-6,B(-6,-2).将A(3,4),B(-6,-2)分别代入y1=kx+b中,可得3k+b=4,-6k+b=-2,解得k=23,b=2,y1=23x+2.故y1=23x+2,y2=12x.(2)=解析C,D是y1=23x+2与y轴,x轴的交点,C(0,2),D(-3,0),AD=213,B
5、C=213,AD=BC.(3)x-6或0x3.解析已知直线与双曲线相交于A,B两点,通过观察,可得当x-6或0x3时直线y1在双曲线y2的下方,即当x-6或0x3时y10)的图象上,4=n32,n=6,反比例函数表达式为y=6x(x0).将点B(3,m)代入,得m=2,B(3,2).设直线AB的表达式为y=kx+b,4=32k+b,2=3k+b,解得k=-43,b=6,直线AB的表达式为y=-43x+6.(2)由点A,B的坐标得AC=4,点B到AC的距离为3-32=32,S1=12432=3.设AB与y轴的交点为E,可得E(0,6),DE=6-1=5.由点A32,4,B(3,2)知点A,B到E
6、D的距离分别为32,3,S2=SBED-SAED=154.S2-S1=34.3.解:(1)3;8解析由一次函数y=kx+3知B(0,3).又点A的坐标是(2,n),SOAB=1232=3.SOABSODE=34,SODE=4.点D是反比例函数y=mx(m0,x0)图象上的点,12m=SODE=4,则m=8.故答案是3;8.(2)由(1)知,反比例函数解析式是y=8x.2n=8,即n=4.故A(2,4),将其代入y=kx+3得到2k+3=4.解得k=12.直线AC的解析式是y=12x+3.令y=0,则12x+3=0,x=-6,C(-6,0),OC=6.设D(a,b),则DE=b,PE=a-6.P
7、DE=CBO,COB=PED=90,CBOPDE,OBDE=OCPE,即3b=6a-6.又ab=8,联立,得a=-2,b=-4(舍去)或a=8,b=1.故D(8,1).4.54解析AB=AC=52,BC=4,点A(3,5),B1,72,C5,72.将ABC向下平移m个单位长度,此时A(3,5-m),C5,72-m,A,C两点同时落在反比例函数图象上,3(5-m)=572-m,m=54.5.解:(1)在;理由:连接PC,过点P作PHx轴于点H.在正六边形ABCDEF中,点B在y轴上,OBC和PCH都是含有30角的直角三角形,BC=PC=CD=2.OC=CH=1,PH=3.点P的坐标为(2,3),
8、k=23.反比例函数的表达式为y=23x(x0).连接AC,过点B作BGAC于点G.ABC=120,AB=BC=2,BG=1,AG=CG=3.点A的坐标为(1,23).当x=1时,y=23,点A在该反比例函数的图象上. (2)过点Q作QMx轴于点M,六边形ABCDEF是正六边形,EDM=60.设DM=b,则QM=3b.点Q的坐标为(b+3,3b).3b(b+3)=23.解得b1=-3+172,b2=-3-172(舍去),b+3=3+172.点Q的横坐标为3+172.(3)连接AP.AP=BC=EF,APBCEF,平移过程:将正六边形ABCDEF先向右平移1个单位,再向上平移3个单位,或将正六边
9、形ABCDEF向左平移2个单位.6.解:(1)BDy轴,BDAC,ACx轴.P在AC上,且点P的纵坐标为2,点A,C的纵坐标均为2.在y=mx,m=4中,当x=4时,y=4x=1,点B的坐标是(4,1).当y=2时,由y=4x得x=2,点A的坐标是(2,2).设直线AB的函数表达式为y=kx+b,2k+b=2,4k+b=1.解得k=-12,b=3.直线AB的函数表达式为y=-12x+3.四边形ABCD为菱形.理由如下:由题意得点B(4,1),点D(4,5).点P为线段BD的中点,点P的坐标为(4,3).当y=3时,由y=4x得x=43,PA=4-43=83;由y=20x得x=203,PC=203-4=83.PA=PC.而PB=PD,四边形ABCD为平行四边形.又BDAC,四边形ABCD为菱形.(2)四边形ABCD能成为正方形.当四边形ABCD是正方形时,设PA=PB=PC=PD=t(t0).当x=4时,y=mx=m4,点B的坐标是4,m4.点A的坐标是4-t,m4+t.(4-t)m4+t=m,化简得t=4-m4.yD=yB+2t,点D的坐标是4,8-m4.48-m4=n.整理得m+n=32.
