1、20212021 年中考数学分类专题提分压轴训练：反比例函数综合（四）年中考数学分类专题提分压轴训练：反比例函数综合（四） 1当k值相同时，我们把正比例函数yx与反比例函数y叫做“关联函数” （1）如图，若k0，这两个函数图象的交点分别为A，B，求点A，B的坐标（用k表示）； （2）若k1，点P是函数y在第一象限内的图象上的一个动点（点P不与B重合），设点P的坐 标为（m，），其中m0 且m2作直线PA，PB分别与x轴交于点C，D，则PCD是等腰三角形， 请说明理由； （3）在（2）的基础上，是否存在点P使PCD为直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在， 请说明理由 2如果一个三角形的
2、三边a，b，c能满足a2+b25c2，那么这个三角形叫做“5 阶三角形” （1）一个 5 阶三角形的两边是 1 和，求第三边 （2）如图，矩形OACB中，O为坐标原点，A在y轴上，B在x轴上，C点坐标是（2，1），反比例函数 y（k0）的图象与直线AC、直线BC分别交于点E，D，若ODE是 5 阶三角形，求出所有可能的k 的值 3定义：点M，N把线段AB分割成AM，MN和NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称 点M，N是线段AB的勾股分割点 （1）如图，已知M，N是线段AB的勾股分割点，AM1，MN2，求NB的长； （2）如图，在O中，圆心角AOB90，P是上一动点（不与
3、A，B重合），连接PA，PB，分 别作PA，PB的垂直平分线交AB于点C，D，求证：点C，D是线段AB的勾股分割点； （3）如图，直线yx+4 与坐标轴分别交于A，B两点，P（a，b）是函数y（k0，x0）图 象上的动点，过点P分别向x轴，y轴作垂线PM，PN，垂足分别为M，N，PM，PN分别与直线交于点D， 点C当点P运动时，若满足CDBC，CDAD，且C，D是线段AB的勾股分割点，求k的值 4材料：帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，具体如下： 建立平面直角坐标系，将已知锐角AOB的顶点与原点O重合，角的一边OB与x轴正方向重合； 在平面直角坐标系里，绘制函数y的图象，图象与已知
4、角的另一边OA交于点P； 以P为圆心，2OP为半径作弧，交函数y的图象于点R； 分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线相交于点M； 连接OM，得到MOB，这时MOBAOB 根据以上材料解答下列问题 （1）设点P的坐标为（a，），点R的坐标为（b，），则点M的坐标为 （2）分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q求证：点Q在直线OM上； （3）求证：MOBAOB； （4）应用上述方法得到的结论，如何三等分一个钝角（用文字简要说明） 5如图，一次函数ykx+b（k0）的图象与反比例函数y（m0）的图象交于二、四象限内的A、B 两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（3，4），点B的坐标为
5、（6，n） （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）连接OB，求AOB 的面积； （3）在x轴上是否存在点P，使APC是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理 由 6如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y（x0）的图象与直线yx+2 交于点A（3，m） （1）求k，m的值； （2）已知点P（a，b）是直线yx上位于第三象限的点，过点P作平行于x轴的直线，交直线yx+2 于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y（x0）的图象于点N 当a1 时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由； 若PNPM，结合函数的图象，直接写出b的取值范围 7在平面直角坐标系xOy中，点A、
6、B为反比例函数y的图象上两点，A点的横坐标与B点的 纵坐标均为 1，将y的图象绕原点O顺时针旋转 90，A点的对应点为A，B点的对应点 为B （1）点A的坐标是 ，点B的坐标是 ； （2）在x轴上存在一点P，使PA+PB取得最小值此时在反比例函数y的图象上是否存在 一点Q，使ABQ的面积与PAB的面积相等，若存在，请求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理 由； （3）连接AB，动点M从A点出发沿线段AB以每秒 1 个单位长度的速度向终点B运动；动点N同 时从B点出发沿线段BA以每秒 1 个单位长度的速度向终点A运动当其中一个点停止运动时， 另一个点也随之停止运动设运动的时间为t秒，试探究：是否存
7、在使MNB为等腰直角三角形的t 值若存在，求出t的值；若不存在，说明理由 8如图，直线l1，l2是紧靠某湖泊的两条相互垂直的公路，曲线段CD是该湖泊环湖观光大道的一部分现 准备修建一条直线型公路AB，用以连接两条公路和环湖观光大道，且直线AB与曲线段CD有且仅有一个 公共点P 已知点C到l1，l2的距离分别为8km和1km， 点P到l1的距离为4km， 点D到l1的距离为 0.8km 若 分别以l1，l2为x轴、y轴建立平面直角坐标系xOy，则曲线段CD对应的函数解析式为y （1）求k的值，并指出函数y的自变量的取值范围； （2）求直线AB的解析式，并求出公路AB长度（结果保留根号） 9我们可
8、以把一个假分数写成一个整数加上一个真分数的形式，如同样的，我们也可以把某 些分式写成类似的形式，如这种方法我们称为“分离常数法” （1）如果，求常数a的值； （2）利用分离常数法，解决下面的问题： 当m取哪些整数时，分式的值是整数？ （3）我们知道一次函数yx1 的图象可以看成是由正比例函数yx的图象向下平移 1 个单位长度得 到，函数y的图象可以看成是由反比例函数y的图象向左平移 1 个单位长度得到那么请你 分析说明函数y的图象是由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？ 10如图，直线yx+3 分别交x轴、y轴于点A、C点P是该直线与双曲线在第一象限内的一个交点， PBx轴于B，且SABP
9、16 （1）求证：AOCABP； （2）求点P的坐标； （3）设点Q与点P在同一个反比例函数的图象上，且点Q在直线PB的右侧，作QDx轴于D，当BQD 与AOC相似时，求点Q的横坐标 参考答案参考答案 1解：（1）两个函数图象的交点分别为A，B， ， x2k2， xk， 点A坐标为（k，1），点B坐标（k，1）， （2）k1， 点A坐标为（1，1），点B坐标（1，1）， 点P的坐标为（m，）， 直线PA解析式为：y+， 当y0 时，xm1， 点C（m1，0） 同理可求直线PB解析式为：yx+， 当y0 时，xm+1， 点D（m+1，0） PD， PC， PCPD， PCD是等腰三角形； （3）
10、如图，过点P作PHCD于H， PCD为直角三角形，PHCD， CD2PH， m+1（m1）2 m1， 点P（1，1）， 点B（1，1），且点P是函数y在第一象限内的图象上的一个动点（点P不与B重合）， 不存在点P使PCD为直角三角形 2解：为本题解答表述的方便，把a、b、c中的c边称为“近斜边”； （1）当 1 所在的边为“近斜边”时， a2+b25c2，即 2+b25，解得：b（负值已舍去）； 当所在的边为“近斜边”时，同理 1+b25（）2，解得：b3（负值已舍去）； 当 1 和以外的边为“近斜边”时，则 1+25c2，解得：c（负值已舍去）； 综上，第三边为或 3 或； （2）设点E（m
11、，1），点D（2，n），则km2n（n1）， 则OE2m2+14n2+1，OD2n2+4， DE2（2m）2+（1n）2（22n）2+（1n）25（1n）25n210n+5， 当OE为“近斜边”时， 则 5（4n2+1）n2+4+5n210n+5，解得：n或1（舍去1）； 当DO为“近斜边”时， 同理可得：n或1（均舍去）； 当DE为“近斜边”时， 同理可得：n或 2（舍去 2）， 综上，n或， 故k或 1 3解：（1）MNAM，故AM不可能是斜边； 当MN是斜边时，由题意得：MN2AM2+NB2，即 41+BN2，解得：BN（负值已舍去）； 当NB是斜边时，同理可得：BN21+4，解得：BN
12、（负值已舍去）； 故BN或； （2）连接PC、PD，在圆上取一点M，连接MA、MB， AOB90，AMB45， 则APB180AMB135， PA，PB的垂直平分线交AB于点C，D， ACPC，PDBD， PACAPC，PBDBPD， PCD+PDC2PAC+2PBA2AMB90， CPD90， 即PCD为直角三角形， 故PC2+PD2CD2， AC2+BD2CD2， 故点C，D是线段AB的勾股分割点； （3）直线yx+4 与坐标轴分别交于A，B两点，则点A、B的坐标分别为：（4，0）、（0，4）， 点P（a，b），则点C纵坐标为b，而点C在直线AB上，故点C（4b，b）， 同理点D（a，4a
13、）， 则CD22（a+b4）2，BC22（4b）2，AD22（4a）2， CDBC，CDAD， 故只有CD是斜边， 由CD2BC2+AD2得：2（a+b4）22（4b）2+2（4a）2， 化简得：ab8k， 故k8 4解：（1）如图， 点P的坐标为（a，），PMx轴， 点M的纵坐标为， 点R的坐标为（b，），RMy轴， 点M的横坐标为b， 点M（b，）， 故答案为：（b，）， （2）设直线OM解析式为：ykx， 点M（b，）， bk， k， 直线OM解析式为：yx， 分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q， 点Q（a，）， 当xa时，y， 点Q在直线OM上； （3）连接PR，交O
14、M于点S， 由题意得四边形PQRM是矩形， PRQM，SPPR，SMQM， SPSM， 12， 31+222， PR2PO， PSPO， 4322， PMx轴， 25， AOB4+535， 即MOBAOB； （4）如图，设边OA与函数y（x0）的图象交于点P，以点P为圆心，2OP的长为半径作弧， 在第四象限交函数y（x0）的图象于点R， 过点P作x轴的平行线，过点R作y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM，则MOBAOB 5解：（1）将A（3，4）代入y，得m3412 反比例函数的解析式为y； 将B（6，n）代入y，得 6n12， 解得n2， B（6，2）， 将A（3，4）和B（6，2）分别
15、代入ykx+b（k0），得 ， 解得， 所求的一次函数的解析式为yx+2； （2）当y0 时，x+20， 解得：x3， C（3，0）， SAOC346，SBOC323， SAOB6+39； （3）存在 过A点作AP1x轴于P1，AP2AC交x轴于P2，如图， AP1C90， A点坐标为（3，4）， P1点的坐标为（3，0）； P2AC90， P2AP1+P1AC90，而AP2P1+P2AP190， AP2P1P1AC， RtAP2P1RtCAP1， ，即， P1P2， OP23+， P2点的坐标为（，0）， 满足条件的P点坐标为（3，0）、（，0） 6解：（1）函数y（x0）的图象与直线yx+
16、2 交于点A（3，m）， m3+21，即A（3，1）， k1（3）3， 则k的值是 3，m的值是1； （2）当a1 时， 点P（a，b）是直线yx上， P（1，1）， 令y1，代入yx+2，x3， M（3，1），即PM2， 令x1，代入y（x0），y3， N（1，3），即PN2， PMPN； 当PNPM，结合函数的图象得：b的取值范围为1b0 或b3 7解：（1）由题意A（1，4），B（4，1），A根据旋转的性质可知（4，1），B（1，4）； 故答案为A（4，1），B（1，4）； （2）如图， A（1，4），B（4，1），A根据旋转的性质可知（4，1），B（1，4）， A和B关于x轴对称，B和
17、A关于x轴对称， 连接BB交x轴于P，连接AP，此时PA+PB的值最小， 直线BB的解析式为tx，AB的解析式yx5， P（，0），过点P作PQAB交y于Q， SPABSQAB， 直线PQ的解析式为yx， 由消去y得到：5x217x200， 解得x或（舍弃） 点Q的横坐标为 （3）如图， 当MNB90时，MBBN， 8tt， 解得t8（1） 当NMB90时， BNBM， t（8t）， 解得t168（不合题意舍弃）， 综上所述，t8（1）s时，NMB是等腰直角三角形 8解：（1）由题意得，点C的坐标为（1，8）， 将其代入y得，k8， 曲线段CD的函数解析式为y， 点D的坐标为（10，0.8），
18、 自变量的取值范围为 1x10； （2）设直线AB的解析式为ykx+b（k0）， 由（1）易求得点P的坐标为（2，4）， 42k+b，即b42k， 直线AB的解析式为ykx+42k， 联立， 得kx2+2（2k）x80， k0， 由题意得，4（2k）2+32k0，解得k2， 直线AB的解析式为y2x+8，当x0 时，y8；当y0 时，x4， 即A、B的坐标分别为A（0，8），B（4，0）， AB4 km 公路AB的长度为 4km 9（1）1+，1+1+，a4； （2）式3， 所以当m13 或3 或 1 或1 时，分式的值为整数， 解得m4 或m2 或m0 或m2； （3）y3+， 将y的图象向
19、右移动2个单位长度得到y的图象， 再向上移动3个单位长度得到y3， 即y 10（1）证明：PBx轴于B，QCx轴， OCPB， AOCABP； （2）解：对于直线yx+3， 令x0，得y3； 令 y0，得x6， A（6，0），C（0，3）， OA6，OC3 AOCABP， ， SABP16，SAOC， ， ， 即 ， PB4，AB8， OB2， 点P的坐标为（2，4）； （3）设反比例函数的解析式为y， 把P（2，4）代入，得kxy248， 反比例函数的解析式为y； 点Q在双曲线上，可设点Q的坐标为（n，）（n2）， 则BDn2，QD， 当BQDACO时， ， 整理得，n22n160， 解得 n11+，n21； 当BQDCAO时， ， 整理得，n22n40， 解得 n31+，n41， 综上所述，点Q的横坐标为 1+或 1+
