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2021年中考数学提分压轴训练:反比例函数综合(四)含答案

1、20212021 年中考数学分类专题提分压轴训练:反比例函数综合(四)年中考数学分类专题提分压轴训练:反比例函数综合(四) 1当k值相同时,我们把正比例函数yx与反比例函数y叫做“关联函数” (1)如图,若k0,这两个函数图象的交点分别为A,B,求点A,B的坐标(用k表示); (2)若k1,点P是函数y在第一象限内的图象上的一个动点(点P不与B重合),设点P的坐 标为(m,),其中m0 且m2作直线PA,PB分别与x轴交于点C,D,则PCD是等腰三角形, 请说明理由; (3)在(2)的基础上,是否存在点P使PCD为直角三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在, 请说明理由 2如果一个三角形的

2、三边a,b,c能满足a2+b25c2,那么这个三角形叫做“5 阶三角形” (1)一个 5 阶三角形的两边是 1 和,求第三边 (2)如图,矩形OACB中,O为坐标原点,A在y轴上,B在x轴上,C点坐标是(2,1),反比例函数 y(k0)的图象与直线AC、直线BC分别交于点E,D,若ODE是 5 阶三角形,求出所有可能的k 的值 3定义:点M,N把线段AB分割成AM,MN和NB,若以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形,则称 点M,N是线段AB的勾股分割点 (1)如图,已知M,N是线段AB的勾股分割点,AM1,MN2,求NB的长; (2)如图,在O中,圆心角AOB90,P是上一动点(不与

3、A,B重合),连接PA,PB,分 别作PA,PB的垂直平分线交AB于点C,D,求证:点C,D是线段AB的勾股分割点; (3)如图,直线yx+4 与坐标轴分别交于A,B两点,P(a,b)是函数y(k0,x0)图 象上的动点,过点P分别向x轴,y轴作垂线PM,PN,垂足分别为M,N,PM,PN分别与直线交于点D, 点C当点P运动时,若满足CDBC,CDAD,且C,D是线段AB的勾股分割点,求k的值 4材料:帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法,具体如下: 建立平面直角坐标系,将已知锐角AOB的顶点与原点O重合,角的一边OB与x轴正方向重合; 在平面直角坐标系里,绘制函数y的图象,图象与已知

4、角的另一边OA交于点P; 以P为圆心,2OP为半径作弧,交函数y的图象于点R; 分别过点P和R作x轴和y轴的平行线,两线相交于点M; 连接OM,得到MOB,这时MOBAOB 根据以上材料解答下列问题 (1)设点P的坐标为(a,),点R的坐标为(b,),则点M的坐标为 (2)分别过点P和R作y轴和x轴的平行线,两直线相交于点Q求证:点Q在直线OM上; (3)求证:MOBAOB; (4)应用上述方法得到的结论,如何三等分一个钝角(用文字简要说明) 5如图,一次函数ykx+b(k0)的图象与反比例函数y(m0)的图象交于二、四象限内的A、B 两点,与x轴交于C点,点A的坐标为(3,4),点B的坐标为

5、(6,n) (1)求该反比例函数和一次函数的解析式; (2)连接OB,求AOB 的面积; (3)在x轴上是否存在点P,使APC是直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理 由 6如图,在平面直角坐标系xOy中,函数y(x0)的图象与直线yx+2 交于点A(3,m) (1)求k,m的值; (2)已知点P(a,b)是直线yx上位于第三象限的点,过点P作平行于x轴的直线,交直线yx+2 于点M,过点P作平行于y轴的直线,交函数y(x0)的图象于点N 当a1 时,判断线段PM与PN的数量关系,并说明理由; 若PNPM,结合函数的图象,直接写出b的取值范围 7在平面直角坐标系xOy中,点A、

6、B为反比例函数y的图象上两点,A点的横坐标与B点的 纵坐标均为 1,将y的图象绕原点O顺时针旋转 90,A点的对应点为A,B点的对应点 为B (1)点A的坐标是 ,点B的坐标是 ; (2)在x轴上存在一点P,使PA+PB取得最小值此时在反比例函数y的图象上是否存在 一点Q,使ABQ的面积与PAB的面积相等,若存在,请求出点Q的横坐标;若不存在,请说明理 由; (3)连接AB,动点M从A点出发沿线段AB以每秒 1 个单位长度的速度向终点B运动;动点N同 时从B点出发沿线段BA以每秒 1 个单位长度的速度向终点A运动当其中一个点停止运动时, 另一个点也随之停止运动设运动的时间为t秒,试探究:是否存

7、在使MNB为等腰直角三角形的t 值若存在,求出t的值;若不存在,说明理由 8如图,直线l1,l2是紧靠某湖泊的两条相互垂直的公路,曲线段CD是该湖泊环湖观光大道的一部分现 准备修建一条直线型公路AB,用以连接两条公路和环湖观光大道,且直线AB与曲线段CD有且仅有一个 公共点P 已知点C到l1,l2的距离分别为8km和1km, 点P到l1的距离为4km, 点D到l1的距离为 0.8km 若 分别以l1,l2为x轴、y轴建立平面直角坐标系xOy,则曲线段CD对应的函数解析式为y (1)求k的值,并指出函数y的自变量的取值范围; (2)求直线AB的解析式,并求出公路AB长度(结果保留根号) 9我们可

8、以把一个假分数写成一个整数加上一个真分数的形式,如同样的,我们也可以把某 些分式写成类似的形式,如这种方法我们称为“分离常数法” (1)如果,求常数a的值; (2)利用分离常数法,解决下面的问题: 当m取哪些整数时,分式的值是整数? (3)我们知道一次函数yx1 的图象可以看成是由正比例函数yx的图象向下平移 1 个单位长度得 到,函数y的图象可以看成是由反比例函数y的图象向左平移 1 个单位长度得到那么请你 分析说明函数y的图象是由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到? 10如图,直线yx+3 分别交x轴、y轴于点A、C点P是该直线与双曲线在第一象限内的一个交点, PBx轴于B,且SABP

9、16 (1)求证:AOCABP; (2)求点P的坐标; (3)设点Q与点P在同一个反比例函数的图象上,且点Q在直线PB的右侧,作QDx轴于D,当BQD 与AOC相似时,求点Q的横坐标 参考答案参考答案 1解:(1)两个函数图象的交点分别为A,B, , x2k2, xk, 点A坐标为(k,1),点B坐标(k,1), (2)k1, 点A坐标为(1,1),点B坐标(1,1), 点P的坐标为(m,), 直线PA解析式为:y+, 当y0 时,xm1, 点C(m1,0) 同理可求直线PB解析式为:yx+, 当y0 时,xm+1, 点D(m+1,0) PD, PC, PCPD, PCD是等腰三角形; (3)

10、如图,过点P作PHCD于H, PCD为直角三角形,PHCD, CD2PH, m+1(m1)2 m1, 点P(1,1), 点B(1,1),且点P是函数y在第一象限内的图象上的一个动点(点P不与B重合), 不存在点P使PCD为直角三角形 2解:为本题解答表述的方便,把a、b、c中的c边称为“近斜边”; (1)当 1 所在的边为“近斜边”时, a2+b25c2,即 2+b25,解得:b(负值已舍去); 当所在的边为“近斜边”时,同理 1+b25()2,解得:b3(负值已舍去); 当 1 和以外的边为“近斜边”时,则 1+25c2,解得:c(负值已舍去); 综上,第三边为或 3 或; (2)设点E(m

11、,1),点D(2,n),则km2n(n1), 则OE2m2+14n2+1,OD2n2+4, DE2(2m)2+(1n)2(22n)2+(1n)25(1n)25n210n+5, 当OE为“近斜边”时, 则 5(4n2+1)n2+4+5n210n+5,解得:n或1(舍去1); 当DO为“近斜边”时, 同理可得:n或1(均舍去); 当DE为“近斜边”时, 同理可得:n或 2(舍去 2), 综上,n或, 故k或 1 3解:(1)MNAM,故AM不可能是斜边; 当MN是斜边时,由题意得:MN2AM2+NB2,即 41+BN2,解得:BN(负值已舍去); 当NB是斜边时,同理可得:BN21+4,解得:BN

12、(负值已舍去); 故BN或; (2)连接PC、PD,在圆上取一点M,连接MA、MB, AOB90,AMB45, 则APB180AMB135, PA,PB的垂直平分线交AB于点C,D, ACPC,PDBD, PACAPC,PBDBPD, PCD+PDC2PAC+2PBA2AMB90, CPD90, 即PCD为直角三角形, 故PC2+PD2CD2, AC2+BD2CD2, 故点C,D是线段AB的勾股分割点; (3)直线yx+4 与坐标轴分别交于A,B两点,则点A、B的坐标分别为:(4,0)、(0,4), 点P(a,b),则点C纵坐标为b,而点C在直线AB上,故点C(4b,b), 同理点D(a,4a

13、), 则CD22(a+b4)2,BC22(4b)2,AD22(4a)2, CDBC,CDAD, 故只有CD是斜边, 由CD2BC2+AD2得:2(a+b4)22(4b)2+2(4a)2, 化简得:ab8k, 故k8 4解:(1)如图, 点P的坐标为(a,),PMx轴, 点M的纵坐标为, 点R的坐标为(b,),RMy轴, 点M的横坐标为b, 点M(b,), 故答案为:(b,), (2)设直线OM解析式为:ykx, 点M(b,), bk, k, 直线OM解析式为:yx, 分别过点P和R作y轴和x轴的平行线,两直线相交于点Q, 点Q(a,), 当xa时,y, 点Q在直线OM上; (3)连接PR,交O

14、M于点S, 由题意得四边形PQRM是矩形, PRQM,SPPR,SMQM, SPSM, 12, 31+222, PR2PO, PSPO, 4322, PMx轴, 25, AOB4+535, 即MOBAOB; (4)如图,设边OA与函数y(x0)的图象交于点P,以点P为圆心,2OP的长为半径作弧, 在第四象限交函数y(x0)的图象于点R, 过点P作x轴的平行线,过点R作y轴的平行线,两直线相交于点M,连接OM,则MOBAOB 5解:(1)将A(3,4)代入y,得m3412 反比例函数的解析式为y; 将B(6,n)代入y,得 6n12, 解得n2, B(6,2), 将A(3,4)和B(6,2)分别

15、代入ykx+b(k0),得 , 解得, 所求的一次函数的解析式为yx+2; (2)当y0 时,x+20, 解得:x3, C(3,0), SAOC346,SBOC323, SAOB6+39; (3)存在 过A点作AP1x轴于P1,AP2AC交x轴于P2,如图, AP1C90, A点坐标为(3,4), P1点的坐标为(3,0); P2AC90, P2AP1+P1AC90,而AP2P1+P2AP190, AP2P1P1AC, RtAP2P1RtCAP1, ,即, P1P2, OP23+, P2点的坐标为(,0), 满足条件的P点坐标为(3,0)、(,0) 6解:(1)函数y(x0)的图象与直线yx+

16、2 交于点A(3,m), m3+21,即A(3,1), k1(3)3, 则k的值是 3,m的值是1; (2)当a1 时, 点P(a,b)是直线yx上, P(1,1), 令y1,代入yx+2,x3, M(3,1),即PM2, 令x1,代入y(x0),y3, N(1,3),即PN2, PMPN; 当PNPM,结合函数的图象得:b的取值范围为1b0 或b3 7解:(1)由题意A(1,4),B(4,1),A根据旋转的性质可知(4,1),B(1,4); 故答案为A(4,1),B(1,4); (2)如图, A(1,4),B(4,1),A根据旋转的性质可知(4,1),B(1,4), A和B关于x轴对称,B和

17、A关于x轴对称, 连接BB交x轴于P,连接AP,此时PA+PB的值最小, 直线BB的解析式为tx,AB的解析式yx5, P(,0),过点P作PQAB交y于Q, SPABSQAB, 直线PQ的解析式为yx, 由消去y得到:5x217x200, 解得x或(舍弃) 点Q的横坐标为 (3)如图, 当MNB90时,MBBN, 8tt, 解得t8(1) 当NMB90时, BNBM, t(8t), 解得t168(不合题意舍弃), 综上所述,t8(1)s时,NMB是等腰直角三角形 8解:(1)由题意得,点C的坐标为(1,8), 将其代入y得,k8, 曲线段CD的函数解析式为y, 点D的坐标为(10,0.8),

18、 自变量的取值范围为 1x10; (2)设直线AB的解析式为ykx+b(k0), 由(1)易求得点P的坐标为(2,4), 42k+b,即b42k, 直线AB的解析式为ykx+42k, 联立, 得kx2+2(2k)x80, k0, 由题意得,4(2k)2+32k0,解得k2, 直线AB的解析式为y2x+8,当x0 时,y8;当y0 时,x4, 即A、B的坐标分别为A(0,8),B(4,0), AB4 km 公路AB的长度为 4km 9(1)1+,1+1+,a4; (2)式3, 所以当m13 或3 或 1 或1 时,分式的值为整数, 解得m4 或m2 或m0 或m2; (3)y3+, 将y的图象向

19、右移动2个单位长度得到y的图象, 再向上移动3个单位长度得到y3, 即y 10(1)证明:PBx轴于B,QCx轴, OCPB, AOCABP; (2)解:对于直线yx+3, 令x0,得y3; 令 y0,得x6, A(6,0),C(0,3), OA6,OC3 AOCABP, , SABP16,SAOC, , , 即 , PB4,AB8, OB2, 点P的坐标为(2,4); (3)设反比例函数的解析式为y, 把P(2,4)代入,得kxy248, 反比例函数的解析式为y; 点Q在双曲线上,可设点Q的坐标为(n,)(n2), 则BDn2,QD, 当BQDACO时, , 整理得,n22n160, 解得 n11+,n21; 当BQDCAO时, , 整理得,n22n40, 解得 n31+,n41, 综上所述,点Q的横坐标为 1+或 1+