向量的加减

1、角的定义(1)已知两个非零向量a，b，作a，b，则AOB称作向量a和向量b的夹角，记作a，b，并规定它的范围是0a，b.在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有a，bb，a.(2)当a，b时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作ab.(3)在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直.知识点二向量在轴上的正射影向量在轴上的正射影已知向量a和轴l(如图).作a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量.a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为，则由三角函数中的余弦定义有al|a|cos .知识点三向量的数量积(内积)向量数量积的定义|a|b|cosa，b叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cosa，b.知识点四向量数量积的性质两个向量内积有如下重要性质(1。

2、规律对任意一个两位数都成立吗？ 问题2：请用整式表示上面的过程，这两个数相减后的结果有什么规律？这个规律对任意一个两位数都成立吗？,做一做,活动2：探索并总结出整式加减运算的法则。
问题1：在上面的两个问题中，分别涉及了整式的什么运算？能说一说你是如何运算的吗？ 法则：进行整式的加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项,例 1,(2a24a+1)(3a2+2a-5),=2a2 4a+1+3a-2a2 +5,= a+6,去括号,合并同类项,求2a24a+1与3a2+2a-5的差.,列式,解: 由题意得,注意： 1、整式的加减实质就是去括号，合并同类项。
在去括号时一定要注意括号前是“+”还是“”。
2、整式加减的结果还是整式。
,0a2,例 2,求5(3a2b-ab2)-4(-ab2+3a2b)的值，其中a=-2、b=3.,解：,5(3a2b-ab2)-4(-ab2+3a2b),=15a2b-5ab2 + 4ab2-12a2b,=3a2b-ab2,当a=-2、b=3时，,原式=3(-2)23-(-2) 3。

3、10)，则a等于()A.(2，2) B.(2,2) C.(2,2) D.(2，2)答案D3.已知向量a(1,2)，b(2,3)，c(3,4)，且c1a2b，则1，2的值分别为()A.2,1 B.1，2 C.2，1 D.1,2答案D解析由解得4.在ABCD中，已知(3,7)，(2,3)，对角线AC，BD相交于点O，则的坐标是()A. B.C. D.答案B解析()(2,3)(3,7)，故选B.5.已知向量a(5,2)，b(4，3)，c(x，y)，若3a2bc0，则c等于()A.(23，12) B.(23,12)C.(7,0) D.(7,0)答案A解析a(5,2)，b(4，3)，c(x，y)，且3a2bc0，c2b3a2(4，3)3(5,2)(815，66)(23，12).6.设向量a(1，3)，b。

4、P2三点共线(1)当(0，)时，P位于线段P1，P2的内部，特别地，当1时，P为线段P1P2的中点(2)当(，1)时，P在线段P1P2的延长线上(3)当(1,0)时，P在线段P1P2的反向延长线上1若向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，且ab，则.()提示当y1y20时不成立2若向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，且x1y1x2y20，则ab.()3若向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，且x1y2x2y10，则ab.()4向量a(1,2)与向量b(4,8)共线()题型一向量共线的判定例1(1)下列各组向量中，共线的是_a(0,0)，b(1,2)；a(2,3)，b(3,2)；a(1，2)，b(7,14)；a(3,2)，b(6，4)答案解析中a0，又0与任一向量共线a与b共线；中223×。

5、零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量，记作a0.由数乘向量的定义可知，a|a|a0或a0.知识点二轴上向量的坐标及其运算(1)轴上向量的坐标名称定义轴规定了方向和长度单位的直线叫做轴轴的基向量取单位向量，使其方向与轴同方向，则该单位向量为轴的基向量a在轴l上的坐标如果axe，则x叫做向量a在轴l上的坐标(或数量)(2)轴上向量的坐标运算法则(或公式)文字语言符号语言轴上两个向量相等的法则轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等设ax1e，bx2e，则abx1x2轴上求两个向量的和的法则轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和设ax1e，bx2e，则ab(x1x2)e轴上向量的坐标公式轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标ABx2x1，|AB|x2x1|1.若向量b与a共线，则存在唯一的实数使ba.()提示当b0，a0时，实数不唯一.2.若ba，则a与b共线.(。

6、图案，如图 所示，再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形，如图 所示，则新长方形的周长可表示为( )A.2a-3b B.4a-8b C.2a-4b D.4a-10b4.小明在复习课堂笔记时，发现一道题:=- x2-xy+y2，括号处被钢笔弄污了，(-x2+3xy-12y2)-12x2+4xy+( ) 12则括号处的这一项是( )A. y2 B.3y2 C.- y2 D.-3y232 325.已知 a3-a-1=0，则 a3-a+2 018= . 6.多项式(4 xy-3x2-xy+x2+y2)-(3xy-2x2+2y2)的值与 无关 .(填“ x”或“ y”) 7.若 A=3a2-5b+4， B=3a2-5b+7，则 A B.(填“ ”“”或“ =”)8.小雄的储蓄罐里存放着家长平时给他的零用钱，这些钱全是硬币，为了支援贫困地区的小朋友读书，他将储蓄罐里所存的钱都捐献出来 .经清点，一角钱的硬币有 a枚，五角钱的硬币比一角钱的 3倍多 7枚，一元钱的硬币有 b枚，则小雄一共捐献了 。

7、量可以用有向线段直观表示 有向线段的长度表示向量的长度； 有向线段的方向表示向量的方向 （2）常见的表示方法）常见的表示方法 向量AB，长度记为AB； 向量a、b、c，长度记为a、b、c 4相等的向量相等的向量 方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量 5相反的向量相反的向量 方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反的向量 6平行向量平行向量 方向相同或相反的两个向量叫做平行向量 【例 1】 （1）既有 、又有 的量，叫做向量向量 （2）向量的 也叫向量的模向量的模（或向量的长度）它是一个 （3）零向量零向量：大小为 ，方向 的向量；记作_ _ 【答案】 （1）大小，方向； （2）大小，数； （3）零，任意，0； 【例 2】 （1）方向 且大小 的两个向量叫做相等向量相等向量 （2）方向 且大小 的两个向量叫做相反向量相反向量 （3）方向 的两个向量叫做平行向量平行向量 【答案】 （1）相同，相等； （2） 。

8、 , ，在平面内任取一点 A，作bBCaAB ,，则向量AC叫做向量ba , 的和。
记作：ba ，即ACBCABba 2 2：向量的加法法则：向量的加法法则 （1 1）三角形法则三角形法则: :两个向量“首尾”相接 平面向量的加减运算 注意：1三角形法则对于两个向量平行时也适用； 2两个向量的和向量仍是一个向量 （2 2）平行四边形法则：）平行四边形法则： 由同一点 A 为起点的两个已知向量ba , 为邻边作平行四边形 ABCD，则以 A 为起点的向量AC就是向 量ba , 的和。
这种作两个向量和的方法叫做平行四边形法则 注意：平行四边形法则对于两个向量共线时不适用 小结：三角形法则 （普遍性） 平行四边形法则 （局限性） （首尾相接首尾连） （首首相接，始终相连） 3 3：向量和的特点：向量和的特点 （1）两相向量的和仍是一个向量； （2）当向量a与b不平行时，a +b与a,b的方向不同向，且|a+b|a|+|b|； （3）当向量ba , 同向时，b。

9、数量|a|b|cos 叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos .2规定：零向量与任一向量的数量积为0.特别提醒：两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，其大小与两个向量的长度及其夹角都有关，符号由夹角的余弦值的符号决定思考若a0，且ab0，是否能推出b0.答案在实数中，若a0，且ab0，则b0；但是在数量积中，若a0，且ab0，不能推出b0.因为其中cos 有可能为0.知识点二两个向量的夹角1定义：已知两个非零向量a，b，如图所示作a，b，则AOB，称为向量a与b的夹角2范围：0180.3当0时，a与b同向；当180时，a与b反向4当90时，则称向量a与b垂直，记作ab.思考把两个非零向量的起点移至同一点，那么这两个向量构成的图形是什么？答案角知识点三平面向量数量积的几何意义1条件：向量a与b。

10、对应无数个相等的向量，故错误2已知向量a(2,4)，b(1,1)，则2ab等于()A(5,7) B(5,9)C(3,7) D(3,9)答案A解析2ab(4,8)(1,1)(5,7)3已知向量a(1,2)，b(2,3)，c(3,4)，且c1a2b，则1，2的值分别为()A2,1 B1，2C2，1 D1,2答案D解析由解得4已知M(3，2)，N(5，1)且，则点P的坐标为()A(8,1) B.C. D(8，1)答案C解析设P(x，y)，由(x3，y2)(8,1)，x1，y.5已知平面上三点A(2，4)，B(0,6)，C(8,10)，则的坐标是_答案(3,6)6已知A(1，2)，B(2,3)，C(2,0)，D(x，y)，且2，则xy_.答案解析(2,0)。

11、 , ，在平面内任取一点 A，作bBCaAB ,，则向量AC叫做向量ba , 的和。
记作：ba ，即ACBCABba 2 2：向量的加法法则：向量的加法法则 （1 1）三角形法则三角形法则: :两个向量“首尾”相接 平面向量的加减运算 （2 2）平行四边形法则：）平行四边形法则： 由同一点 A 为起点的两个已知向量ba , 为邻边作平行四边形 ABCD，则以 A 为起点的向量AC就是向 量ba , 的和。
这种作两个向量和的方法叫做平行四边形法则 （首尾相接首尾连） （首首相接，始终相连） 3 3：向量和的特点：向量和的特点 （1）两相向量的和仍是一个向量； （2）当向量a与b不平行时，a +b与a,b的方向不同向，且|a+b|a|+|b|； （3）当向量ba , 同向时，ba 的方向与ba , 同向，且|baba 当向量ba , 反向时，若|ba ，则ba 的方向与ba , 同向，且|baba 。

12、量可以用有向线段直观表示 有向线段的长度表示向量的长度； 有向线段的方向表示向量的方向 （2）常见的表示方法）常见的表示方法 向量AB，长度记为AB； 向量a、b、c，长度记为a、b、c 4相等的向量相等的向量 方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量 5相反的向量相反的向量 方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反的向量 6平行向量平行向量 方向相同或相反的两个向量叫做平行向量 【例 1】 （1）既有 、又有 的量，叫做向量向量 （2）向量的 也叫向量的模向量的模（或向量的长度）它是一个 （3）零向量零向量：大小为 ，方向 的向量；记作_ _ 【例 2】 （1）方向 且大小 的两个向量叫做相等向量相等向量 （2）方向 且大小 的两个向量叫做相反向量相反向量 （3）方向 的两个向量叫做平行向量平行向量 【例 3】下列关于a、b的式子：/ /ab；ab ；0ab；ab 如果a、b互为相反向量。

13、基底：在直角坐标系xOy内，分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量e1，e2.这时，我们就在坐标平面内建立了一个正交基底e1，e2.这个基底也叫做直角坐标系xOy的基底.(2)坐标分量：在坐标平面xOy内，任作一向量a(用有向线段表示)，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(a1，a2)，使得aa1e1a2e2，(a1，a2)就是向量a在基底e1，e2下的坐标，即a(a1，a2)，其中a1叫做向量a在x轴上的坐标分量，a2叫做a在y轴上的坐标分量.(3)若xe1ye2(x，y)，则的坐标(x，y)点A的坐标(x，y).知识点三平面向量的坐标运算(1)若a(a1，a2)，b(b1，b2)，则ab(a1b1，a2b2)，ab(a1b1，a2b2)，a(a1，a2)(a1，a2).即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1).即一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标。

14、6.16.1 平面向量的概念平面向量的概念 6 6. .1.11.1 向量的实际背景与概念向量的实际背景与概念 6 6. .1.21.2 向量的几何表示向量的几何表示 6 6. .1.31.3 相等向量与共线向量相等向量与共线向量 基础达标。

15、若 向 量 a的 起 点是 A，终 点 是 B，可 记 作 a，也 可 记 作 AB ，其 模 记 为 |a|或 |AB | )(4)特殊向量单位向量、零向量都只是规定了向量的模长而没有规定向量的方向单位向量有无数个，它们的方向不确定，因此，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向任意，但规定所有的零向量都相等 2空间向量的加减法与运算律空间向量的运算加法 abOB OA AB 减法 abCA OA OC 加法运算律(1)交换律：a bba；(2)结合律：(ab)ca(bc)平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间向量的加(减) 法运算加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变 判断(正确的打“” ，错误的打 “”)(1)两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同( )(2)两个有公共终点的向量，一定是共线向量( )(3)在空间中，任意一个向量都可以进行平移( )(4)空间两非零向量相加时，一定可用。

16、内容分析平面向量的加减法本节课对向量的概念和性质进行讲解，以及如何利用三角形小法则和平行四边形法则计算向量的加减运算，是平面向量的基础在学习本章节的过程中，没注意零向量的特殊性以及向量的方向知识结构模块一：平面向量的概念知识精讲1有向线段 。

17、 或3几个特殊的空间向量零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为相等向量方向相同且_的向量称为相等向量4空间向量的加法和减法运算已知空间向量a，b，可以把它们平移到同一个平面内，以任意点O为起点，作向量，如图1所示类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算(如图2所示)：，图1图25空间向量的加法运算律（1）交换律：；（2）结合律：用图1、图2来验证空间向量的加法运算律如下：图1图2以上运算律对于多个空间向量的加法也是成立的6空间向量的数乘运算（1）定义：与平面向量一样，实数与空间向量a的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算（2）向量与a的关系：如图，当时，与向量a的_；当时，与向量a的_的长度是向量a的长度的倍（3）空间向量的数乘运算律：分配律：；结合律：7。

18、E,例如:橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点.,同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.,问:合力F与力F1、F2有怎样的关系？,F1+F2=F,力F对橡皮条产生的效果，与力F1和F2共同作用产生的效果相同，物理学中把力F叫做F1和F2的合力.,E,O,O,E,例如:橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点.,同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.,问:合力F与力F1、F2有怎样的关系？,F1+F2=F,F是以F1与F2为邻边所形成的 平行四边形的对角线,上述事例表明，两个向量可以相加，并且两个向量的和还是一个向量. 一般地，求两个向量和的运算，叫做向量的加法.,向 量 加 法,向 量 加 法,向 量 加 法,向 量 加 法,2.它们之们有联系吗?,1.两种方法做出的结果一样吗?,向量加法的定义,b,b,a,a,向 量 加 法,向 量 加 法,三 角 形 法 则:,平行四边形法则:,2.它们之们有联系吗?,1.两种方法做出的结果一样吗?,向量加法的定义,位移的。

19、与 的差 记作 ，即,观察总结：向量加法与减法做法的不同,1.向量减法法则,新授,特例：,方向相同,新授,思考：向量减法是加法运算的逆运算吗？,2. 相反向量:与向量 等长且方向相反的向量叫做 的相反向量，记作 ,新授,A,B,依减法定义得,例1 已知ABCD， ， ，试用向量 和 分别表示向量 和 ,D,C,解：连结 AC、DB，由向量求和的平行四边形法则，有,新授,例2 已知向量 ， ， 与 ，求作向量 ， ,练习,1. 已知向量 、 ，求作向量 ,(1) (2) (3),2.如图，化简：；(3),练习,练习,3. 已知ABCD， ， ，试用向。

20、向量和的运算，叫做向量的加法。
,向量 与向量 的和，记作,设两个向量 (不共线)，如何作出它们的和向量？,A,B,O,作法（1）在平面内任取一点O,这种作法叫做向量加法 的三角形法则,思考:,向量的加法,“首尾顺次连 ,起点指终点”,（2）,练习:求作下列向量的和向量,（1）,向量的加法,(1)同向,A,B,C,(2)反向,A,B,C,向量的加法,拓展思考：对于两个非零向量,2.当_时,1.当_时,3.当_时,4.当_时,向量的加法,探究1向量的加法是否满足交换律:,A,B,D,C,这种作法称向量加法的平行四边法则,向量的加法,思考.,菱形,矩形,探究2,C,B,A,D,推广：多个向量加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行。
,向量加法的结合律:,向量加法的多边形法则：,向量的加法,思考：,例1如图已知O是正六边形ABCDEF的中心，作出下列向。