1、2.4向量的数量积第1课时向量的数量积学习目标1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，了解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.4.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式知识点一平面向量的数量积1已知两个非零向量a和b，它们的夹角是，我们把数量|a|b|cos 叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos .2规定：零向量与任一向量的数量积为0.特别提醒：两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，其大小与两个向量的长度及其夹角都有关，符号由夹角的余弦值的符号决定思
2、考若a0，且ab0，是否能推出b0.答案在实数中，若a0，且ab0，则b0；但是在数量积中，若a0，且ab0，不能推出b0.因为其中cos 有可能为0.知识点二两个向量的夹角1定义：已知两个非零向量a，b，如图所示作a，b，则AOB，称为向量a与b的夹角2范围：0180.3当0时，a与b同向；当180时，a与b反向4当90时，则称向量a与b垂直，记作ab.思考把两个非零向量的起点移至同一点，那么这两个向量构成的图形是什么？答案角知识点三平面向量数量积的几何意义1条件：向量a与b的夹角为.2投影：向量b在a方向上的投影|b|cos 向量a在b方向上的投影|a|cos 3.ab的几何意义：数量积a
3、b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积知识点四平面向量数量积的性质及运算律1数量积性质(1)当a与b同向时，ab|a|b|；(2)当a与b反向时，ab|a|b|；(3)当ab时，ab0；(4)aa|a|2或|a|.2数量积的运算律(1)abba；(2)(a)ba(b)(ab)ab；(3)(ab)cacbc.思考若abbc，是否可以得出结论ac?答案不可以已知实数a，b，c(b0)，则abbcac，但是abbc推不出ac.理由如下：如图，ab|a|b|cos |b|OA|，bc|b|c|cos |b|OA|.所以abbc，但是ac.1向量数量积的运算结果是向量()2向量a
4、在向量b方向上的投影一定是正数()3在等边ABC中，向量与向量夹角为60.()提示向量与向量夹角为120.4向量的数量积运算满足(ab)ca(bc)()5(ab)ab.()题型一求两向量的数量积例1已知正三角形ABC的边长为1，求：(1)；(2)；(3).考点平面向量数量积的运算性质与法则题点数量积运算与求值解(1)与的夹角为60.|cos 6011.(2)与的夹角为120，|cos 12011.(3)与的夹角为60，|cos 6011.反思感悟求平面向量数量积的两个方法(1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式ab|a|b|cos .运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角
5、，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件(2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影，可利用数量积的几何意义求ab.跟踪训练1已知|a|4，|b|7，且向量a与b的夹角为120，求(2a3b)(3a2b)考点平面向量数量积的运算性质与法则题点数量积运算与求值解(2a3b)(3a2b)6a24ab9ba6b26|a|25ab6|b|2642547cos 120672268.题型二求向量的模例2已知|a|b|5，向量a与b的夹角为，求|ab|，|ab|.解设a，b的夹角为，ab|a|b|cos 55.|ab|5.|ab|5.引申探究若本例中条件不变，求
6、|2ab|，|a2b|.解ab|a|b|cos 55，|2ab|5.|a2b|5.反思感悟求解向量模的问题就是要灵活应用a2|a|2，即|a|，勿忘记开方跟踪训练2已知|a|b|5，且|3a2b|5，求|3ab|的值解|3a2b|29|a|212ab4|b|292512ab42532512ab，|3a2b|5，32512ab25，ab25.|3ab|2(3ab)29a26abb292562525400，故|3ab|20.题型三求向量的夹角例3设n和m是两个单位向量，其夹角是60，求向量a2mn与b2n3m的夹角解|n|m|1且m与n的夹角是60，mn|m|n|cos 6011.|a|2mn|，
7、|b|2n3m|，ab(2mn)(2n3m)mn6m22n26121.设a与b的夹角为，则cos .又0，故a与b的夹角为.反思感悟求向量夹角时，首先利用数量积公式求出两向量夹角的余弦值，然后结合向量夹角的范围确定具体的角跟踪训练3已知|a|2|b|2，且ab1.(1)求a与b的夹角；(2)求(a2b)b；(3)当为何值时，向量ab与向量a3b互相垂直？解(1)|a|2|b|2，|a|2，|b|1，ab|a|b|cos 1，cos ，又0，.(2)(a2b)bab2b2123.(3)ab与a3b互相垂直，(ab)(a3b)a23abba3b24313740，.1已知|a|1，|b|2，a与b的
8、夹角为，则ab等于()A1 B2 C3 D4考点平面向量数量积的运算性质与法则题点数量积运算与求值答案A解析ab|a|b|cos 12cos1，故选A.2在等腰直角三角形ABC中，若C90，AC，则的值等于()A2 B2 C2 D2考点平面向量数量积的运算性质与法则题点数量积运算与求值答案B解析|cosABC2cos 452.3已知|a|8，|b|4，a，b120，则向量b在a方向上的投影为()A4 B4 C2 D2考点向量的投影题点求向量的投影答案D解析向量b在a方向上的投影为|b|cosa，b4cos 1202.4已知菱形ABCD的边长为a，ABC60 ，则等于()Aa2 Ba2C.a2
9、D.a2考点平面向量数量积的运算性质与法则题点数量积运算与求值答案D解析如图所示，由题意，得BCa，CDa，BCD120.()aacos 60a2a2.5已知向量a，b的夹角为60，且|a|2，|b|1，若c2ab，da2b，求：(1)cd；(2)|c2d|.考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的模解(1)cd(2ab)(a2b)2a22b23ab24213219.(2)|c2d|2(4a3b)216a29b224ab16491242197，|c2d|.1两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a0，b0,090时)，也可以为负(当a0，b0,90180时)，还可以为0(当a0或b0或90时)2两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆3求投影有两种方法(1)b在a方向上的投影为|b|cos (为a，b的夹角)，a在b方向上的投影为|a|cos .(2)b在a方向上的投影为，a在b方向上的投影为.4两非零向量a，b，abab0，求向量模时要灵活运用公式|a|.
