1、31 空间向量及其运算31.1 空间向量及其加减运算1.了解向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念 2.掌握空间向量的加法、减法运算1空间向量(1)定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量(2)长度：向量的大小叫做向量的长度或模(3)表示法 几 何 表 示 法 ：空 间 向 量 用 有 向 线 段 表 示 ； 字 母 表 示 法 ：用 字 母 表 示 ，若 向 量 a的 起 点是 A，终 点 是 B，可 记 作 a，也 可 记 作 AB ，其 模 记 为 |a|或 |AB | )(4)特殊向量单位向量、零向量都只是规定了向量的模长而没有规定向量的方向单位向量有无数个，它们
2、的方向不确定，因此，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向任意，但规定所有的零向量都相等 2空间向量的加减法与运算律空间向量的运算加法 abOB OA AB 减法 abCA OA OC 加法运算律(1)交换律：a bba；(2)结合律：(ab)ca(bc)平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间向量的加(减) 法运算加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变 判断(正确的打“” ，错误的打 “”)(1)两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同( )(2)两个有公共终点的向量，一定是共线向量( )(3)在空间中，任意一个向量都可以进行平移( )(4)空间两非零向量
3、相加时，一定可用平行四边形法则运算( )答案：(1) (2) (3) (4)空间两个向量 a， b 互为相反向量，已知|b| 3，则下列结论不正确的是 ( )Aab Bab0Ca 与 b 方向相反 D.|a|3答案：B已知空间四边形 ABCD，连接 AC，BD ，则 为( )AB BC CD A. B.AD BD C. D.0AC 答案：A下列命题中为真命题的是( )A向量 与 的长度相等AB BA B将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C空间向量就是空间中的一条有向线段D不相等的两个空间向量的模必不相等答案：A探究点 1 空间向量的概念学生用书 P49(1)给出下列命
4、题：零向量没有确定的方向；在正方体 ABCDA1B1C1D1 中， ；AA1 C1C 若向量 a 与向量 b 的模相等，则 a，b 的方向相同或相反；在四边形 ABCD 中，必有 .AB AD AC 其中正确命题的序号是_；(2)如图所示，在以长、宽、高分别为 AB3，AD2，AA 11 的长方体 ABCDA1B1C1D1的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中，单位向量共有多少个？试写出模为 的所有向量5【解】 (1)正确；正确，因为 与 的大小相等方向相反，即互为相反向量，AA1 C1C 所以 ；|a| |b|，不能确定其方向，所以 a 与 b 的方向不能确定；中只有当AA1 C1C 四边形
5、 ABCD 是平行四边形时，才有 .AB AD AC 综上可知，正确命题为.故填.(2)由于长方体的高为 1，所以长方体 4 条高所对应的 ， ， ， ， ， ，AA1 A1A BB1 B1B CC1 C1C ， 这 8 个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为 1，故单位向量共有 8 个DD1 D1D 由于这个长方体的左、右两侧的对角线长均为 ，故模为 的向量有 ，5 5 AD1 ， ， ， ， ， ， 共 8 个D1A A1D DA1 BC1 C1B B1C CB1 特殊向量的特性(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的(2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是 1.(3)两
6、个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同若两个向量模相等，方向相反，则它们互为相反向量 如图所示，以长方体 ABCDA1B1C1D1 的八个顶点的两点为始点和终点的向量中(1)试写出与 相等的所有向量；AB (2)试写出 的相反向量AA1 解：(1)与向量 相等的所有向量(除它自身之外) 有 ， 及 共 3 个AB A1B1 DC D1C1 (2)向量 的相反向量为 ， ， ， . AA1 A1A B1B C1C D1D 探究点 2 空间向量的加减运算学生用书 P49如图所示，已知长方体 ABCDABCD.化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果(1)
7、 ；AA CB (2) .AA AB BC 【解】 (1) AA CB AA DA .AA AD AA AD AD (2) ( )AA AB BC AA AB BC .AB BC AC 向量 ， 如图所示AD AC 变问法 试把本例(2)中长方体中的体对角线所对应向量 用向量 ， ， 表示AC AA AB AD 解：在平行四边形 ACCA中，由平行四边形法则可得 ，AC AC AA 在平行四边形 ABCD 中，由平行四边形法则可得 ，AC AB AD 故 .AC AB AD AA 空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可
8、使向量间首尾相接(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果 化简( )( )_AB CD AC BD 解析：法一：(利用相反向量的关系转化为加法运算 )( )( ) AB CD AC BD AB CD AC BD AB DC CA BD 0.AB BD DC CA 法二：(利用向量的减法运算法则求解 )( )( )AB CD AC BD ( ) AB AC BD CD 0.CB BD CD CD CD 答案：01在空间四边形 OABC 中， 等于( )OA AB CB A. B.OA AB C. D.
9、OC AC 解析：选 C. ，故选 C.OA AB CB OA AB BC OC 2给出以下命题：若向量 a 是向量 b 的相反向量，则|a| |b|；空间向量的减法满足结合律；在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，必有 .AC A1C1 其中正确命题的个数是( )A0 B1C2 D.3解析：选 C.由相反向量的定义知 正确；减法不满足结合律，错误；中由 AC瘙綊 A1C1，知 ，正确故选 C.AC A1C1 3.如图所示，已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1，M 为 A1C1 与 B1D1 的交点，化简下列向量表达式(1) ；AA1 A1B1 (2) ；AA1 A1M MB1 (3)
10、；AA1 A1B1 A1D1 (4) .AB BC CC1 C1A1 A1A 解：(1) .AA1 A1B1 AB1 (2) .AA1 A1M MB1 AA1 A1M MD1 AD1 (3) .AA1 A1B1 A1D1 AA1 A1C1 AC1 (4) 0.AB BC CC1 C1A1 A1A 4.在如图所示的平行六面体中，求证： 2 .AC AB AD AC 证明：因为平行六面体的六个面均为平行四边形，所以 ， ， ，AC AB AD AB AB AA AD AD AA 所以 AC AB AD ( )( )( )AB AD AB AA AD AA 2( )AB AD AA 又因为 ， ，A
11、A CC AD BC 所以 .AB AD AA AB BC CC AC CC AC 所以 2 .AC AB AD AC 学生用书 P50知识结构 深化拓展理解空间向量的两个关系(1)模相等与向量相等的关系：两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量) 的模相等是两个向量相等的必要不充分条件(2)向量的模与向量大小关系：由于方向不能比较大小，因此“大于” “小于”对向量来说是没有意义的但向量的模是可以比较大小的.学生用书 P127(单独成册 )A 基础达标1已知空间向量 ， ， ， ，则下列结论正确的是( )AB BC CD AD A. B. AB BC CD AD
12、AB CD BC C. D. AD AB BC CD BC BD CD 解析：选 B.根据空间向量的加减运算可得 B 正确2给出下列命题：向量 的长度与向量 的长度相等；AB BA 向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；两个有公共终点的向量，一定是共线向量；若向量 与向量 是共线向量，则点 A，B，C ，D 必在同一条直线上；AB CD 有向线段就是向量，向量就是有向线段其中假命题的个数为( )A2 B3C4 D.5解析：选 C.真命题；假命题，若 a 与 b 中有一个为零向量时，其方向不确定；假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；假命题，共线向量所在直线可
13、以重合，也可以平行；假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段故假命题的个数为 4.3已知向量 ， ， 满足| | | |，则( )AB AC BC AB AC BC A. AB AC BC B. AB AC BC C. 与 同向 AC BC D. 与 同向AC CB 解析：选 D.由| | | | | |，知 A，B，C 三点共线且 C 点在线段 ABAB AC BC AC CB 上，所以 与 同向AC CB 4在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，下列选项中化简后为零向量的是( )A. AB A1D1 C1A1 B. AB AC BB1 C. AB AD AA1 D. AC CB1
14、 解析：选 A.在 A 选项中， ( ) 0.AB A1D1 C1A1 AB AD CA AC CA 5设有四边形 ABCD，O 为空间任意一点，且 ，则四边形 ABCDAO OB DO OC 是( )A平行四边形 B空间四边形C等腰梯形 D.矩形解析：选 A.由于 ， ，AO OB AB DO OC DC 所以 ，从而| | |，且 AB 与 CD 不共线，AB DC AB DC 所以 ABDC，所以四边形 ABCD 是平行四边形6式子( ) 运算的结果是_AB CB CC1 解析：( ) ( ) .AB CB CC1 AB BC CC1 AC CC1 AC1 答案： AC1 7已知平行六面
15、体 ABCDABCD，则下列四式中正确的有_ ； ；AB CB AC AC AB BC CC ； .AA CC AB BB BC CC AC 解析： ，正确；AB CB AB BC AC ，正确；AB BC CC AB BC CC AC 显然正确； ，错AB BB BC CC AB BC CC AC 答案：8给出下列几个命题：方向相反的两个向量是相反向量；若|a| |b|，则 ab 或 ab；对于任何向量 a， b，必有|ab| |a| b|.其中正确命题的序号为_解析：对于，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故错；对于，若|a| b|，则 a 与 b 的长度相等，但方向没有任何联系，故
16、不正确；只有正确答案：9判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由(1)若 A， B，C，D 四点在一条直线上，则 与 共线；AB CD (2)互为相反向量的向量的模相等；(3)任一向量与它的相反向量不相等解：(1)正确因为 A，B，C，D 四点在一条直线上，所以 与 一定共线AB CD (2)正确相反向量的模相等，但方向是相反的(3)不正确零向量的相反向量仍是零向量，零向量与零向量是相等的10.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，化简向量表达 式：(1) ；AB CD BC DA (2) .AA1 B1C1 D1D CB 解：(1) AB CD BC DA 0.AB BC CD D
17、A (2)因为 ， ，B1C1 BC CB D1D AA1 所以原式 0.AA1 CB AA1 CB B 能力提升11已知正方体 ABCDABCD的中心为 O，则在下列各结论中正确的共有( ) 与 是一对相反向量；OA OD OB OC 与 是一对相反向量；OB OC OA OD 与 是一对相反向量；OA OB OC OD OA OB OC OD 与 是一对相反向量OA OA OC OC A1 个 B2 个C3 个 D.4 个解析：选 C.如图所示， ， ，OA OC OD OB 所以 ( )，是一对相反向量；OA OD OB OC ， ，而 ，故不是相反向量；OB OC CB OA OD D
18、A CB DA 同也是正确的； ， ，是一对相反向量OA OA AA OC OC CC AA 12下列说法中，错误的个数为( )在正方体 ABCDA1B1C1D1 中， ；AC A1C1 若两个非零向量 与 满足 ，则 ， 互为相反向量AB CD AB CD AB CD 的充要条件是 A 与 C 重合，B 与 D 重合AB CD A1 B2C3 D.0解析：选 A.正确正确 . ，且 ， 为非零向量，所以 ， 互为相AB CD AB CD AB CD 反向量错误由 ，知| | |，且 与 同向，但 A 与 C，B 与 D 不一定AB CD AB CD AB CD 重合13如图，已知长方体 AB
19、CDA1B1C1D1，试在图中画出下列向量表达式所表示的向量(1) ， .AB1 AD1 AB1 AD1 (2) ， .AB AD AD1 AB AD AD1 解：(1)如图所示， ，AB1 AD1 D1B1 .AB1 AD1 AB1 B1C2 AC2 (2)如图所示， ，AB AD AD1 AC AD1 D1C .AB AD AD1 AC CC3 AC3 14(选做题) 如图所示，在六棱柱 ABCDEFA1B1C1D1E1F1 中(1)化简 ，并在图中标出化简结果的向量；A1F1 EF BA FF1 CD F1A1 (2)化简 ，并在图中标出化简结果的向量DE E1F1 FD BB1 A1E1 解：(1) A1F1 EF BA FF1 CD F1A1 AF FE AB BB1 CD DC 0AE AB1 AE ED1 .AD1 在图中所示如下：AD1 (2) DE E1F1 FD BB1 A1E1 DE EF FD BB1 B1D1 DF FD BD1 0 BD1 .BD1 在图中所示如下：BD1
