1、24 抛物线241 抛物线及其标准方程1理解抛物线的定义、标准方程及其中 p 的几何意义 2已知抛物线的标准方程，能够熟练地写出它的焦点坐标和准线方程 3掌握抛物线方程的四种标准形式，会用待定系数法求抛物线的标准方程1抛物线的定义(1)定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等的点的轨迹(2)焦点：点 F 叫做抛物线的焦点(3)准线：直线 l 叫做抛物线的准线定点 F 不能在定直线 l 上，否则动点 M 的轨迹不是抛物线，而是过点 F 且垂直于直线l 的一条直线2抛物线的标准方程图形 标准方程 焦点坐标 准线方程y22px (p0) (p2，0)xp2y22px
2、(p0) ( p2，0)xp2x22py (p0) (0，p2)yp2x22py (p0) (0， p2)yp2(1)抛物线的焦点所在轴(x 轴、y 轴) 由标准方程中的一次项来确定，开口方向( 向左、向右、向上、向下)由一次项系数的符号来确定，可简记为“对称轴要看一次项，符号决定开口方向” (2)“p”是抛物线的焦点到准线的距离，所以 p0特别注意，当抛物线标准方程中的一次项系数为负时，不要出现 p0)或 x22py (p0)把点(3，2) 的坐标分别代入 y22px (p0)和 x22py (p0)，得 42p(3)或92p2 ，即 2p 或 2p 43 92所以所求抛物线的标准方程为 y
3、2 x 或 x2 y43 92(2)令 x0，得 y2；令 y0，得 x4故抛物线的焦点为(4，0)或(0，2) 当焦点为(4，0)时， 4，p2即 2p16，此时抛物线方程为 y216x当焦点为(0，2)时， 2，p2即 2p8，此时抛物线方程为 x28y故所求的抛物线方程为 y216x 或 x28y用待定系数法求抛物线标准方程的步骤注意 当抛物线的类型没有确定时，可设方程为 y2mx(m 0)或 x2ny( n0)，这样可以减少讨论情况的个数 分别根据下列条件求抛物线的标准方程(1)准线方程为 y ；23(2)焦点在 x 轴负半轴上，焦点到准线的距离是 5解：(1)因为抛物线的准线平行于
4、x 轴，且在 x 轴上面，且 ，则 p p2 23 43所以所求抛物线的标准方程为 x2 y83(2)由焦点到准线的距离为 5，知 p5，又焦点在 x 轴负半轴上，所以所求抛物线的标准方程为 y2 10x探究点 2 抛物线定义的应用(1)若动圆 M 与圆 C：( x2) 2y 21 外切，又与直线 x10 相切，求动圆圆心的轨迹方程(2)已知点 P 是抛物线 y22x 上的一个动点，求点 P 到点(0，2)的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值【解】 (1)设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 R，由已知可得定圆圆心为 C(2，0)，半径r1因为两圆外切，所以|MC| R1又动圆 M 与
5、已知直线 x10 相切，所以圆心 M 到直线 x10 的距离 dR所以|MC |d 1即动点 M 到定点 C(2，0)的距离等于它到定直线 x20 的距离由抛物线的定义可知，点 M 的轨迹是以 C 为焦点，x20 为准线的抛物线，且2，p4，p2故其方程为 y28x (2)由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离由图可知，P 点、(0，2)点和抛物线的焦点 F 三点共线时距离之和最小，所以最小距离(12，0)d (0 12)2 （2 0）2 1721变条件 若将本例(2)中的点(0，2) 改为点 A(3，2) ，求|PA| PF|的最小值解：将 x3 代入 y22x ，得
6、y 6所以 A 在抛物线内部设 P 为其上一点，P 到准线(设为 l)x 的距离为 d，12则|PA| |PF| |PA|d由图可知，当 PAl 时，|PA| d 最小，最小值是 72即|PA| |PF|的最小值是 722变条件 若将本例(2)中的点(0，2) 换为直线 l1：3x4y 0，求点 P 到直线723x4y 0 的距离与 P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值72解：如图作 PQ 垂直于准线 l 于点 Q，|PA1|PQ | PA1|PF| A1F|minA1F 的最小值为 F 到直线 3x 4y 0 的距离72d 1即所求最小值为 1|312 72|32 （ 4）2抛物线定义的两
7、种应用(1)实现距离转化根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题(2)解决最值问题在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题 已知 P 是抛物线 y24x 上一动点，则点 P 到直线 l：2xy30 和 y轴的距离之和的最小值是( )A B3 5C2 D 15解析：选 D由题意知，抛物线的焦点为 F(1，0)设点 P 到直线 l 的距离为 d，由抛物线的定义可知，点 P 到 y 轴的距离为| PF|1，所以点 P 到直线 l 的距离与到 y
8、 轴的距离之和为 d| PF|1易知 d| PF|的最小值为点 F 到直线 l 的距离，故 d| PF|的最小值为 ，所以 d| PF|1 的最小值为 1|2 3|22 （ 1）2 5 5探究点 3 抛物线的实际应用如图是抛物线形拱桥，设水面宽|AB |18 米，拱顶距离水面 8 米，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形 CDEF若|CD| 9 米，那么|DE|不超过多少米才能使货船通过拱桥？【解】 如图所示，以点 O 为原点，过点 O 且平行于 AB 的直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 B(9，8) 设抛物线方程为 x22py (p0)因为 B 点在抛
9、物线上，所以 812p(8) ，所以 p ，所以抛物线的方程为 x2 y当 x 时， y2，即8116 818 92|DE|826 所以|DE|不超过 6 米才能使货船通过拱桥求解抛物线实际应用题的五个步骤喷灌的喷头装在直立管柱 OA 的顶点 A 处，喷出水流的最高点 B 高 5 m，且与 OA 所在的直线相距 4 m，水流落在以 O 为圆心，半径为 9 m 的圆上，则管柱 OA的长是多少？解：如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x22py(p0)，因为点 C(5，5)在抛物线上，所以 252p(5)，因此 2p5，所以抛物线的方程为 x25y，点 A(4， y0)在抛物线上
10、，所以 165y 0，即 y0 ，165所以 OA 的长为 5 18(m)165所以管柱 OA 的长为 18 m1设抛物线 y28x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点的距离是( )A4 B6C8 D 12解析：选 B由抛物线的方程得 2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为p2 424262抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴上，抛物线上的点(5，m )到焦点的距离是 6，则抛物线的方程是( )Ay 22x By 24xCy 2 2x D y24x 或 y236x解析：选 B由题意可设抛物线方程为 y22px( p0)，则 5 6，得 p2，所以p2抛物线的方程为 y2
11、4x ，选 B3以椭圆 y 21 的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为_x23解析：椭圆 y 21 的右焦点为( ，0) ，故抛物线的标准方程为 y24 xx23 2 2答案：y 24 x24根据下列条件求抛物线的标准方程(1)焦点在 x 轴的负半轴上，焦点到准线的距离是 6；(2)焦点在 y 轴上，且抛物线上一点 P(m，1)到焦点 F 的距离为 6解：(1)由焦点到准线的距离为 6，知 p6又焦点在 x 轴的负半轴上，所以抛物线的标准方程为 y212x(2)点 P 到焦点的距离等于点 P 到准线的距离，故 1 6，( p2)解得 p10，所以抛物线的标准方程为 x220y知识结构 深化拓展抛
12、物线的四种标准方程记忆方法(1)方程特点：焦点在 x 轴上，x 是一次项，y 是平方项；焦点在 y 轴上，y 是一次项，x 是平方项(2)一次项表明焦点所在轴，它的符号表明开口方向，有如下口诀：焦点轴一次项，符号确定开口向；若 y 是一次项，负时向下正向上；若 x 是一次项，负时向左正向右学生用书 P117(单独成册)A 基础达标1经过点 P(4，2) 的抛物线的标准方程为 ( )Ay 2x 或 x28y By 2x 或 y28xCy 2 8x D x28y解析：选 A因为点 P 在第四象限，所以抛物线开口向右或向下当开口向右时，设抛物线方程为 y22p 1x(p10)，则(2) 28p 1，
13、所以 p1 ，所以抛物线方程为 y2x当开12口向下时，设抛物线方程为 x22p 2y(p20)，则 424p 2，p 24，所以抛物线方程为x28y2已知 P(8， a)在抛物线 y24px( p0)上，且 P 到焦点的距离为 10，则焦点到准线的距离为( )A2 B4C8 D 16解析：选 B由题意可知准线方程为 xp，所以 8p10，所以 p2所以焦点到准线的距离为 2p43动点 P(x，y) 到点 F(3，0)的距离比它到直线 x20 的距离大 1，则动点的轨迹是( )A椭圆 B双曲线C双曲线的一支 D抛物线解析：选 D依题意可知动点 P(x，y )在直线右侧，设 P 到直线 x20
14、的距离为 d，则|PF| d1，所以动点 P 到 F(3，0) 的距离与到 x30 的距离相等，其轨迹为抛物线，故选 D4已知 F 是抛物线 y2x 的焦点， A，B 是该抛物线上的两点，|AF| BF|3，则线段AB 的中点到 y 轴的距离为 ( )A B134C D54 74解析：选 C过 A，B 分别作 y 轴的垂线，根据抛物线的定义与梯形中位线定理，得线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 (|AF|BF|) 12 14 32 14 545在同一坐标系中，方程 a2x2b 2y21 与 axby 20(ab0)的曲线大致是( )解析：选 Da 2x2b 2y21 其标准方程为 1，因为
15、ab0，所以 0)的准线相切，则 p_解析：由题意知圆的标准方程为(x3) 2y 216，圆心为(3，0)，半径为 4，抛物线的准线为 x ，由题意知 3 4，所以 p2p2 p2答案：28在抛物线 y212x 上，与焦点的距离等于 9 的点的坐标是_解析：由方程 y212x ，知焦点 F(3，0)，准线 l：x 3设所求点为 P(x，y) ，则由定义知| PF| 3x又|PF|9，所以 3x9，x6，代入 y212x，得 y6 2所以所求点的坐标为(6，6 )，( 6，6 )2 2答案：(6，6 )，( 6，6 )2 29根据下列条件求抛物线的标准方程(1)抛物线的焦点是双曲线 16x29y
16、 2144 的左顶点；(2)抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 y3 与抛物线交于点 A，| AF|5解：(1)由双曲线方程得 1，x29 y216其左顶点为(3，0)因此抛物线的焦点为(3，0)设其标准方程为 y22px (p0)，则 3p2所以 p6因此抛物线的标准方程为 y212x(2)当抛物线开口向右时，设抛物线的标准方程为 y22px(p0)，A(x0，3)，依题意得 9 2px0，x0 p2 5.)解得 p1，或 p9当抛物线开口向左时，设抛物线的标准方程为y22px(p0)，A(x0，3)，依题意得解得 p1 或 p99 2px0，p2 x0 5. )综上所述，所求抛物线的标准
17、方程为y22x 或 y218x10某河上有座抛物线形拱桥，当拱桥高 5 m 时，桥洞水面宽为 8 m，每年汛期，船工都要考虑拱桥的通行问题一只宽 4 m，高 2 m 的装有防汛器材的船，露出水面部分的高为 m，要使该船能够顺利通过拱桥，试问水面距离拱顶的高度至少为几米？34解：以抛物线形拱桥的拱顶为原点，建立如图所示的平面直角坐标系设当水面涨到与抛物线拱顶相距 h m 时，船恰好能通过设抛物线方程为 x22py (p0)，因为 A(4，5) 在抛物线上，所以 422p(5)，得 p ，85故 x2 y165当船恰好能通过时，设船宽等于 BB，则点 B 的横坐标为 2，代入 x2 y，得点 B1
18、65的纵坐标 y ，54所以 h|y| 2，34 54 34因此，水面距离拱顶至少 2 m，船才能顺利通过此桥B 能力提升11已知 O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y 24 x 的焦点， P(xP，y P)为 C 上一点，若2|PF|4 ，则 POF 的面积为 ( )2A2 B2 2C2 D 43解析：选 C由题意知抛物线的焦点为 F( ，0) ，准线为 x 设点 P 在抛物线2 2准线上的投影为点 M由抛物线的定义知 | PF| PM|，又 |PF|4 ，所以 xP3 ，代入2 2抛物线方程求得| yP|2 ，所以 SPOF |OF|yP|2 612 312抛物线 x22py (p0)的焦
19、点为 F，其准线与双曲线 1 相交于 A，B 两点，x23 y23若ABF 为等边三角形，则 p_解析：如图，在正三角形 ABF 中，DF p，BD p，所以 B 点坐标为 又点 B33 ( 33p， p2)在双曲线上，故 1，解得 p613p23p243答案：613设 P 是抛物线 y24x 上的一个动点， F 为抛物线的焦点(1)若点 P 到直线 x1 的距离为 d，A(1，1) ，求| PA| d 的最小值；(2)若 B(3，2)，求|PB| PF|的最小值解：(1)依题意，抛物线的焦点为 F(1，0) ，准线方程为 x1由抛物线的定义，知|PF|d ，于是问题转化为求| PA|PF|
20、的最小值如图(1)所示，连接 AF，交抛物线于点P，则| PA|d 的最小值为 22 12 5(2)把点 B 的横坐标代入 y24x 中，得 y2 ，因为 2 2，所以点 B 在抛物线内3 3部自点 B 作 BQ 垂直准线于点 Q，交抛物线于点 P1(如图(2)所示) 由抛物线的定义，知|P1Q| P1F|，则| PB|PF| P1B|P 1Q|BQ|314 即|PB| |PF|的最小值为 414(选做题)如图，已知抛物线 y22px (p0)的焦点为 F，A 是抛物线上横坐标为 4，且位于 x 轴上方的点，点 A 到抛物线准线的距离等于 5，过点 A 作 AB 垂直于 y 轴，垂足为点 B，OB 的中点为 M(1)求抛物线的方程；(2)过点 M 作 MNFA，垂足为 N，求点 N 的坐标解：(1)抛物线 y22px 的准线方程为 x ，p2于是 4 5，p2，所以抛物线的方程为 y24xp2(2)由题意得 A(4，4)，B(0 ，4) ，M(0，2) 又 F(1，0) ，所以 kAF ，43则 FA 的方程为 y (x1)43因为 MNFA，所以 kMN ，34则 MN 的方程为 y x234解方程组 得y 34x 2，y 43（x 1），) x 85，y 45，)所以 N (85，45)
