1、232 双曲线的简单几何性质1了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴、虚轴等) 2理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程 3掌握标准方程中 a，b，c 及离心率 e 间的关系 4了解直线与双曲线相交的相关问题1双曲线的几何性质标准方程 1(a0，b0)x2a2 y2b2 1( a0，b0)y2a2 x2b2图形焦点 F1(c，0)，F 2(c，0) F1(0，c) ，F 2(0，c)焦距 |F1F2|2c范围xa 或 xa，yRya 或 ya，xR对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点 A1(a，0)，A 2(a，0) A1(0，a) ，A 2(0，a)轴实轴：线段 A1
2、A2，长：2a；虚轴：线段 B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b离心率 e (1，)ca性质渐近线 y xbay xab(1)已知双曲线方程为 1( a0，b0)，可知双曲线的渐近线方程：令 1 为 0 可x2a2 y2b2得 0 y x，这样便于记忆x2a2 y2b2 ba(2)双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交(3)与双曲线 1(a0， b0)有共同渐近线的双曲线的方程可表示为x2a2 y2b2 ( 0)x2a2 y2b22等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是 yx，离心率为 e 2判断(正确的打“” ，错误的打 “”)(1)共渐近线的双曲线的离心率相同
3、( )(2)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率 e ( )2(3)椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同( )(4)双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点( )答案：(1) (2) (3) (4)双曲线 1 的渐近线方程为( )x216 y29A3x4y0 B4x3y0C9x16 y0 D 16x9y0答案：A中心在原点，实轴长为 10，虚轴长为 6 的双曲线的标准方程是( )A 1x225 y29B 1 或 1x225 y29 y225 x29C 1x2100 y236D 1 或 1x2100 y236 y2100 x236答案：B双曲线 1 的焦点坐标为_，离心率为_x216
4、 y233答案：(7，0) 74探究点 1 双曲线的几何性质求双曲线 9y24x 236 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程【解】 将 9y24x 236 化为标准方程 1，x29 y24即 1，x232 y222所以 a3，b2，c 13因此顶点为 A1(3，0) ，A 2(3，0)，焦点为 F1( ，0)，F 2( ，0) ，13 13实轴长 2a6，虚轴长 2b4，离心率 e ，ca 133渐近线方程为 y x xba 23(1)由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤(2)求双曲线的离心率，归纳起来有两种方法：由条件寻找 a，b，c 所满足的关系，用公式 e 求解依
5、据条件列出ca 1 (ba)2 含有 a，c 的齐次方程，利用 e 转化为含 e 或 e2的方程，解方程即可，注意依据 e1 对ca所得解进行取舍 双曲线 2x2y 28 的实轴长是( )A2 B2 2C4 D 4 2解析：选 C双曲线方程可变形为 1，所以 a24，a2，从而 2a4，故选x24 y28C探究点 2 由双曲线的几何性质求标准方程根据以下条件，求双曲线的标准方程(1)过点 P(3， )，离心率为 ；5 2(2)与椭圆 1 有公共焦点，且离心率 e ；x29 y24 52(3)与双曲线 1 有共同渐近线，且过点(3，2 )x29 y216 3【解】 (1)由 e ，知 c a，c
6、a 2 2因此 ab即所求双曲线为等轴双曲线，设其方程为x2y 2( 0) ，又 P(3， )在双曲线上，5所以 9( )2，5即 4因此双曲线的标准方程为 1x24 y24(2)由椭圆标准方程知 c2945，所以双曲线的焦点为 F1( ，0)，F 2( ，0) ，5 5设双曲线的标准方程为 1(a0，b0) x2a2 y2b2由 e ，且 c 知 a 2，ca 52 5所以 b2c 2a 21所以双曲线的标准方程为 y 21x24(3)设所求双曲线方程为 (0)x29 y216将点(3，2 )代入得 ，314所以双曲线方程为 ，即 1x29 y216 14 x294 y24(1)求双曲线的标
7、准方程的方法解决此类问题的常用方法是先定型(焦点在哪个轴上) ，再定量 (确定 a2，b 2的值)要特别注意 a2b 2c 2的应用，并注意不要与椭圆中的关系相混淆如果已知双曲线的方程为标准式，但不知焦点所处的位置，也可把双曲线方程设为mx2ny 21(m，n 同号)，然后由条件求 m，n(2)共渐近线的双曲线标准方程的求法与双曲线 1 具有共同渐近线的双曲线的标准方程可设为 ( 0)，然x2a2 y2b2 x2a2 y2b2后再结合其他条件求出 的值即可得到双曲线方程 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在 x 轴上，虚轴长为 8，离心率为 ；53(2)过点(2 ，0)，与双曲线 1
8、 离心率相等；y264 x216(3)以直线 2x3y0 为渐近线，过点 (1，2) 解：(1)设所求双曲线的标准方程为 1( a0，b0) ，由题意知x2a2 y2b22b8，e ，从而 b4，c a，代入 c2a 2b 2，得 a29，故双曲线的标准方程为ca 53 53 1x29 y216(2)当所求双曲线的焦点在 x 轴上时，可设其方程为 (0)，将点(2，0) 的坐标x264 y216代入方程得 ，故所求双曲线的标准方程为 y 2 1；116 x24当所求双曲线的焦点在 y 轴上时，可设其方程为 ( 0)，将点(2，0)的坐标代y264 x216入方程得 0)x2m y2n由题意，得
9、1m 4n 1，nm 49，)解得 m 8，n 329.)因此所求双曲线的标准方程为 1y2329 x28探究点 3 直线与双曲线的位置关系已知直线 ykx 与双曲线 4x2y 216当 k 为何值时，直线与双曲线：(1)有两个公共点；(2) 有一个公共点；(3) 没有公共点【解】 由 消去 y，y kx4x2 y2 16)得(4k 2)x216 0(*)当 4k 20，即 k2 时，方程 (*)无解当 4k 20 时， 4(4k 2)(16)64(4k 2)，当 0，即22 时，方程(*) 无解；当 0 ，且 4 k20 时，不存在这样的 k 值综上所述，(1)当20，所以直线 AB 的方程
10、为 yx 1(2)由 y x 1，2x2 y2 2，)消去 y 得 x22x 30，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x1x 22，x 1x23，所以|AB| 4 ，O 到 AB 的距离为 d 2（x1 x2）2 4x1x2 2 4 12 212 22所以 SAOB |AB|d 4 212 12 2 221设 M 为双曲线 C： 1(a0，b0) 右支上一点， A，F 分别为双曲线的左顶x2a2 y2b2点和右焦点，且MAF 为等边三角形，则双曲线的离心率为( )A 1 B25C4 D 6解析：选 C设双曲线的左焦点为 F，因为MAF 为等边三角形，所以|MF| AF|a c，
11、从而|MF |3ac，在MFF中，由余弦定理可得(3ac) 2( ac)24c 222c(ac )cos 60，解得 e4 或 e1(舍去) 故选 C2已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 倍，且一个顶点的坐标为(0 ，2)，2则双曲线的标准方程为( )A 1 B 1x24 y24 y24 x24C 1 D 1y24 x28 x28 y24解析：选 B由题意，得 解得 a2，b2易知双曲线的焦点在a 2，2a 2b 22c，a2 b2 c2， )y 轴上，所以双曲线的标准方程为 1y24 x243已知双曲线 1 的离心率 e(1 ，2)，则 m 的取值范围是( )x24 y2mA(12，
12、0) B(，0)C(3，0) D (60，12)解析：选 A因为双曲线 1 的实半轴长 a2，x24 y2m虚半轴长为 ，c 为半焦距， m 4 m所以离心率 e ，4 m2又因为 e(1 ，2)，所以 10，b0)x2a2 y2b2因为 e 2，所以 a2所以 b2c 2a 212ca所以双曲线 C 的标准方程为 1x24 y212(2)由(1)，知双曲线的渐近线方程为 0，x24 y212即 y x3知识结构 深化拓展1离心率对双曲线开口大小的影响以双曲线 1(a0，b0)为例x2a2 y2b2e ，故 的值越大，渐近线 y x 的斜ca a2 b2a 1 b2a2 ba ba率越大，双曲
13、线的开口越大，e 也越大，所以 e 反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大2双曲线的几何性质主要包括“六点”实轴端点、虚轴端点、焦点；“四线”对称轴、渐近线；“两比率”离心率、渐近线的斜率双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、离心率只与双曲线的形状和大小有关，而与双曲线的位置无关学生用书 P115(单独成册)A 基础达标1若双曲线 1( a0) 的离心率为 2，则 a 等于( )x2a2 y23A2 B 3C D 132解析：选 Dc 2a 23，e 2 4，所以 a21，又因为 a0，所以 a1c2a2 a2 3a22已知双曲线 C： 1(a0，b0)的离心率 e ，且其右焦点
14、 F2 的坐标为x2a2 y2b2 54(5，0)，则双曲线 C 的方程为 ( )A 1 B 1x24 y23 x216 y29C 1 D 1x29 y216 x23 y24解析：选 B依题意得 e ，又 c5，故 a4，所以 b3，所以双曲线 C 的方程ca 54为 1，故选 Bx216 y293已知 ab0，椭圆 C1 的方程为 1，双曲线 C2 的方程为 1，C 1 与x2a2 y2b2 x2a2 y2b2C2 的离心率之积为 ，则 C2 的渐近线方程为( )32Ax y0 B xy02 2Cx2y0 D 2xy0解析：选 A依题意得 ，化简得 a22b 2a2 b2a a2 b2a 3
15、2因此 C2的渐近线方程为 y x x，即 x y0，故选 Aba 12 24若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则它的离心率为( )A B43 53C2 D 3解析：选 B不妨设双曲线的标准方程为 1(a0，b0)，则x2a2 y2b222b2a2c ，即 b 又 b2c 2a 2，则 c 2a 2，所以 3c22ac5a 20，a c2 (a c2 )2即 3e22e50，注意到 e 1，得 e 故选 B535如图，双曲线 C： 1 的左焦点为 F1，双曲线上的点 P1 与 P2 关于 y 轴对称，x29 y210则|P 2F1| P1F1|的值是( )A3 B4C6 D 8解析：选
16、 C设 F2为右焦点，连接 P2F2(图略)，由双曲线的对称性，知|P1F1| |P2F2|，所以 |P2F1|P 1F1| P2F1| P2F2|23 66中心在原点，实轴在 x 轴上，一个焦点为直线 3x4y120 与坐标轴的交点的等轴双曲线方程是_解析：由双曲线的实轴在 x 轴上知其焦点在 x 轴上，直线 3x4y120 与 x 轴的交点坐标为( 4，0)，故双曲线的一个焦点为(4，0) ，即 c4设等轴双曲线方程为x2y 2a 2，则 c22a 216，解得 a28，所以双曲线方程为 x2y 28答案：x 2y 287(2018宿州高二检测)设 F1 和 F2 为双曲线 1( a0，b
17、0)的两个焦点，若x2a2 y2b2F1，F 2，P (0，2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为_解析：由题设条件可得， ，所以 ，所以 ，所以 4，所以2bc 3 b2c2 34 c2 a2c2 34 c2a2e2答案：28过双曲线的右焦点 F2 作垂直于实轴的弦 PQ，F 1 为左焦点，且PF 1Q ，则双曲2线的离心率是_解析：设双曲线方程为 1(a0，b0) ，焦距为 2c，则| PQ| ，由题意易x2a2 y2b2 2b2a知PF 1F2是等腰直角三角形，所以 2c ，所以 2ac c2a 2，所以 2 10，即b2a c2a2 cae22e10，所以 e1 又因为 e1，
18、所以 e1 2 2答案：1 29求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)两顶点间的距离是 6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分；(2)渐近线方程为 2x3y0，且两顶点间的距离是 6解：(1)由两顶点间的距离是 6，得 2a6，即 a3由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得 2c4a12，即 c6，于是有b2c 2a 26 23 227由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为 1 或 1x29 y227 y29 x227(2)设双曲线方程为 4x29y 2 (0)，即 1(0)，由题意得 a3x24y29当 0 时， 9， 36，双曲线方程为 1；4 x29 y24当 0 时，
19、9，81，双曲线方程为 1 9 y29 x2814故所求双曲线的标准方程为 1 或 1x29 y24 y29 x281410过双曲线 C： 1(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交 Cx2a2 y2b2于点 P若点 P 的横坐标为 2a，求双曲线 C 的离心率解：如图所示，不妨设与渐近线平行的直线 l 的斜率为 ，又直线 l 过右焦点 F(c，0)，ba则直线 l 的方程为 y (xc) 因为点 P 的横坐标为 2a，代入双曲线方程得 1，ba 4a2a2 y2b2化简得 y b 或 y b(点 P 在 x 轴下方，故舍去)，故点 P 的坐标为(2 a， b)，代3 3 3入直线
20、方程得 b (2ac)，化简可得离心率 e 2 3ba ca 3B 能力提升11已知双曲线 C： 1(a0，b0)的离心率为 ，则 C 的渐近线方程为( )x2a2 y2b2 52Ay x By x14 13Cy x D yx12解析：选 C由题意知 ，即 ，ca 52 54 c2a2 a2 b2a2所以 ，b2a2 14所以 ba 12所以 C 的渐近线方程为 y x1212已知双曲线 x2y 21 和斜率为 的直线 l 交于 A，B 两点，当 l 变化时，线段 AB12的中点 M 的坐标(x ，y )满足的方程是_解析：设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 两式相减，得( x1
21、x 2)(x1x 2)( y1y 2)(y1y 2)因为 x x 0，M 的坐标为(x，y)，所以 ，又直线 l 的斜率为 ，所以21 22x2y y1 y2x1 x2 12 ，即 y2x xy 12答案：y2x13已知双曲线 E： 1x2m y25(1)若 m4，求双曲线 E 的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；(2)若双曲线 E 的离心率为 e ，求实数 m 的取值范围(62，2)解：(1)m4 时，双曲线方程化为 1，所以 a2，b ，c3，x24 y25 5所以焦点坐标为(3，0)，(3，0) ，顶点坐标为(2，0)，(2，0)，渐近线方程为 yx52(2)因为 e2 1 ，c2a2 m
22、 5m 5me ，所以 1 2，解得 5m10，(62，2) 32 5m所以实数 m 的取值范围是(5，10)14(选做题) 已知双曲线 C1： x2 1y24(1)求与双曲线 C1 有相同的焦点，且过点 P(4， )的双曲线 C2 的标准方程；3(2)直线 l：yx m 分别交双曲线 C1 的两条渐近线于 A， B 两点当 3 时，求OA OB 实数 m 的值解：(1)双曲线 C1的焦点坐标为( ，0)，( ，0) ，5 5设双曲线 C2的标准方程为 1(a0，b0)，x2a2 y2b2则 解得a2 b2 5，16a2 3b2 1，) a2 4，b2 1，)所以双曲线 C2的标准方程为 y 21x24(2)双曲线 C1的渐近线方程为 y2x ，y2x，设 A(x1，2x 1)，B(x 2，2x 2)由 消去 y 化简得 3x22mx m 20，x2 y24 0，y x m，)由 (2m) 2 43(m 2)16m 20，得 m0因为 x1x2 ， x 1x2(2x 1)(2x 2)3x 1x2，所以 m23，即 m m23 OA OB 3
