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2019人教A版数学选修2-1学案(含解析):2.3.2 双曲线的简单几何性质

1、232 双曲线的简单几何性质1了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴、虚轴等) 2理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程 3掌握标准方程中 a,b,c 及离心率 e 间的关系 4了解直线与双曲线相交的相关问题1双曲线的几何性质标准方程 1(a0,b0)x2a2 y2b2 1( a0,b0)y2a2 x2b2图形焦点 F1(c,0),F 2(c,0) F1(0,c) ,F 2(0,c)焦距 |F1F2|2c范围xa 或 xa,yRya 或 ya,xR对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点 A1(a,0),A 2(a,0) A1(0,a) ,A 2(0,a)轴实轴:线段 A1

2、A2,长:2a;虚轴:线段 B1B2,长:2b,实半轴长:a,虚半轴长:b离心率 e (1,)ca性质渐近线 y xbay xab(1)已知双曲线方程为 1( a0,b0),可知双曲线的渐近线方程:令 1 为 0 可x2a2 y2b2得 0 y x,这样便于记忆x2a2 y2b2 ba(2)双曲线与它的渐近线无限接近,但永不相交(3)与双曲线 1(a0, b0)有共同渐近线的双曲线的方程可表示为x2a2 y2b2 ( 0)x2a2 y2b22等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线,它的渐近线是 yx,离心率为 e 2判断(正确的打“” ,错误的打 “”)(1)共渐近线的双曲线的离心率相同

3、( )(2)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率 e ( )2(3)椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同( )(4)双曲线有四个顶点,分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点( )答案:(1) (2) (3) (4)双曲线 1 的渐近线方程为( )x216 y29A3x4y0 B4x3y0C9x16 y0 D 16x9y0答案:A中心在原点,实轴长为 10,虚轴长为 6 的双曲线的标准方程是( )A 1x225 y29B 1 或 1x225 y29 y225 x29C 1x2100 y236D 1 或 1x2100 y236 y2100 x236答案:B双曲线 1 的焦点坐标为_,离心率为_x216

4、 y233答案:(7,0) 74探究点 1 双曲线的几何性质求双曲线 9y24x 236 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程【解】 将 9y24x 236 化为标准方程 1,x29 y24即 1,x232 y222所以 a3,b2,c 13因此顶点为 A1(3,0) ,A 2(3,0),焦点为 F1( ,0),F 2( ,0) ,13 13实轴长 2a6,虚轴长 2b4,离心率 e ,ca 133渐近线方程为 y x xba 23(1)由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤(2)求双曲线的离心率,归纳起来有两种方法:由条件寻找 a,b,c 所满足的关系,用公式 e 求解依

5、据条件列出ca 1 (ba)2 含有 a,c 的齐次方程,利用 e 转化为含 e 或 e2的方程,解方程即可,注意依据 e1 对ca所得解进行取舍 双曲线 2x2y 28 的实轴长是( )A2 B2 2C4 D 4 2解析:选 C双曲线方程可变形为 1,所以 a24,a2,从而 2a4,故选x24 y28C探究点 2 由双曲线的几何性质求标准方程根据以下条件,求双曲线的标准方程(1)过点 P(3, ),离心率为 ;5 2(2)与椭圆 1 有公共焦点,且离心率 e ;x29 y24 52(3)与双曲线 1 有共同渐近线,且过点(3,2 )x29 y216 3【解】 (1)由 e ,知 c a,c

6、a 2 2因此 ab即所求双曲线为等轴双曲线,设其方程为x2y 2( 0) ,又 P(3, )在双曲线上,5所以 9( )2,5即 4因此双曲线的标准方程为 1x24 y24(2)由椭圆标准方程知 c2945,所以双曲线的焦点为 F1( ,0),F 2( ,0) ,5 5设双曲线的标准方程为 1(a0,b0) x2a2 y2b2由 e ,且 c 知 a 2,ca 52 5所以 b2c 2a 21所以双曲线的标准方程为 y 21x24(3)设所求双曲线方程为 (0)x29 y216将点(3,2 )代入得 ,314所以双曲线方程为 ,即 1x29 y216 14 x294 y24(1)求双曲线的标

7、准方程的方法解决此类问题的常用方法是先定型(焦点在哪个轴上) ,再定量 (确定 a2,b 2的值)要特别注意 a2b 2c 2的应用,并注意不要与椭圆中的关系相混淆如果已知双曲线的方程为标准式,但不知焦点所处的位置,也可把双曲线方程设为mx2ny 21(m,n 同号),然后由条件求 m,n(2)共渐近线的双曲线标准方程的求法与双曲线 1 具有共同渐近线的双曲线的标准方程可设为 ( 0),然x2a2 y2b2 x2a2 y2b2后再结合其他条件求出 的值即可得到双曲线方程 求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点在 x 轴上,虚轴长为 8,离心率为 ;53(2)过点(2 ,0),与双曲线 1

8、 离心率相等;y264 x216(3)以直线 2x3y0 为渐近线,过点 (1,2) 解:(1)设所求双曲线的标准方程为 1( a0,b0) ,由题意知x2a2 y2b22b8,e ,从而 b4,c a,代入 c2a 2b 2,得 a29,故双曲线的标准方程为ca 53 53 1x29 y216(2)当所求双曲线的焦点在 x 轴上时,可设其方程为 (0),将点(2,0) 的坐标x264 y216代入方程得 ,故所求双曲线的标准方程为 y 2 1;116 x24当所求双曲线的焦点在 y 轴上时,可设其方程为 ( 0),将点(2,0)的坐标代y264 x216入方程得 0)x2m y2n由题意,得

9、1m 4n 1,nm 49,)解得 m 8,n 329.)因此所求双曲线的标准方程为 1y2329 x28探究点 3 直线与双曲线的位置关系已知直线 ykx 与双曲线 4x2y 216当 k 为何值时,直线与双曲线:(1)有两个公共点;(2) 有一个公共点;(3) 没有公共点【解】 由 消去 y,y kx4x2 y2 16)得(4k 2)x216 0(*)当 4k 20,即 k2 时,方程 (*)无解当 4k 20 时, 4(4k 2)(16)64(4k 2),当 0,即22 时,方程(*) 无解;当 0 ,且 4 k20 时,不存在这样的 k 值综上所述,(1)当20,所以直线 AB 的方程

10、为 yx 1(2)由 y x 1,2x2 y2 2,)消去 y 得 x22x 30,设 A(x1,y 1),B(x 2,y 2),则 x1x 22,x 1x23,所以|AB| 4 ,O 到 AB 的距离为 d 2(x1 x2)2 4x1x2 2 4 12 212 22所以 SAOB |AB|d 4 212 12 2 221设 M 为双曲线 C: 1(a0,b0) 右支上一点, A,F 分别为双曲线的左顶x2a2 y2b2点和右焦点,且MAF 为等边三角形,则双曲线的离心率为( )A 1 B25C4 D 6解析:选 C设双曲线的左焦点为 F,因为MAF 为等边三角形,所以|MF| AF|a c,

11、从而|MF |3ac,在MFF中,由余弦定理可得(3ac) 2( ac)24c 222c(ac )cos 60,解得 e4 或 e1(舍去) 故选 C2已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 倍,且一个顶点的坐标为(0 ,2),2则双曲线的标准方程为( )A 1 B 1x24 y24 y24 x24C 1 D 1y24 x28 x28 y24解析:选 B由题意,得 解得 a2,b2易知双曲线的焦点在a 2,2a 2b 22c,a2 b2 c2, )y 轴上,所以双曲线的标准方程为 1y24 x243已知双曲线 1 的离心率 e(1 ,2),则 m 的取值范围是( )x24 y2mA(12,

12、0) B(,0)C(3,0) D (60,12)解析:选 A因为双曲线 1 的实半轴长 a2,x24 y2m虚半轴长为 ,c 为半焦距, m 4 m所以离心率 e ,4 m2又因为 e(1 ,2),所以 10,b0)x2a2 y2b2因为 e 2,所以 a2所以 b2c 2a 212ca所以双曲线 C 的标准方程为 1x24 y212(2)由(1),知双曲线的渐近线方程为 0,x24 y212即 y x3知识结构 深化拓展1离心率对双曲线开口大小的影响以双曲线 1(a0,b0)为例x2a2 y2b2e ,故 的值越大,渐近线 y x 的斜ca a2 b2a 1 b2a2 ba ba率越大,双曲

13、线的开口越大,e 也越大,所以 e 反映了双曲线开口的大小,即双曲线的离心率越大,它的开口就越大2双曲线的几何性质主要包括“六点”实轴端点、虚轴端点、焦点;“四线”对称轴、渐近线;“两比率”离心率、渐近线的斜率双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、离心率只与双曲线的形状和大小有关,而与双曲线的位置无关学生用书 P115(单独成册)A 基础达标1若双曲线 1( a0) 的离心率为 2,则 a 等于( )x2a2 y23A2 B 3C D 132解析:选 Dc 2a 23,e 2 4,所以 a21,又因为 a0,所以 a1c2a2 a2 3a22已知双曲线 C: 1(a0,b0)的离心率 e ,且其右焦点

14、 F2 的坐标为x2a2 y2b2 54(5,0),则双曲线 C 的方程为 ( )A 1 B 1x24 y23 x216 y29C 1 D 1x29 y216 x23 y24解析:选 B依题意得 e ,又 c5,故 a4,所以 b3,所以双曲线 C 的方程ca 54为 1,故选 Bx216 y293已知 ab0,椭圆 C1 的方程为 1,双曲线 C2 的方程为 1,C 1 与x2a2 y2b2 x2a2 y2b2C2 的离心率之积为 ,则 C2 的渐近线方程为( )32Ax y0 B xy02 2Cx2y0 D 2xy0解析:选 A依题意得 ,化简得 a22b 2a2 b2a a2 b2a 3

15、2因此 C2的渐近线方程为 y x x,即 x y0,故选 Aba 12 24若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,则它的离心率为( )A B43 53C2 D 3解析:选 B不妨设双曲线的标准方程为 1(a0,b0),则x2a2 y2b222b2a2c ,即 b 又 b2c 2a 2,则 c 2a 2,所以 3c22ac5a 20,a c2 (a c2 )2即 3e22e50,注意到 e 1,得 e 故选 B535如图,双曲线 C: 1 的左焦点为 F1,双曲线上的点 P1 与 P2 关于 y 轴对称,x29 y210则|P 2F1| P1F1|的值是( )A3 B4C6 D 8解析:选

16、 C设 F2为右焦点,连接 P2F2(图略),由双曲线的对称性,知|P1F1| |P2F2|,所以 |P2F1|P 1F1| P2F1| P2F2|23 66中心在原点,实轴在 x 轴上,一个焦点为直线 3x4y120 与坐标轴的交点的等轴双曲线方程是_解析:由双曲线的实轴在 x 轴上知其焦点在 x 轴上,直线 3x4y120 与 x 轴的交点坐标为( 4,0),故双曲线的一个焦点为(4,0) ,即 c4设等轴双曲线方程为x2y 2a 2,则 c22a 216,解得 a28,所以双曲线方程为 x2y 28答案:x 2y 287(2018宿州高二检测)设 F1 和 F2 为双曲线 1( a0,b

17、0)的两个焦点,若x2a2 y2b2F1,F 2,P (0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为_解析:由题设条件可得, ,所以 ,所以 ,所以 4,所以2bc 3 b2c2 34 c2 a2c2 34 c2a2e2答案:28过双曲线的右焦点 F2 作垂直于实轴的弦 PQ,F 1 为左焦点,且PF 1Q ,则双曲2线的离心率是_解析:设双曲线方程为 1(a0,b0) ,焦距为 2c,则| PQ| ,由题意易x2a2 y2b2 2b2a知PF 1F2是等腰直角三角形,所以 2c ,所以 2ac c2a 2,所以 2 10,即b2a c2a2 cae22e10,所以 e1 又因为 e1,

18、所以 e1 2 2答案:1 29求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)两顶点间的距离是 6,两焦点所连线段被两顶点和中心四等分;(2)渐近线方程为 2x3y0,且两顶点间的距离是 6解:(1)由两顶点间的距离是 6,得 2a6,即 a3由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得 2c4a12,即 c6,于是有b2c 2a 26 23 227由于焦点所在的坐标轴不确定,故所求双曲线的标准方程为 1 或 1x29 y227 y29 x227(2)设双曲线方程为 4x29y 2 (0),即 1(0),由题意得 a3x24y29当 0 时, 9, 36,双曲线方程为 1;4 x29 y24当 0 时,

19、9,81,双曲线方程为 1 9 y29 x2814故所求双曲线的标准方程为 1 或 1x29 y24 y29 x281410过双曲线 C: 1(a0,b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交 Cx2a2 y2b2于点 P若点 P 的横坐标为 2a,求双曲线 C 的离心率解:如图所示,不妨设与渐近线平行的直线 l 的斜率为 ,又直线 l 过右焦点 F(c,0),ba则直线 l 的方程为 y (xc) 因为点 P 的横坐标为 2a,代入双曲线方程得 1,ba 4a2a2 y2b2化简得 y b 或 y b(点 P 在 x 轴下方,故舍去),故点 P 的坐标为(2 a, b),代3 3 3入直线

20、方程得 b (2ac),化简可得离心率 e 2 3ba ca 3B 能力提升11已知双曲线 C: 1(a0,b0)的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为( )x2a2 y2b2 52Ay x By x14 13Cy x D yx12解析:选 C由题意知 ,即 ,ca 52 54 c2a2 a2 b2a2所以 ,b2a2 14所以 ba 12所以 C 的渐近线方程为 y x1212已知双曲线 x2y 21 和斜率为 的直线 l 交于 A,B 两点,当 l 变化时,线段 AB12的中点 M 的坐标(x ,y )满足的方程是_解析:设 A(x1,y 1),B(x 2,y 2),则 两式相减,得( x1

21、x 2)(x1x 2)( y1y 2)(y1y 2)因为 x x 0,M 的坐标为(x,y),所以 ,又直线 l 的斜率为 ,所以21 22x2y y1 y2x1 x2 12 ,即 y2x xy 12答案:y2x13已知双曲线 E: 1x2m y25(1)若 m4,求双曲线 E 的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程;(2)若双曲线 E 的离心率为 e ,求实数 m 的取值范围(62,2)解:(1)m4 时,双曲线方程化为 1,所以 a2,b ,c3,x24 y25 5所以焦点坐标为(3,0),(3,0) ,顶点坐标为(2,0),(2,0),渐近线方程为 yx52(2)因为 e2 1 ,c2a2 m

22、 5m 5me ,所以 1 2,解得 5m10,(62,2) 32 5m所以实数 m 的取值范围是(5,10)14(选做题) 已知双曲线 C1: x2 1y24(1)求与双曲线 C1 有相同的焦点,且过点 P(4, )的双曲线 C2 的标准方程;3(2)直线 l:yx m 分别交双曲线 C1 的两条渐近线于 A, B 两点当 3 时,求OA OB 实数 m 的值解:(1)双曲线 C1的焦点坐标为( ,0),( ,0) ,5 5设双曲线 C2的标准方程为 1(a0,b0),x2a2 y2b2则 解得a2 b2 5,16a2 3b2 1,) a2 4,b2 1,)所以双曲线 C2的标准方程为 y 21x24(2)双曲线 C1的渐近线方程为 y2x ,y2x,设 A(x1,2x 1),B(x 2,2x 2)由 消去 y 化简得 3x22mx m 20,x2 y24 0,y x m,)由 (2m) 2 43(m 2)16m 20,得 m0因为 x1x2 , x 1x2(2x 1)(2x 2)3x 1x2,所以 m23,即 m m23 OA OB 3