高斯小学奥数五年级

1、个数应该是 123 从这个例子可以看出， 一个数的大小由数位和数位上的数字共同决定， 一个数字在不同 的数位上表示不同的大小： 个位上的数字代表几个 1； 十位上的数字代表几个 10； 百位上的数字代表几个 100； 那么可以利用这种办法将一个多位数拆开，例如1231 1002 103 1 ，这个结论被 称为位值原理有的时候，为了分析问题方便，我们并不将多位数逐位展开，而是采用整体 展开的办法，如2345623 100045 106，我们将在后面的例题中看到这些方法的具 体应用 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 1 一个两位数等于它的数字和的 6 倍，求这个两位数 练习 1 一个两位数等于它的数字和的 7 倍，这个两位。

2、择其中的某一类即可以满足要求， 类与类之 间可以相互替代 乘法原理强调的是分步分步，每一步只是整个事情的一部分，必须全部完成才能满足结论， 缺一不可在乘法原理中，步骤顺序的安排往往非常重要 排列与组合： 排列的计算公式由乘法原理推导而来， 组合的计算公式由排列公式推导而 来 从 n 个不同的元素中取出 m 个（m n ） ，并按照一定的顺序排成一列，其方法数叫做 从 n 个不同元素中取出 m 个的排列数，记作 m n A ! 121 ! m n n Annnnm nm 从 n 个不同元素中取出 m 个（mn）作为一组（不计顺序） ，可选择的方法数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个的组合数，记作 m n C 121 !121 m mn n nnnnmA C mmmm 在运用排列组合时，有特殊要求的我们往往优先考虑，有时还会用到“捆绑法”和“插空 法”. 我们今天主要来学习计数中的分类思想，以及正面分类和反面排除的合理选择 分类讨论是一种重要的数学思想方法，。

3、中，只有能整除和不能整除两种情况当不 能整除时，就会产生余数 一般地，如果 a 是整数，b 是整数（b0）,若有 ab=qr（也就是abqr）, 0 rb； 当0r 时，我们称 a 能被 b 整除； 当0r 时，我们称 a 不能被 b 整除，r 为 a 除以 b 的余数，q 为 a 除以 b 的商 余数问题和整除问题是有密切关系的， 因为只要我们去掉余数， 就能和整除问题联系在 一起了余数有如下一些重要性质 基本性质基本性质：被除数：被除数= =除数商（当余数大于除数商（当余数大于 0 0 时也可称为不完全商）时也可称为不完全商）+ +余数余数 除数=（被除数-余数）商； 商=（被除数-余数）除数 余数小于除数 理解这条性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够 被除数整除了在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较 熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 。

4、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 1 一个水池有若干相同的进水管和若干相同的排水管，如果单独打开一个进水管，那么 24 小 时可以将空水池灌满；如果单独打开一个排水管，那么 36 小时可以将满池的水排光请根 据题意，回答下列问题： （1）同时打开 2 个进水管，多少小时可以将空水池灌满？ （2）同时打开 3 个进水管和 1 个排水管，多长时间可以将空水池灌满？ （3）同时打开 1 个进水管和 2 个排水管，多长时间可以将满池的水排光？ 分析：就像课文中所说，排水管就相当一个“帮倒忙”的工程队，那么在计算效率的时候， 就需要将排水管的效率减掉但注意，如果整个工作要求的是排水，那么进水管反而变成了 “帮倒忙” ，那就计算效率时，就用排水管的效率减去进水管效率 练习 1 一个水池有若干相同的进水管和若干相同的排水管，如果单。

5、通常我们都有这样的体会，当我们往白水中加入更多的糖时，糖水就会越来越甜为了 表征糖水的甜度并且量化这种表征，我们引入浓度这一概念也就是浓度越大，糖水就越 甜想一想我们可以怎样定义浓度呢？ 浓度浓度就是溶质重量与溶液重量的比值，通常用百分数表示，即： 100%100% 溶质重量溶质重量 浓度 溶液重量溶质重量溶剂重量 与溶液浓度有关的应用题叫做浓度问题 为了计算溶液的浓度我们常常可以利用定义来 计算 练一练 1. 小高将 50 克糖放入 200 克水中， 小高得到_克糖水 糖水的浓度是_ 2. 妈妈给卡莉娅准备了一瓶 500 克的果汁，如果其中有 50 克纯果汁，那么果汁的浓度是 _，其中有水_克，水占果汁的百分比是_ 3. 一瓶盐水共有 300 克，如果其中的水有 225 克，那么这瓶盐水中的盐有_克， 那么盐水的浓度是_ 4. 一瓶 40 克的糖水， 浓度是 32%， 那么这瓶糖水中含糖_克， 含水_克 5. 。

6、的内容就是专门数几何图形的 个数可能会有同学觉得这类问题很简单，数数嘛，一个一个数就能数清楚了，而且图都画 好了， 一边看图一边数， 肯定不会数错的 真的是这么简单吗？数图形有没有更好的办法呢？ 学完这一讲后，大家就知道答案了 三角形应该是很简单的几何图形了，我们先从三角形数起吧 例题 1下列图形中各有多少个三角形？ 分析分析对于一般的几何计数问题，最简单也最常用的方法是枚举法，但注意枚举不是漫无 目的的举例，一定要注意按照一定的顺序来枚举，并注意寻找规律那么，本题应该按照怎 样的顺序去枚举呢？ 下图中有多少个三角形？ 例题 2右图中共有多少个三角形？ 练 习 1 1 分析分析对于这道题目，我们也首先想到枚举法应该按照怎样的顺序去枚举呢？你能发现 其中的规律吗？ 练习 2:请数出这个图形中有多少个三角形 下面我们来学习数正方形和长方形，同学们要学会在观察、思考、分析中总结归纳出解 决问题的规律和方法. 例题 3下列图形中，分别有多少个正方形？ 分析分析同上一题，在枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏 围棋棋盘是由 19 条横线和 。

7、现， 这样的速度表示法并没有明确的说明三种针的速度， 所以我们考虑能 不能将各个针的速度统一来表示？以前计算一个人或一个物体的速度，所用的单位总是 /米 秒或/千米 时，很明显，在钟表问题中这样的表示法是不适用的，那我们用什么来表示 时针、分针和秒针的速度呢？ 我们仔细观察钟表，会发现除了表示小时的 12 个大格，在每个大格中还有一些小格， 数一数，每个大格都包含了 5 个小格，那整个钟面上就包含了 60 个小格，于是，利用这个 “格”来表示分针、时针和秒针的速度经过计算，我们容易得出： 时针的速度：5 格/时=格/分； 分针的速度：60 格/时=1 格/分； 秒针的速度：3600 格/时=60 格/分=1 格/秒 知道了速度， 就可以根据以前学过的环形路线问题来分析时针和分针的运动过程， 从而 解决问题 练一练 在下图的钟面上标出时间，并写出分针与时针相差的格数 9:00 10:00 分针在时针后_格 分针在时针后_格 1 12 4:30 12:24 分针在时针后_格 。

8、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题1. 已知“BADBADGOOD”是一个正确的加法算式，其中相同的字母表示相同 的数字， 不同的字母表示不同的数字 已知GOOD不是 8 的倍数， 那么四位数ABGD是 多少？ 分析分析解决数字谜的题目，最关键在于找突破口本题的突破口在哪里？ 练习1. 在算式“路亨路亨刘吉吉”中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表 示不同的数字已知刘吉吉是 8 的倍数，那么四位数亨吉刘路是多少？ 例题 2 从 19 中选出 8 个数字填入下式的各个方框中，使等式成立 952 分析分析从算式来看，是要找出两个两位数的乘积为 952但是把 952 写成两个两位数的乘 积，方法非常多，要从中选出两种满足题目条件还是挺麻烦的。

9、 98986. 计算： 1563)2(;1430)(7. 计算： 9876554328. 将下列分数由小到大排列起来： 231,9,419. 比较下列分数的大小： 79203)(;4091)(与与10. 比较下列分数的大小： 8743210)(;19548)(与与拓展篇1. 计算： ).207()31842613(2. 计算： 315)3152(3. 要使算式 成立，方框内应填入的数是多少？7126) 7.0(4124. 计算： 25187245. 计算： ).136()1369()17()3615()3()61( 6. 计算： ).76123(5)7613(2)513(767. 比较 的大小，并计算它们的差。
204352046与8. 计算： ).957()9)(2;382)1( 9. 比较下列分数的大小： 2897)4(;1635)(;41278)(;197)( 与与与与10. 比较大小：（1）把 3 个数 由小到大排列起来；5931,824（2）把 5 个数 由小到大排列起来；1。

10、始我们的推理之旅吧！ 例题 13 位女神分别说了如下的话 雅典娜（智慧女神） ：“阿佛洛狄忒不是最美的” 阿佛洛狄忒（爱和美的女神） ：“赫拉不是最美的” 赫拉（天后） ：“我是最美的” 只有最美的女神说了真话，请问她是谁？ 分析分析阿佛洛狄忒和赫拉的话是互相矛盾的，据此可以推理出什么呢？ 懒懒和笨笨是两只小猪，一只说真话，一只说假话而且它们一只是公的， 一只是母的懒懒说：“说谎的是母猪”笨笨说：“说谎的不是母猪”请问 懒懒和笨笨谁是母猪？ 例题 2艾趣、艾吕和艾游三姐妹参加了去英国的旅行团回国后，三人向朋友们分享去英 国的经历： 艾趣： “我们去了爱丁堡，没去湖泊区，但参观了北威尔士 ” 艾吕： “我们去了爱丁堡，也去了湖泊区，但没有参观北威尔士 ” 艾游： “我们没有去爱丁堡，但是去了北威尔士 ” 已知每个人都说了一句谎话，那么她们三人到底去了哪些景区？ 分析分析如果要用假设法，先根据谁的话来作假设会更简单一些？ 一位农夫建了一个三角形的鸡窝，三边都是等高的铁丝网这位农夫在笔记 本上做了如下记录： （1）面向仓库那边的铁丝网价钱：10 。

11、5 倍， 甲和乙的苹果数之比是 6:4 我们发现， 比的关系和倍数关系可以如下转化： 由此可见，比的概念与除法的概念密切相关，我们定义：两个数相除又叫做这两个数的两个数相除又叫做这两个数的 比比在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项前项，比号后面的数叫做比的后项后项，比的前项 除以比的后项所得的商叫做比值比值例如： 请你想一想： 比的前项、 后项和比值分别相当于除法算式和分数中的什么？比的后项可 以是 0 吗？与除法和分数一样，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外） ，比值不 变利用这个性质，我们可以像约分一样，将比化简比如 6:4=3:2 像这种表示两个比相等的式子叫做比例（式）要判断两个比是否成比例，就要看它们 的比值是否相等两个比的比值相等，这两个比能组成比例，否则不能组成比例比例有 四个项，分别是两个内项内项和两个外项外项 在 3:4=9:12 中，其中 3 与 12 叫做比例的外项外项， 4 与 9 叫做比例的内项内项比例的四个数均不能为 0在任意一个比例中，两个外项的积等 于两个内项的积即： 如果如果 ab=cd，那么，那么 a&。

12、物不知数” 问题， 也称为中国古余数问题 简 单来说，这类问题就是先知道了除数和余数，反求被除数的问题通常在不同的题目中，余 数限制条件的数量也是不同的，但都是从一个条件入手，逐个条件的去满足 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 1 （1）一个数除以 21 余 17，除以 20 也余 17这个数最小是多少？第二小是多少？ （2）一个数除以 11 余 7，除以 10 余 6这个数最小是多少？第二小是多少？ 分析分析 （1）这个数除以 21 和 20 都余 17，那么减去 17 以后得到的差跟 21 和 20 有什么关 系呢： （2）除以 11 和 10 的余数不一样，所以不能同时减去一个数了反方向考虑一下？ 练习 1 （1）一个自然数除以 4 余 3，除以 5 。

13、示就是 3 4 ，如果将四份都取出，那用分数表示就是 4 4 ，也 就是单位“1”了 1 4 3 4 二、分数的分类及转化二、分数的分类及转化 所有分数可以分成三类：真分数真分数，假分数假分数和带分数带分数 我们把分母比分子大的分数称为真分数真分数，例如： 1 2 、 7 23 、 4 9 、； 把分子比分母大或分子分母相等的分数称为假分数假分数，例如： 32 21 、 7 7 、 23 9 、； 把包含整数部分的分数称为带分数带分数，例如： 5 9 6 、 3 1 7 、 3 10 4 、 注意：注意： （1）在书写分数的时候不要将带分数与假分数混淆起来，即不能出现所谓的“带 假分数”如： 5 2 3 ，正确的写法是 2 3 3 或 11 3 ； （2）带分数都可以写成一个整数与一个真分数相加的形式 假分数转化成带分数假分数转化成带分数： 非常简单，只需做一个带余除法 分母不变，分子除以分母所得整数为带分 数左边整数部分，余数作分子例如：将 52 21 化为带分数，5221210，则 5210 2 2121 有的时候会发现假分数的分子除以分母。

14、计算有了一定的认识， 也学习了很多比较分数大 小的方法今天我们将继续研究一些较复杂的分数比较大小和估算的问题 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 1 现有 7 个数，其中 5 个是3.14、 1 3 7 、116 37 、3.15、 37 3 273 如果按照从小到大排列的第三 个数是 116 37 ，那么位于最中间的数是多少？ 分析分析这是一个比较多个数大小关系的推理题，虽然其中有着两个数未知，但是我们还应 该先比较已知数之间的大小关系，再利用其他条件来推理出题目的结果 练习 1 有 8 个数，0.51、 2 3 、 5 9 、0.51、 24 47 、 13 25 是其中的 6 个如果按从小到大的顺序排列时， 第 4 个数是0.51那么按从大到小排列时，第。

15、数相乘形式的数，我们称之为 质数如果说得形象一点，质数就是“拆不开”的数，合数就是拆得开的数 严格说来，质数就是只能被只能被 1 和自身整除的数和自身整除的数；合数是除了除了 1 和它本身之外，还能被和它本身之外，还能被 其它数整除的数其它数整除的数注意，1 既不是质数也不是合数既不是质数也不是合数 我们先来看一个关于质数的小问题， 提高大家对质数的熟悉程度： 请写出所有颠倒个位 十位之后还是质数的两位质数 _（填写在横线上） 相信对 100 以内的质数比较熟悉的同学， 做这个题目会很轻松 质数是我们后面学习的 基础， 因此同学们一定要牢牢记住常见的质数 请同学们在下面的横线上写出 100 以内的所 有质数： 同学们还可以这样做：从大到小 写出 100 以内的质数如果你能一个不少地写出来，说 明你对 100 以内的质数确实掌握得很牢固了_ 当然， 同学们写出的这些质数只是质数大军中的冰山一角 在 100 以上还有无穷多个质 数，比如接着 100 的就有四个质数：10。

16、独特的，伟大的数学家高斯曾经说过： “数学是科学的皇后，数 论是数学的皇冠” 一、一、 整除的定义整除的定义 如果整数 a 除以整数 b（0b ） ，除得的商是整数且没有余数，我们就说 a 能被 b 整除， 也可以说 b 能整除 a，记作|b a 如果除得的结果有余数，我们就说 a 不能被 b 整除，也可以说 b 不能整除 a 二、二、 整除的一些基本性质：整除的一些基本性质： 1 尾数判断法 （1） 能被 2，5 整除的数的特征：个位数字能被 2 或 5 整除 （2） 能被 4，25 整除的数的特征：末两位能被 4 或 25 整除 （3） 能被 8，125 整除的数的特征：末三位能被 8 或 125 整除 2 数字求和法 能被 3，9 整除的数的特征：各位数字之和能被 3 或 9 整除 3 奇偶位求差法 能被 11 整除的数的特征： “奇位和 ”与“偶位和 ”的差能被 11 整除 我们把一个数从右往左数的第 1、3、5 位，统称为奇数位奇数位，把一个数从右往左数 的第 2、4、6 位，统称为偶数位偶数位我们把“奇数位上。

17、 例题3. 答案：6 详解：利用 7 的整除特性，895930能被 7 整除，只能填 6 例题4. 答案：5 详解：555555、999999 能被 13 整除，前面依次去掉 555555，后面一次去掉 999999 后 仍然是 13 的倍数所以只需要满足13|59就可以了空格中要填 5 例题5. 答案：768768 详解： 形如abcabc一定能被 7 整除， 可以考虑由两个相同的三位数来组成这个六位数， 三位数由 6、7、8 组成又可知这个六位数一定能被 3 整除，所以只要保证后三位能被 8 整除就可以了答案不唯一 例题6. 答案：20999 详解：利用数字谜，从后往前逐位确定 练习1. 答案：6237 简答：两位截断后的和是 99 练习2. 答案：12327678 9 1 3 2 3 7 3 9 2 6 9 9 9 1 3 2 3 3 9 2 6 9 9 9 3 2 3 9 6 9 9 9 2 3 。

18、问题 先来看下面的这个例子， 假设一条地铁线有15 千米长，工程队每个月可以修3千米，同学们肯定马上就能看出，共需要5个月的时间修好整 条地铁 在这个例子中，总长度 15 千米叫做这个工程问题的工作总量工作总量，5 个月即为工作时间工作时间， 而工程队每个月修 3 千米就叫做工作效率工作效率 同学们， 你们能看出来这和我们以前学过的哪一 类应用题很类似吗？没错，就是行程问题！上面的例子很容易转化成这样一个行程问题：两 地相距 15 千米，某人行走的速度为每小时 3 千米，那么从一地走到另一地需要 5 小时 虽然工程问题看起来和行程问题很类似， 但工程问题有它自己独特的解法 在工程问题 中，经常无法从题目中找到工作总量，此时可以把工作总量设为单位“1”例如：一个工 程队 5 天修完一段公路，我们就可以把修这段公路的工作总量设为单位“1”，那么工程队 每天就能修完公路的 1 5 ， 那么每天完成的工作量就是“ 1 5 ”， 而“ 1 5 ”就是这个工程队的工 作效率 所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量 如同速度在行程问题中的核心地位， 工程问题中工作效率、 工作时间。

19、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 1 如图，AD=6，CD=14，三角形 ABE 的面积是 24，求三角形 BEC 的面积 分析分析 ABE BCE SAD SDC ，据此就可以求出BEC 的面积 练习 1 已知三角形 ABC 中，三角形 ABF 的面积是 60，三角形 AFC 的面积是 20，三角形 BFC 的面 积是 56，求三角形 BDF 和三角形 CDF 的面积 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 给出不同边上的。

20、时他们走过的路程和为一个圆周 而如果他们从同一个点出发同向而行， 慢的那个人会在圆 周上的一点被快的那人追上这时他们走过的路程之差是一个圆周 这里要特别说明，在圆周上两点之间的距离是这样定义： 两点间较短一段圆弧的长度如右图，AB 两点间的距离就是 AB 间粗实线的长度 起点 甲 乙 路程和是跑道的周长 相遇时间周长 （甲速乙速） 相向而行 同向而行 起点 甲 乙 路程差是跑道的周长 追及时间周长 （乙速甲速） B A 例题例题1. 黑、 白两只小猫沿着周长为 300 米的湖边跑，黑猫的速度为每秒 5 米，白猫 的速度为每秒 7 米若两只小猫同时从同一 点出发，背向而行，那么多少秒后第 1 次相 遇？如果它们继续不停跑下去， 2 分钟内一共 会相遇多少次？最后一次相遇时距离出发点多远？ 分析分析请同学们在右边的圆上，画出两只猫运动的过程 两只小猫第一次相遇需要多长时间？第二次相遇需要多长 时间？那两分钟之内相遇多少次呢？ 练习练习 1 在 420 米的圆形跑道上，甲、乙两人从同一点出发，背向而行甲的速度是 8 米/ 秒，乙的。