1、第 1 讲 分数计算与比较大小内容概述理解分数的概念，熟练掌握分数四则运算中的通分、约分等技巧，了解分数运算中的一些速算方法；学会比较分数大小的各种方法，包括通分母、通分子、交叉相乘、倒数比较法、间接比较法等等。兴趣篇1. 计算： 2011)2(;3702)1(2. 计算： 4)1523(813. 计算： 1235)41(4. 计算： .3576215475. 计算： 98986. 计算： 1563)2(;1430)(7. 计算： 9876554328. 将下列分数由小到大排列起来： 231,9,419. 比较下列分数的大小： 79203)(;4091)(与与10. 比较下列分数的大小： 87
2、43210)(;19548)(与与拓展篇1. 计算： ).207()31842613(2. 计算： 315)3152(3. 要使算式 成立，方框内应填入的数是多少？7126) 7.0(4124. 计算： 25187245. 计算： ).136()1369()17()3615()3()61( 6. 计算： ).76123(5)7613(2)513(767. 比较 的大小，并计算它们的差。204352046与8. 计算： ).957()9)(2;382)1( 9. 比较下列分数的大小： 2897)4(;1635)(;41278)(;197)( 与与与与10. 比较大小：（1）把 3 个数 由小到大
3、排列起来；5931,824（2）把 5 个数 由小到大排列起来；106,32,917011. 比较下列分数的大小： 2065)2(;56790348)1( 与与12. 比较下列分数的大小： 92)3(;92)(;92)1( 与与与超越篇1. 计算： 193219382. 计算： 633. 计算： ).20151()62814()29163()8142( 4. 计算： 109)8()10354()10243()1032( 5. 已知 试比较 A、B 的大小。2065,2087BA6. 请将,105)2091(,13)20751(,10)2301( CA、B、C 按从大到小的顺序排列起来。7. 计
4、算： )1032910476534253142( ).09(8. 计算： )21019()4321()432()1()321( .09(第 2 讲 整除内容概述掌握整除的概念和基本性质，掌握能被某些特殊数整除的数的特征。通过分析整除特征解决数的补填问题，以及多位数的构成问题等。曲型问题兴趣篇1. 下面有 9 个自然数：14，35，80，152，650，434，4375，9064，24125。在这些自然数中，请问：（1）有哪些数能被 2 整除？哪些能被 4 整除？哪些能被 8 整除？（2）有哪些数能被 5 整除？哪些能被 25 整除？哪些能被 125 整除？2. 有如下 9 个三位数：452，3
5、87，228，975，525，882，715，775，837。这些数中哪些能被 3 整除？哪些能被 9 整除？哪些能同时被 2 和 3 整除？3. 一个三位数 的十位数字未知。请分别根据下列要求找出 “”中合适的取值：4 6（1）如果要求这个三位数能被 3 整除， “”可能等于多少？（2）如果要求这个三位数能被 4 整除， “”可能等于多少？（3）这个三位数有没有可能同时被 3 和 4 整除，如果有可能， “”可能等于多少？4. 新学年开始了，同学们要改穿新的校服。小悦收了 9 位同学的校服费（每人交的钱一样多）交给老师。老师给了小悦一张纸条，上面写着“交来校服费 元” ，其中有一滴墨水，把方
6、格处的238A数字污染得看不清楚了。冬冬看了看，很快就算出了方格处的数字。聪明的读者们，你们能算出这个数字是多少吗？5. 四位数 能同时被 3 和 5 整除，求出所有满足要求的四位数. 926. 四位偶数 能被 11 整除，求出所有满足要求的四位数 467. 多位数 能被 11 整除，满足条件的 n 最小是多少？213个n8一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话，服务人员告诉他，目前只有形如“1234 口 6口 8”的号码可以申请，也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以随意选择，而其余数字不得改动，王经理打算申请一个能同时被 8 和 11 整除的号码请问：他申请的号码可能是多少？9一
7、个各位数字互不相同的四位数能被 9 整除，把它的个位数字去掉后剩下一个三位数，这个三位数能被 4 整除，这个四位数最大是多少？10(1)一个多位数（两位及两位以上） ，它的各位数字互不相同，并且含有数字 0如果它能被 11整除，那么这个多位数最小是多少？(2)一个多位数，它的各位数字之和为 13，如果它能被 11 整除，那么这个多位数最小是多少？拓展篇1判断下面 11 个数的整除性： .407,869325,61,9854,73580,687,3524(1)这些数中，有哪些数能被 4 整除？哪些数能被 8 整除？(2)哪些数能被 25 整除？哪些数能被 125 整除？(3)哪些数能被 3 整除
8、？哪些数能被 9 整除？(4)哪些数能被 11 整除？2. 是一个四位数数学老师说：“我在其中的方框内先后填入 3 个数字，得到 3 个四位数， 173依次能被 9、11、8 整除， ”问：数学老师在方框中先后填入的 3 个数字之和是多少？3. 五位数 能同时被 11 和 25 整除，这个五位数是多少？ 0734牛叔叔给 45 名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上，但是记账的那张纸被香烟烧了两个洞，上面只剩下“ ”，其中方框表示被烧出的洞牛叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都是 867整数元，请问：这 45 名工人的总工资有可能是多少元呢？5六位数 能同时被 9 和 11 整除这个六位数是多
9、少？ 820 6请从 1、2、3、4、5、6、7 这 7 个数字中选出 5 个组成一个五位数，使它是 99 的倍数这个五位数最大是多少？7小悦写了一个两位数 59，冬冬写了一个两位数 89，他们让阿奇写一个一位数放在 59 与 89 之间拼成一个五位数 ，使得这个五位数能被 7 整除，请问：阿奇写的数是多少？ 8958. 已知 能被 13 整除，中间方格内的数字是多少？ 92525 个个9用数字 6、7、8 各两个，要组成能同时被 6、7、8 整除的六位数请写出一个满足要求的六位数10. 冬冬和阿奇玩一个数字游戏，冬冬先将一个三位数的百位与个位填好，然后阿奇来填写这个三位数的十位，如果最后这个
10、三位数能被 11 整除，那么阿奇获胜，否则冬冬获胜冬冬想了一会，想到了一个必胜的办法，请问：冬冬想到的办法是什么？11对于一个自然数 N，如果具有以下的性质就称为 “破坏数 ”：把它添加到任何一个自然数的右端，形成的新数都不能被 N+1 整除请问：一共有多少个不大于 10 的破坏数？12. 一个五位数，它的末三位为 999.如果这个数能被 23 整除，那么这个五位数最小是多少？超越篇1在所有各位数字互不相同的五位数中，能被 45 整除的数最小是多少？2将自然数 1，2，3，依次写下去形成一个多位数“123456789101112”当写到某个数 N 时，所形成的多位数恰好第一次能被 90 整除请
11、问：N 是多少？3小悦的爸爸买回来两箱杯子两个箱子上各贴有一张价签，分别写着“总价 117.口元”、 “总价127.元”（口、四个数字已辨认不清，但是它们互不相同） 爸爸告诉小悦，其中一箱装了 99 只 A 型杯子，另一箱装了 75 只 B 型杯子，每只杯子的价格都是整数分但是爸爸记不清每个价签具体是多少钱，也不记得哪个箱子装的是 A 型杯子，哪个箱子装的是 B 型杯子了，爸爸知道小悦的数学水平很厉害，于是他想考考小悦，小悦看了看，说：“这呵难不倒我，我刚好学了一些复杂的整除性质，这下可以派上用场了 ”同学们，你能像小悦一样把价签上的数分辨出来吗？4冬冬在一张纸条上依次写下 2、3、4、5、6
12、、7 这 6 个数字，形成一个六位数阿奇把这张纸条撕成了三节这三节纸条上的数加起来得到的和（如图 2-1，三节纸条上的和为 23 + 456 +7 = 486）能被 55 整除请问：阿奇可能是在什么位置撕断的这张纸条？5将一个自然数 N 接在任一自然数的右面（例如将 2 接在 13 的右面得到 132） ，如果所得的新数都能被 N 整除，那么称 N 为“神奇数” 请求出所有的两位“神奇数”6在六位数 中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被 17 和 19 整除方框中的两位 1数是多少？7多位数 A 由数字 l、3、5、7、9 组成，每个数字都可以重复出现但至少出现一次，而且 A 可以被 A
13、中任意一个数字整除，求这样的 A 的最小值8有一些自然数，从左向右读与从右向左读是完全一样的，我们将这样的数称作“回文数”比如2332、181、77 都是回文数如果一个六位回文数除以 95 的商也是回文数，那么这个六位数是多少？第 3 讲 质数与合数内容概述掌握质数与合数的概念；熟悉常用酌质数，并掌握质数酌判定方法；能够利用分锯质固数酌方法锯决相关酌整教问题；学会计算乘积末尾零酌个数典型问题兴趣篇1(1)如果两个质数相加等于 16，这两个质数有可能等于多少？(2)如果两个质数相加等于 25，这两个质数有可能等于多少？(3)如果两个质数相加等于 29，这样的两个质数存在吗？2有人说：“任何 7
14、个连续整数中一定有质数 ”请你举一个例子，说明这句话是错的3请写出 5 个质数，使得它们正好构成一个公差为 12 的等差数列4请把下面的数分解质因数：(1) 160；(2) 598；(3) 211.5三个自然数的乘积为 84，其中两个数的和正好等于第三个数，请求出这三个数6用一个两位数除 330，结果正好能整除，请写出所有可能的两位数7三个连续自然数的乘积等于 39270.这三个连续自然数的和等于多少？8请将 2、5、14、24、27、55、56、99 这 8 个数分成两组，使得这两组数的乘积相等9请问：算式 l x2 x315 的计算结果的末尾有几个连续的 0?10请问：连续两个两位数乘积的
15、末尾最多有几个连续的 0?拓展篇1一个两位质数的两个数字交换位置后，仍然是一个质数，请写出所有这样的质数29 个连续的自然数中，最多有多少个质数？3(1)两个质数的和是 39，这两个质数的差是多少？(2)三个互不相同的质数相加，和为 40，这三个质数分别是多少？4一请把下面的数分解质因数：(1) 360; (2) 539; (3) 373; (4) 12660.5有一些最简真分数，它们的分子与分母的乘积都等于 140把所有这样的分数从小到大排列，其中第三个分数是多少？6冬冬在做一道计算两位数乘以两位数的乘法题时，把一个乘数中的数字 5 看成了 8，由此得乘积为 1104正确的乘积是多少？7甲、
16、乙、丙三人打靶，每人打三枪三人各自中靶的环数之积都是 60，且环数是不超过 10 的自然数把三个人按个人总环数由高到低排列，依次是甲、乙、丙请问：靶子上 4 环的那一枪是谁打的？8975935972，要使这个连乘积的最后 4 个数字都是 0，方框内最小应填什么数？9(1)算式 1232930 的计算结果的末尾有几个连续的 0？(2)算式 313233150 的计算结果的末尾有几个连续的 0？10把从 l 开始的若干个连续的自然数 1，2，3，乘到一起已知这个乘积的末尾 13 位恰好都是 0请问：在相乘时最后出现的自然数最小应该是多少？11168 乘以一个大于 0 的整数后正好是一个平方数乘的这
17、个整数至少是多少？所得乘积又是多少的平方？12(1) 60 乘以一个三位数后，正好得到一个平方数这个三位数至少是多少？(2) 72 乘以一个三位数后，正好得到一个立方数这样的三位数一共有多少个？超越篇1如图 3-1，三张卡片上各印有一个数字从这三张卡片中选取一张或多张（每张最多选 1 次）拼成质数，一共可以拼成多少个不同的质数？2用 l、2、3、4、5、6、7、 8、9 这 9 个数字组成若干质数，要求每个数字恰好使用一次请问：最多能组成多少个质数？请找出一种满足要求的组法，3三个质数的乘积恰好等于它们和的 5 倍，这三个质数分别是多少？4在射箭运动中，每射一箭得到的环数都是不超过 10 的自
18、然数甲、乙两名运动员各射了 5 箭，每人 5 箭得到的环数的积都是 1764，但是甲的总环数比乙少 4 环求甲、乙各自的总环数5两名运动员进行一场乒乓球比赛，采取三局两胜制，每局先得 11 分者为胜，如果打到 10 平，则先多得 2 分者为胜结果三局比赛下来，单方最高得分都不超过 20 分，把每人每局得分乘在一起恰为 480480.请问：各局的比分分别是多少？（按大比小的方式写出）6如图 3-2，把 13、12、15 、25、20 这 5 个数依次排列它们每相邻的两个数相乘得 4 个数，这4 个数每相邻的两个数相乘得 3 个数，这 3 个数每相邻的两个数相乘得 2 个数，这 2 个数相乘得 1
19、个数，请问：最后这个数从个位起向左数，可以连续地数出几个 0？7从 l !，2！，3！，100！这 100 个数中去掉一个数，使得剩下各数的乘积是一个完全平方数请问：被去掉的那个数是什么？8已知对任意正整数 n，都有公式： ，求分数6)12()212nn化成最简分数后的分母。!0)0()321()(122 第 4 讲 包含与排除内容概述有重叠部分酌若干对象的计数问题能利用文氏图进行辅助分析，弄清文氏图中每部分的含义；结合文氏图理解两个对象和三个对象酌容斥原理；灵活处理具有一些不确定性酌计数问题，以及其他形式的重复计数问题典型问题兴趣篇1暑假里，小悦和冬冬一起讨论“金陵十八景”他们发现十八景中的
20、每一处都有人去过，而且有五处是两人都去过的如果小悦去过其中的卜二景，那么冬冬去过其中的几景？2在一群小朋友中，有 12 人看过动画片黑猫警长 ，有 21 人看过动画片大闹天宫 ，并且有8 人两部动画片都看过请问：至少看过其中一部的小朋友有多少人？3五年级一班 45 个学生参加期末考试，成绩公布后，数学得满分的有 10 人，数学及语文均得满分的有 3 人，这两科都没有得满分的有 29 人请问：语文成绩得满分的有多少人？4某餐馆有 27 道招牌菜小悦吃过其中的 13 道，冬冬吃过其中的 7 道，而且有 2 道菜是两人都吃过的请问：有多少道招牌菜是两人都没有吃过的？5如图 4-I，已知甲、乙、丙三个
21、圆的面积均为 30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为 6、8、5，同时被这三个圆覆盖的部分的面积为 2请问：(1)只被甲或乙覆盖，却不被丙覆盖的部分的面积是多少？(2)只被这 3 个圆中某一个圆覆盖的部分的面积是多少？6在一个由 30 人组成的合唱队中，每个人都爱喝红茶、绿茶、花茶中的一种或者几种，其中有10 个人爱喝红茶，12 个人不爱喝红茶却爱喝绿茶，请问：只爱喝花茶的有多少人？7光明小学五年级课外活动有体育、音乐、书法三个小组，参加的人数分别是 54 人、46 人、36人同时参加体育小组和音乐小组的有 4 人，同时参加体育小组和书法小组的有 7 人，同时参加音乐小组和书法小组的
22、有 10 人，三组都参加的有 2 人光明小学五年级参加课外活动的一共有多少人？8卫生部对 120 种食物是否含有维生素 A、C、E 进行调查，结果发现：含维生素 A 的有 62 种，含维生素 C 的有 90 种，含维生素 E 的有 68 种，同时含维生素 A 和 C 的有 48 种，同时含维生素A 和 E 的有 36 种，同时含维生素 C 和 E 的有 50 种，同时含这三种维生素的有 25 种请问：(1)这三种维生素都不含的食物有多少种？(2)仅含维生素 A 的食物有多少种？9操场上有 50 名同学在跑步或跳绳，其中女生有 18 名，跳绳的同学有 31 名，跑步的男生有 14名跳绳的女生有多
23、少名？10学校举行棋类比赛，分为象棋、围棋和军棋三项，每人最多参加其中两项根据报名的人数，学校决定对象棋的前 9 名、围棋的前 10 名和军棋的前 11 名发放奖品请问：最少有几人获得奖品？拓展篇1在一个办公室中，有 7 个人爱喝茶，10 个人爱喝咖啡，3 个人既爱喝茶又爱喝咖啡，如果每个人都至少爱喝茶或咖啡中的一种，那么这个办公室里共有多少人？2五年级二班有 40 名同学，其中有 25:人没参加数学小组，有 18 人参加航模小组，有 10 人两个小组都参加那么只参加了这两个小组之一的学生共有多少人？3在 1 至 100 这 100 个自然数中，既不能被 2 整除也不能被 3 整除的数有多少个
24、？4渔乡小学举行长跑和游泳比赛，共 305 人参加参加长跑比赛的有 150 名男生和 90 名女生，参加游泳比赛的有 120 名男生和 70 名女生，有 110 名男生两项比赛都参加了，请问：只参加游泳比赛而没有参加长跑比赛的女生有多少人？5森林里住着一群小白兔，每只小白兔都爱吃萝卜、白菜和青草中的一种或者几种爱吃萝卜的小白兔中有 12 只不爱吃白菜；爱吃白菜的小白兔中有 23 只不爱吃青草；爱吃青草的小白兔中有34 只不爱吃萝卜如果三种食物都爱吃的小白兔有 5 只，那么这群小白兔一共有多少只？6三位基金经理投资若干只股票张经理买过其中 66 只，王经理买过其中 40 只，李经理买过其中 23
25、 只张经理和王经理都买过的有 17 只，王经理和李经理都买过的有 13 只，李经理和张经理都买过的有 9 只，三个人都买过的有 6 只请问：这三位经理一共买过多少只股票？7唐僧西天取经共经历了 81 难，其中单独渡过了 3 难，与孙悟空一起渡过了 77 难，与猪八戒一起渡过了 65 难，与沙和尚一起渡过了 62 难，同时与孙悟空和猪八戒一起渡过了 64 难，同时与孙悟空和沙和尚一起渡过了 61 难，同时与猪八戒和沙和尚一起渡过了 60 难请问：师徒四人共同渡过的有多少难？8培英学校有学生 1000 人，其中有 500 人订阅了中国少年报 ，有 350 人订阅了少年文艺 ，有 250 人订阅了数
26、学报 ，至少订阅两种报刊的有 400 人，订阅了三种报刊的有 100 人请问：培英学校有多少人没有订报？9五年级一班有 46 名学生参加数学、语文、文艺三项课外小组其中有 24 人参加了数学小组，20 人参加了语文小组，既参加数学小组又参加语文小组的有 10 人参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参加文艺小组人数的 3.5 倍，还是三项小组都参加的人数的 7 倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数等于三项小组都参加的人数的 2 倍求参加文艺小组的人数10图书室有 100 本书，借阅图书者需在图书上签名已知这 100 本书中有甲、乙、丙三人签名的分别有 33 本、44 本和 55 本，其中同时有
27、甲、乙签名的图书为 29 本，同时有甲、丙签名的图书为25 本，同时有乙、丙签名的图书为 36 本，问：这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过？11 五年级三班有 50 名学生，参加语文竞赛的有 28 人，参加数学竞赛的有 22 人，参加英语竞赛的有 20 人如果每人最多参加两科竞赛，那么该班未参加竞赛人数最多可能有多少人？12甲、乙、丙三人都在读同一本故事书，书中有 100 个故事已知甲读了 85 个故事，乙读了 70个故事，丙读了 62 个故事请问：(1)甲、乙、丙三人共同读过的故事最少有多少个？(2)如果每个人都是从某一个故事开始，按顺序连续往后读，那么甲、乙、丙三人共
28、同读过的故事最少有多少个？超越篇1森林里住着 100 只小白兔，凡是不爱吃萝卜的小白兔都爱吃白菜其中爱吃萝卜的小白兔数量是爱吃白菜的小白兔数量的 2 倍，而不爱吃白菜的小白兔数量是不爱吃萝卜的小白兔数量的 3 倍，它们当中有多少只小白兔既爱吃萝卜又爱吃白菜？2育才小学匦展上展出了许多幅画，其中有 16 幅画不是六年级的，有 15 幅画不是五年级的，五、六年级共展出 25 幅画其他年级的画共有多少幅？3巨人学校有 105 名男生和 75 名女生参加数学竞赛，有 95 名女生和 85 名男生参加作文竞赛已知该校一共有 280 名学生参加了竞赛，其中只参加数学竞赛的男生人数与只参加作文竞赛的女生人数
29、相同请问：只参加数学竞赛的女生有多少人？4冬冬和爸爸妈妈去芬兰旅游，他们照了很多照片回家后，冬冬先把所有有自己像的照片放到自己的相册里，再把剩下的有妈妈像的照片放到妈妈的相册里，最后把剩下的照片放到爸爸的相册里，爸爸认为应该把所有有自己像的照片都放到自己相册里，于是从冬冬和妈妈的相册里一共拿出了 37 张照片放到了自己的相册，妈妈不同意，又把放在冬冬和爸爸的相册里所有有自己像的 45 张照片都拿出来放到了自己的相册请问：究竟是妈妈和冬冬的合影多，还是爸爸和冬冬的合影多？多几张？5一次测验共有 5 道试题测试后统计如下：有 81%的同学做对第 1 题，有 85%的同学做对第 2题，有 91%的同
30、学做对第 3 题，有 74%的同学做对第 4 题，有 79%的同学做对第 5 题如果做对3 道或 3 道以上试题的同学为考试合格，请问：这次考试的合格率最多达百分之几？最少达百分之几？6五年级一班有 22 人参加语文竞赛，32 人参加数学竞赛，27 人参加英语竞赛，其中同时参加语文竞赛和数学竞赛的有 12 人，同时参加语文竞赛和英语竞赛的有 14 人，同时参加数学竞赛和英语竞赛的有 15 人请问：五年级一班参加竞赛的总人数最少是多少？7在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给 100 盆花浇水，已知甲浇了 30 盆，乙浇了 75盆，丙浇了 80 盆，丁浇了 90 盆，请问：(1)恰好被 3
31、个人浇过的花最少有多少盆？ (2)恰好被 1 个人浇过的花最多有多少盆？8一根 1.8 米长的木棍，从左端开始每隔 2 厘米划一个刻度，每隔 3 厘米划一个刻度，每隔 5 厘米划一个刻度，每隔 7 厘米划一个刻度，如果按刻度把木棍截断，一共可以截成多少段小木棍？第 5 讲 行程问题四内容概述流水行船问题与环形问题流水行船问题中，注意水速对实际速度酌影响，初步了解速度酌相对性；环形问题中，注意相遇和逼及酌同期性典型问题兴趣篇1一条船顺流行驶 40 千米需要 2 小时水流速度为每小时 2 千米这条船逆流行驶 40 千米需要多少小时？27 两地相距 480 千米，一艘轮船在两地之间往返航行，顺流行驶
32、一次需要 16 小时，逆流返回需要 20 小时，该轮船在静水中的速度是多少？水流速度是多少？3A、B 两港相距 560 千米，甲船在两港间往返一次需 105 小时，其中逆流航行比顺流航行多用了35 小时，乙船的静水速度是甲船静水速度的 2 倍，乙船在两港间往返一次需要多少小时？4A、B 两个码头间的水路为 90 千米，其中 A 码头在上游，B 码头在下游，第一天，水速为每小时 3 千米，甲、乙两船分别从 A、B 两码头同时起航同向而行，3 小时后乙船追上甲船，已知甲船的静水速度为每小时 18 千米，乙船的静水速度是多少？第二天由于涨水，水速变为每小时 5 千米，甲、乙两船分别从 A、B 两码头
33、同时起航相向而行，出发多长时间后相遇？5一条小河流过 A、B、C 三镇，其中 A、B 两镇之间有汽船来往，汽船在静水中的速度为每小时11 千米；B、C 两镇之间有木船摆渡，木船在静水中的速度为每小时 3：5 千米已知 A、C 两镇水路相距 45 千米，水流速度为每小时 1.5 千米某人从 A 镇上船顺流而下到 B 镇，吃午饭用去 1小时，接着乘木船又顺流而下到 C 镇，共用了 7 小时请问：A、B 两镇间的距离是多少于米？6甲、乙两人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行，这条公路长 2400 米，甲骑一圈需要 10 分钟如果第一次相遇时甲骑了 1440 米，请问：乙骑一圈需要多少分钟
34、？再过多久他们第二次相遇？7甲、乙两人在 400 米长的环形跑道上跑步甲以每分钟 300 米的速度从起点跑出1 分钟后，乙从起点同向跑出又过了 5 分钟，甲追上乙请问：乙每分钟跑多少米？如果他们的速度保持不变，甲还需要再过多少分钟才能第二次追上乙？8甲、乙两人在环形跑道上训练，他们从同一地点同时出发，背向而行两人相遇后立即调头，继续前进，一开始甲的速度是每分钟 160 米，乙的速度是每分钟 120 米，调头后甲的速度提高了一半，乙的速度提高了三分之一若跑道长 500 米，甲、乙两人第一次相遇地点与第二次相遇地点相距多远？（环形路线上两点的距离指沿跑道的最短距离）9如图 7-1，四边形 ABCD
35、 是一个边长为 100 米的正方形，甲、乙两人同时从 A 点出发，甲沿逆时针方向每分钟行 75 米，乙沿顺时针方向每分钟行 45 米请问：两人第一次在 CD 边（不包括C、D 两点）上相遇，是出发以后的第几次相遇？10如图 7-2，学校操场的 400 米跑道中套着 300 米小跑道，大跑道与小跑道有 200 米路程相重，甲以每秒 6 米的速度沿大跑道逆时针方向跑，乙以每秒 4 米的速度沿小跑道顺时针方向跑，两人同时从两跑道的交点 A 处出发，当他们第二次在跑道上相遇时，甲共跑了多少米？拓展篇1甲河是乙河的支流，甲河水速为每小时 3 千米，乙河水速为每小时 2 千米一艘船沿甲河顺水7 小时后到达
36、乙河，共航行 133 千米这艘船在乙河逆水航行 84 千米，需要花多少小时？2一艘飞艇，顺风 6 小时行驶了 900 公里；在同样的风速下，逆风行驶 600 公里，也用了 6 小时那么在无风的时候，这艘飞艇行驶 1000 公里要用多少小时？3甲、乙两船分别从 A 港出发逆流而上驶向 180 千米外的 B 港，静水中甲船每小时航行 15 千米，乙船每小时航行 12 千米，水流速度是每小时 3 千米乙船出发后两小时，甲船才出发，当甲船追上乙船的时候，甲已离开 A 港多少千米？若甲船到达廖港之后立即返回，则甲、乙两船相遇地点离刚才甲船追上乙船的地点多少千米？4轮船从 A 城行驶到 B 城需要 3 天
37、，而从 B 城回到 A 城需要 4 天请问：在 A 城放出一个无动力的木筏，它漂到 B 城需多少天？5一艘游艇装满油，能够航行 180 个小时已知游艇在静水中的速度为每小时 24 千米，水速为每小时 4 千米，现在要求这艘游艇开出之后沿原路回港，而且中途没有油料补给请问：这艘游艇最多能够开出多远？6某人在河里游泳，逆流而上他在 A 处丢失一只水壶，向前又游了 20 分钟后，才发现丢了水壶，立即返回追寻，在离 A 处 2 千米的地方追到假定此人在静水中的游泳速度为每分钟 60 米，求水流速度7黑、白两只小猫在周长为 300 米的湖边赛跑，黑猫的速度为每秒 5 米，白猫的速度为每秒 7 米，若两只
38、小猫同时从同一地点出发，背向而行多少秒后两只小猫第一次相遇？如果它们继续不停跑下去，2 分钟内一共相遇多少次？8在 400 米长的环形跑道上，甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，同向而行4 分钟后，甲第一次追上乙，又经过 10 分钟甲第二次追上乙已知甲的速度是每秒 3 米，那么乙的速度是多少？A、B 两地相距多少米？9有一个周长 40 米的圆形水池甲沿着水池边散步，每秒钟走 1 米；乙沿着水池边跑步，每秒跑3.5 米甲、乙两人从同一地点同时出发，同向而行，当乙第 8 次追上甲时，他还需要跑多少米才能回到出发点？10甲、乙两人在一条圆形跑道上锻炼，他们分别从跑道某条直径的两端同时出发，相向而
39、行，当乙走了 100 米时，他们第一次相遇相遇后两人继续前进，在甲走完一周前 60 米处第二次相遇，求这条圆形跑道的周长11如图 7-3，甲、乙两辆汽车在周长为 360 米的圆形道上行驶，甲车每分钟行驶 20 米它们分别从相距 90 米的 A、B 两点同时出发，背向而行，相遇后乙车立即返回，甲车不改变方向，当乙车到达 B 点时，甲车经过 B 点后恰好又回到 A 点，此时甲车立即调头前进，乙车经过 B 点继续行驶，请问：再过多少分钟甲车与乙车再次相遇？12如图 7-4，一个正方形房屋的边长为 10 米，甲、乙两人分别从房屋的两个墙角同时出发，沿顺时针方向前进甲每秒行 5 米，乙每秒行 3 米问：
40、出发后经过多长时间甲第一次看见乙？超越篇1甲、乙两艘游船顺水航行的速度均是每小时 7 千米，逆水航行的速度均是每小时 5 千米现在甲、乙两船从某地同时出发，甲先逆流而上再顺流而下，乙先顺流而下再逆流而上，1 小时后它们都回到了出发点请问：在这 1 小时内有多少分钟两船的行进方向相同？2甲、乙两船分别在一条河的 A、B 两地同时相向而行，甲船顺流而下，乙船逆流而上相遇时，甲、乙两船的航程是相等的，相遇后两船继续前进甲船到达 B 地、乙船到达 A 地后，都立即按原来的路线返航，两船第二次相遇时，甲船比乙船少行 1000 米，如果从两船第一次相遇到第二次相遇间隔 1 小时 20 分，那么河水的流速为
41、每小时多少千米？3一条河上有甲、乙两个码头，甲码头在乙码头的上游 50 千米处，一艘客船和一艘货船分别从甲、乙两码头同时出发向上游行驶，两船的静水速度相同，客船出发时有一物品从船上落入水中，10分钟后此物品距客船 5 千米，客船在行驶 20 千米后掉头追赶此物品，追上时恰好和货船相遇，求水流的速度4在一条圆形跑道上，甲、乙两人分别从 A、B 两点同时出发，反向而行6 分钟后两人相遇，再过 4 分钟甲到达 B 点，又过 8 分钟两人再次相遇，甲、乙两人绕跑道环行一周各需要多少分钟？5有一条长度为 4200 米的环形车道，甲车从 A 点出发 35 秒后，乙车从 A 点反向出发，两车在 B点第一次迎
42、面相遇，如果乙车出发的时候变换方向，即出发的时候和甲车保持同向，那么乙车将行驶完一圈之前追上甲车，并且追上甲车的地点恰好还在 B 点乙车追上甲车之后立刻折返，甲车继续前进，那么两车会在距离 A 点 300 米的地方迎面相遇求乙车的速度6如图 7-5，8 时 10 分，甲、乙两人分别从相距 60 米的 A、B 两地出发，按顺时针方向沿长方形ABCD 的边走向 D 点，甲、乙两人的速度相同甲 8 时 20 分到 D 点后，丙、丁两人立即从 D 点出发丙由 D 向 A 走去，8 时 24 分与乙在 E 点相遇；丁由 D 向 C 走去，8 时 30 分在 F 点被乙追上丙、丁两人的速度也相同问：三角形
43、 BEF 的面积是多少平方米？7A 地位于河流的上游，B 地位于河流的下游每天早上，甲船从 A 地、乙船从 B 地同时出发相向而行，从 12 月 1 号开始，两船都装上了新的发动机，在静水中的速度变为原来的 1.5 倍，这时两船的相遇地点与平时相比变化了 1 千米由于天气原因，今天（12 月 6 号）的水速变为平时的2 倍试问：今天两船的相遇地点与 12 月 2 号相比，将变化多少千米？8有甲、乙两名选手在一条河中进行划船比赛如图 7-6，赛道是在河中央的长方形 ABCD，其中，AD=100 米，AB= 80 米已知水流从左到右，速度为每秒 l 米甲、乙两名选手从 A 处同时出发，甲沿 ABC
44、DA 的方向划行，乙沿 AD C BA 的方向划行，若已知甲船在静水中的速度比乙船在静水中的速度每秒快 1 米（注：两船在 AB 和 CD 上的划行速度视为静水速度） ，且两人第一次相遇在图中 CD 的 P 处，且 CP= CD问：在比赛开始 5 分钟内两人一共相遇多少次？4第 6 讲 几何计数内容概述合理使用各种已学的计数方法来解决几何计数问题；学会利用图形的位置和形状进行恰当的分类；掌握方格表中长方形个数的计算方法；注意利用图形的对称性来简化计算典型问题兴趣篇1如图 10-1，线段 AB、BC、CD、DE 的长度都是 3 厘米请问：图中一共有多少条线段？这些线段的长度之和是多少厘米？2小明
45、把巧克力棒摆成了如图 10-2 所示的形状，其中每一条小短边代表一个巧克力棒请问：(1)一共有多少个巧克力棒？ (2)这些巧克力棒共构成了多少个三角形？(3)嘴馋的小明吃掉一个巧克力棒后（图中两端带有箭头的小边） ，剩下的图形中还有多少个三角形？3如图 10-3，它是由 18 个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形，图中包含“冰”的各种大小的正三角形一共有多少个？4如图 104 和 10-5，数一数，两个图形中分别有多少个三角形？5如图 10-6，在一个 4x4 的方格表中，共有多少个正方形？6如图 10-7，数一数图中一共有多少条线段？多少个矩形？
46、7如图 10-8，AB、CD、EF、MN 互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？8如图 10-9，125 个黑色与白色小立方体相间排列拼成了一个大立方体，其中露在表面上的黑色小立方体有多少个？9如图 10-10，木板上钉着 12 枚钉子，排成三行四列的长方阵用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？10如图 10-11，在 2x3 的长方形中，每个小正方形的面积都是 1请问：以A、B、C 、D、E、 ， 、G 为顶点且面积为 1 的三角形共有多少个？拓展篇1如图 10-12，数一数，图中有多少个三角形？2如图 10-13，数一数下面的三个图形中分别有多少个三角形3如图 10-14，数一
47、数，图中有多少个三角形？4如图 10-15，数一数 ，图中共有多少个长方形？（正方形是一种特殊的长方形）5如图 10-16，四条边长度都相等的四边形称为菱形，用 16 个同样大小的菱形组成如图的一个大菱形数一数，图中共有多少个菱形？6如图 10-17，这是一个长为 9，宽为 4 的网格，每一个小格都是一个正方形请问：(1)从中可以数出多少个长方形？(2)从中可以数出包含黑点的长方形有多少个？7如图 10-18，数一数，图中共有多少个长方形？8如图 10-19，数一数，图中共有多少个平行四边形？9如图 10-20，18 个大小相同的小正三角形拼成了一个平行四边形，数一数，图中共有多少个梯形？10
48、如图 10-21，方格纸上放了 20 枚棋子，以这些棋子为顶点，可以连出多少个正方形？11一个平面封闭图形，只要组成它的边中有一条边不是直线段，就将这个图形称为曲边形，例如圆、半圆、扇形等都是曲边形在图 10-22 中，共有多少个不同的曲边形？12如图 10-23，一个 23 的网格中，每个小正方形的面积都是 1以这些格点为顶点，可以连成多少个面积为 l 的三角形？超越篇1图 10-24 是一个等边三角形的点阵以这些点为顶点，可以画出多少个等腰三角形（包括等边三角形）?2如图 10-25，数一数，图中共有多少个三角形？3如图 10-26，这是一个 4x8 的矩形网格，每一个小格都是一个正方形请问：(1)包含有两个“”的矩形共有多少个？(2)至少包含一个“”的矩形有多少个？4如图 10-27，在图中的 33 正方形格子中，格线的交点称为格点例如：A，B
