1、第二十六讲 比较与估算 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 在前面的章节中， 同学们已经对分数的计算有了一定的认识， 也学习了很多比较分数大 小的方法今天我们将继续研究一些较复杂的分数比较大小和估算的问题 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
2、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 1 现有 7 个数，其中 5 个是3.14、 1 3 7 、116 37 、3.15、 37 3 273 如果按照从小到大排列的第三 个数是 116 37 ，那么位于最中间的数是多少？ 分析分析这是一个比较多个数大小关系的推理题，虽然其中有着两个数未知，但是我们还应 该先比较已知数之间的大小关系，再利用其他条件来推理出题目的结果 练习 1 有 8 个
3、数，0.51、 2 3 、 5 9 、0.51、 24 47 、 13 25 是其中的 6 个如果按从小到大的顺序排列时， 第 4 个数是0.51那么按从大到小排列时，第 4 个数是哪一个数？ 例题 2 在不等式 253 34 的方框中填入一个自然数，使得不等式成立 分析分析分子相同，分母大的分数小但分子不一样怎么比较大小呢？ 练习 2 在不等式 25 7 的方框中填入一个自然数，使得不等式成立那么方框中最大可以填多少？ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
4、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 在算式的估算中，有一种方法比较常用，就是用非常接近的数来替换原来的数，这样可 以得到一个和真实答案非常接近的近似值， 但一定要注意近似值与真实值之间的误差是否符 合题意 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
5、- - - - - - - - - - - - - 例题 3 算式33.333 33.333计算结果的整数部分是多少？ 分析分析本题需要计算两个较复杂的数相乘，但是不要求计算出最后结果，只要求出结果的 整数部分就可以了我们可以从以下两个方面考虑： （1）估算结果的大致情况，推出整数部分 （2）计算出准确结果，确定整数部分 那大家想一想应该怎么办？ 练习 3 算式66.66666.666计算结果的整数部分是多少？ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
6、- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 算式的缩放是估算问题中经常用到的方法 缩放的方法有很多 在放缩的时候要注意不 可将范围放缩得过大，这样将无法起到放缩本来应该有的作用 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
7、 - 例题 4 算式 2222 11121320 计算结果的整数部分是多少？ 分析分析本题显然不能硬算，不然太麻烦如果能将该算式稍加变形，使它不仅变得好算， 还能确定大小范围，那就可以求出它的整数部分是多少了 练习 4 算式 3333 20212229 计算结果的整数部分是多少？ 例题 5 求出 9999999999999999 10100100010000000000 的计算结果的整数部分 分析分析同例题 4，需要对算式稍作变形，加以放缩来确定大小范围，进而求出整数部分 例题 6 （1）两个小数的整数部分分别是 4 和 5，那么这两个小数乘积的整数部分共有多少种可能 的取值？ （2）将两个小
8、数四舍五入到个位后，所得到的数值分别是 7 和 9将这两个小数的乘积四 舍五入到个位后共有多少种可能的取值？ 分析分析 注意到题目中的两个小数分别有一个连续的取值范围， 那么乘积也一定有一个连续 的取值范围 等号与不等号的历史 一、等号，不等号一、等号，不等号 为了表示等量关系，用“”表示“相等”，这是大家最熟悉的一个符号了 说来话长，在 15、16 世纪的数学书中，还用单词代表两个量的相等关系例如在当时 一些公式里，常常写着 aequ 或 aequaliter 这种单词，其含义是“相等”的意思 1557 年，英国数学家列科尔德，在其论文智慧的磨刀石中说：“为了避免枯燥地 重复 isaequa
9、lleto（等于）这个单词，我认真地比较了许多的图形和记号，觉得世界上再也没 有比两条平行而又等长的线段，意义更相同了”于是，列科尔德有创见性地用两条平行且 相等的线段“”表示“相等”，“”叫做等号 用“”替换了单词表示相等是数学上的一个进步由于受当时历史条件的限制，列科 尔德发明的等号，并没有马上为大家所采用历史上也有人用其它符号表示过相等例如数 学家笛卡儿在 1637 年出版的几何学一书中，曾用“”表示过“相等”直到 17 世纪， 德国的数学家莱布尼兹，在各种场合下大力倡导使用“”，由于他在数学界颇负盛名，等 号渐渐被世人所公认 顺便提一下，“”是表示“不相等”关系的符号，叫做不等号“”和
10、“=”的意 义相反，在数学里也是经常用到的，例如 a1a5 二、大于号，小于号二、大于号，小于号 现实世界中的同类量， 如长度与长度， 时间与时间之间， 有相等关系， 也有不等关系 我 们知道，相等关系可以用“”表示，不等关系用什么符号来表示呢？ 为了寻求一套表示“大于”或“小于”的符号，数学家们绞尽了脑汁1629 年，法国 数学家日腊尔，在他的代数教程中，用象征的符号“ff”表示“大于”，用符号“” 表示“小于”例如，A 大于 B 记作：“AffB”，A 小于 B 记作“A B”1631 年，英国数 学家哈里奥特，首先创用符号“”表示“大于”，“”表示“小于”，这就是现在通用 的大于号和小于
11、号例如 53，20，ab，mn 与哈里奥特同时代的数学家们也创造了一些表示大小关系的符号例如，1631 年，数 学家奥乌列德曾采用“”代表“大于”；用“”代表“小于”1634 年，法国 数学家厄里贡在他写的数学教程里，引用了很不简便的符号，表示不等关系，例如：a b 用符号“a3|2b”表示；ba 用符号“b2|3a”表示因为这些不等号书写起来十分繁琐， 很快就被淘汰了只有哈里奥特创用的“”和“”一直广为使用 作业1. 下面的分数中，最大的是哪个？ 3 11 ， 2 9 ， 6 25 作业2. 下面三个算式的结果中，最大的是哪个？最小的是哪个？ 11 1129 A ， 11 1327 B ，
12、11 1426 C 作业3. 算式 2222 13511 13151723 的整数部分是多少？ 作业4. 6.66669.9999的整数部分是多少？ 作业5. 小高将算式的两个乘数都四舍五入后得到8972，那么原算式结果的整数部分 有多少种可能？ 第二十六讲 比较与估算 例题1. 答案： 37 3 273 详解： 我们把所有的数化为小数后比较：3.143.1414， 1 33.1428 7 ， 116 3.1351 37 ， 3.153.1515， 37 33.1355 273 经比较，有116 371 33.1433.15 372737 注意到 116 37 是 7 个数中从小到大排列的第
13、3 个，说明另两个没有写出的数比116 37 小，为最小的 两个数那么可知 7 个数中位于中间的数是 37 3 273 例题2. 答案：7 详解：通分子， 303030 45640 ，所以45640 ，只能填 7 例题3. 答案：1111 详解：我们发现 33.33333 比较接近33.3，而 1 33.3 33 3 因此我们可以尝试利用33.3估 算结果，再把小数化成分数计算： 11100100100001 33.33333 33.3333333331111 333399 因此33.3333333.33333 计算结果的整数部分是 1111 例题4. 答案：1 详解：1 22221 1010
14、 51112132010 ， 结果介于 12 之间， 所以整数部分是 1 例题5. 答案：9 详解：通过放缩可得： 99999999999999999 1 1010 1010010001000000000010 ，所以结果介 于 9 到 10 之间，整数部分是 9 例题6. 答案： （1）10； （2）17 详解： （1）设两个小数分别为 a 和 b，由于两个小数四舍五入到个位后所得到的数值分 别是 4 和 5，所以考虑到小数点的情况，可得45a，56b因此，我们得到 4520ab，5630ab 所以两个小数乘积的整数可取 20 到 29 之间的任何 整数值，一共有 10 种可能的取值 （2）
15、 设两个小数分别为 a 和 b， 由于两个小数四舍五入到个位后所得到的数值分别是 7 和 9，所以考虑到小数点的情况，可得6.57.5a，8.59.5b因此，我们得到 6.5 8.555.25ab，9.57.571.25ab所以两个小数乘积的整数可取 55 到 71 之间的任何整数值，一共有 17 种可能的取值 练习1. 答案：0.51 简答：已知的六个数从小到大的顺序是 24 47 、0.51、0.51、13 25 、 5 9 、 2 3 说明另外两个 不知道的数一定是最小的和第二小的，由此可知第四大的数是0.51 练习2. 答案：17 简答：通分子，得 1010 352 ，方框中最大可填
16、17 练习3. 答案：4444 简答： 200 66.66666.66666.6664444.4 3 ，所以整数部分是 4444 练习4. 答案：1 简答： 30333333 10101.5 29292021222920 可知整数部分是 1 作业1. 答案： 3 11 简答：把分子都变成 6 作业2. 答案：A，C 简答： 40 11 29 A ， 40 1327 B ， 40 1426 C 分子都是 40，根据和同近积大，可知 A 的分母最小，C 的分母最大 作业3. 答案：36 简答：1351136， 22222 66 2313152313 ， 即 1222212 1 2313152313 可知原式的整数部分是 36 作业4. 答案：66 简答：原式 20 9.999966.666 3 整数部分是 66 作业5. 答案：18 简答：设两个乘数分别为 A 和 B，那么 A 在 7.5 与 8.5 之间，B 在 8.5 与 9.5 之间那么 它们的乘积在 63.75 与 80.75 之间整数部分可能是 6380，有 18 种可能
