1、第二十四讲 列方程解应用题 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 方程是分析和解决问题的一种很有用的数学工具， 利用方程我们可以解决生活、 学习和 生产中的很多实际问题其思想如图所示： 列方程解应用题的方法和步骤 步骤 要求 要注意的问题 审题审题 读懂题目、弄清题意、找出能够表 示应用题全部含义的相等关系，分 清已知数和未知数 审题是分析解题的过程， 解题程
2、序中不用 体现出来 设元设元 设未知数 把所求的量用未知数表示 把各个量用含未知数的式子表示 出来 设未知数一般是问什么，就直接设什 么，即直接设元 直接设元有困难，可以间接设元 设未知数时，必须写清未知数的单位 列方程列方程 根据等量关系列出方程 方程两边所用的单位需一致 解方程解方程 解出这个方程的解，求出未知数的 值 如果是间接设元， 求出的未知数还需要利 用其他算式得到所求的量 检验检验 把方程的解代入方程检验，或根据 实际问题进行检验 检验的步骤在解题程序中不用写出来 方程的解要符合实际情况，否则无解 作答作答 写出答案，作出结论 这一步在列方程解应用题中必不可少， 是 一种规范要求
3、 实际 问题 数学问题 （方程） 数学问题的解 实际问题的答案 设未知数 列方程 解方程 检验 下来我们就来看看如何用一元一次方程解应用题 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 1 一次考试，小高比萱萱高 6 分，但是比卡莉娅低 3 分，他们 3 人的平均分为 91 分请
4、问： 小高考了多少分？ 分析分析列方程的第一步是设未知数，本题中应该设什么为 x？ 练习 1 甲数比乙数的 3 倍还少 6，两数的平均数是 43那么乙数是多少？ 练一练 用含有字母的式子填空：用含有字母的式子填空： 1. （1）x 的 5 倍：_； （2）x 的 k 倍：_； 2. 一块橡皮的单价是 x 元，笔盒的单价是橡皮的单价的 8 倍，那么笔盒的单价是_元； 3. 一辆摩托车的速度是 v 千米/小时，那么它 t 小时行驶的路程为_千米； 4. 某商店原有 5 袋大米，每袋大米为 x 千克，上午卖出 3 袋，下午又购进同样包装的大米 4 袋， 进货后这个商店有大米_千克 选择合适的量设为未
5、知数，并列出方程：选择合适的量设为未知数，并列出方程： 5. 环形跑道一周长 400 米，沿跑道跑多少圈，可以跑 3000 米？ 6. 一个梯形的下底比上底多 2 厘米，高是 5 厘米，面积是 40 平方厘米求上底 7. 甲种铅笔每枝 0.3 元，乙种铅笔每枝 0.6 元，用 9 元钱买了两种铅笔共 20 枝，两种铅笔各买 了多少枝？ 例题 2 阿范和阿统吃饺子，阿范一共要吃 90 个，而阿统一共要吃 100 个如果阿范每分钟吃 3 个 饺子，阿统每分钟吃 5 个饺子，经过若干分钟后，阿范剩下的饺子数比阿统剩下的饺子数的 2 倍少 5 个请问：这时阿范和阿统各吃了多少个饺子？ 分析分析如果设吃
6、的饺子数为 x，方程就会很不好列不妨换个角度，设经过的时间为 x 分 钟 练习 2 箱子里有红、白两种玻璃球，红球数比白球数的 3 倍多 2 只每次从箱子里取出 7 只白球和 15 只红球经过若干次以后，箱子里剩下 3 只白球和 53 只红球那么箱子里原有红、白球 各多少个？ 例题 3 给某班分苹果，第一组每人 3 个，第二组每人 4 个，第三组每人 5 个，第四组每人 6 个已 知第二组和第三组共有 22 人，第一组人数是第二组的 2 倍，第三组和第四组人数相等，总 共分出去 230 个苹果问该班一共有多少人？ 分析分析刚开始看这道题目，会觉得条件非常多，有些乱不过稍加分析就会发现，本题的
7、数量关系并不复杂题目中虽然有四个组，但这四组人数之间有很多联系如果某一组的人 数知道了，其他各组的人数也就知道了根据这一点，我们可以设出其中一组的人数，列方 程求解 练习 3 司机小王身上带有 1 元、2 元、5 元、10 元四种面值的纸币共 82 元，其中 1 元与 2 元纸币 共 22 张，5 元和 10 元纸币共 7 张，2 元纸币的张数是 5 元纸币张数的 2.5 倍问：小王身 上有多少张 10 元纸币？ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
8、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 看过前面这些一元一次方程解应用题的题目， 大家是否有这样的体会： 原本这些题目都 属于不同的类型，算术方法迥异，难度差别也很大，但如果我们利用方程进行求解，那么解 题方法就变得统一起来，而且难度也降低了不少只要找到等量关系，列出方程，就可以得 到答案这就是方程的妙处，看上去只是一种简单的套路，却有着四两拨千斤的功效，轻 描淡写就能化解难题 有些应用题中，如果只设一个未知数，有些未知量要表示出来就会比较困难这时就需 要设
9、两个未知数，列二元一次方程组来解题 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 4 墨莫去超市里买了一些士力架和德芙，共重 266 克，共花了 30 元已知士力架每块 3 元， 德芙每块 2 元每块士力架 35 克，每块德芙 14 克那么墨莫各买了多少块士力架和德芙？ 分析分析假设买了 x 块士力架，y 块德芙，那么这两个未知数满足哪些等量关系？ 练习 4 王老师
10、抓了一群外星人，其中火星人有 2 个头 3 个脚，金星人有 3 个头 5 个脚，王老师数了 数，发现总共有 34 个头、54 个脚.那么请问王老师分别抓了多少个火星人和金星人？ 例题 5 一个分数，分子与分母的和是 122，如果分子、分母都减去 19，得到的分数约简后是 1 5 ，那 么原分数是多少？ 分析分析设原来的分子是x，那原来的分母就是122x再由另外一个已知条件，不难列 出方程求解 例题例题 6 如下图的短除式所示，一个自然数被 8 除余 1，所得的商被 8 除也余 1，第二次所得的商被 8 除后余 7，最后得到的商是 a同时这个自然数被 17 除余 4，所得的商被 17 除余 15
11、，最 后得到的商是 a 的 2 倍求这个自然数 分析分析这是一个带余除法的问题，蕴含着等量关系：被除数除数 商余数利用这 一等量关系以及图中的两个短除式，不难用字母a表示出原来的自然数（有两种不同表示方 式） a 所求的自然数 8 余 1 第一次商 8 余 1 8 第二次商 余 7 2a 所求的自然数 17 余 4 第一次商 17 余 15 多送几份牛奶 最近，动物们流行喝鲜奶，都在鲜奶公司定了份牛奶，鲜奶公司每天派小狗早早和巧巧 送鲜奶到东西大街， 早早负责送东边的住户， 巧巧负责送西边的住户， 两边住户数目一样多。 巧巧家住得远， 每天早晨比早早到得晚， 所以早早每天都先从巧巧负责的那边开
12、始代他 先送5家，巧巧来了之后便从第6家开始送奶。这时早早便回到马路对面，从头开始干自己的 工作。尽管早早来得较早，但他动作迟缓，速度慢，因此干净利索的巧巧总是比他更快地完 成自己的任务。 “来而不往非礼也” ， 完成任务的巧巧又很快地跑到另一边替早早送最后9家的鲜奶。 这 样他俩就能同时收工，一起回公司领工资了。 到了公司，他俩领了同样多的工资，这时早早说： “巧巧，我每天帮你送5份奶，而你却 帮我送了9份奶，我应该给你4份送奶的钱。 ”巧巧却说： “不对吧，我送的份数是99x ， 你送的份数是55x，用我的份数减去你的份数，应该是我比你多送8份鲜奶，你应给我8 份送奶的钱才对呀。 ”早早和
13、巧巧工作时配合得非常好，可在工资问题上产生了意见，谁也 不肯让步，都说自己的说法是对的。 小朋友们，请你帮他们裁决一下，他俩谁说得有道理，早早到底应付给巧巧多少份送奶 的钱呢? 1. 解方程 （1） 2231xx ； （2） 434 413 x x 2. 解方程 （1） 6723 141755 xy xy ； （2） 3219 71833 xy xy 3. 一个数的 5 倍加上 3 等于这个数的 8 倍减去 6，这个数是多少？ 4. 寒暑表中通常有两个刻度： 摄氏度和华氏度， 它们之间的换算关系是： 摄氏度 9 32 5 华氏度 问：在多少摄氏度时，华氏度的值恰比摄氏度的值大 80？ 5. 小
14、王家今早由于懒得做饭， 直接到面包店里花了 18 元 4 角买了 31 个包子 已知这个店 里只有 A、B、C 三种包子，三种包子单个价格分别为 4 角、6 角、7 角据卖包子的小 哥透露， 小王买的 4 角的包子比 6 角的包子少一个， 问： 小王今早买的包子中， 4 角的、 6 角的和 7 角的各有多少个？ 第二十四讲 列方程解应用题 例题1. 答案：92详解：设小高得了 x 分，则有63391xxx ，解得 x=92 例题2. 答案：45，75详解：设经过了 x 分钟，9032 10055xx，解得15x 所 以阿范吃了 45 个，阿统吃了 75 个 例题3. 答案：56详解：假设第二组
15、有x个小朋友，那么第一组、第三组、第四组分别有 2x个、22x个、22x个小朋友以苹果的总数作为等量关系列出方程： 234225226230xxxx ，解得12x 因此，这个班小朋友的总数 是 222224456xxxxx人 例题4. 答案：4，9详解：设墨莫买了 x 块士力架和 y 块德芙，依题意可列方程： 3230 3514266 xy xy ，解得 4 9 x y 例题5. 答案：33 89 详解：设原来的分子是 x，则分母是122x分子、分母减去 19 之后， 分别等于19x 和103x， 此时分数等于 1 5 根据这一等量关系列出方程： 191 1035 x x 交 叉相乘后得：51
16、9103xx解得：33x 所以原来的分母是1221223389x， 原分数就是 33 89 例题6. 答 案 ： 1993 详 解 ： 以 所 求 的 自 然 数 为 等 量 关 系 ， 可 列 出 方 程 ： 8 8 87111 7 1 721 54aa ， 解 得 ：3a ， 所 以 所 求 自 然 数 为 1 71 7231 541 9 9 3 练习1. 答案：23详解：设乙数是 x，则甲数是36x ，可列方程3686xx解之得 23x 练习2. 答案：158，52详解：设取了 x 次，那么开始时有白球37x个，有红球5315x 个， 可列方程373253 15xx 解之得7x ， 开始
17、有红球 158 个， 白球 52 个 练习3. 答案：3详解：设 5 元纸币有 x 张，那么 2 元纸币有 2.5x 张，1 元纸币有222.5x 张， 10 元纸币有7x张 可列方程222.55510 782xxxx， 解之得4x 10 元纸币有 3 张 练习4. 答案：8，6详解：设抓了 x 个火星人，y 个金星人，可列方程 2334 3554 xy xy ，解 之得 8 6 x y 作业1. 答案： （1）3； （2）1.25 作业2. 答案： （1） 1.5 2 x y ； （2） 6 0.5 x y 作业3. 答案：3简答：设这个数为 x，可列方程，最后解出 作业4. 答案：60简答：设摄氏度为 x，那么华氏度可以表示为可列方程 ，最后解出 作业5. 答案： 8， 9， 14 简答： 设 4 角的包子买了 x 个， 则 6 角的包子买了个， 7 角的包子买了个 可 列方程 4617 302184xxx ，最后解出4 角的包子买了 8 个，6 角的包 子买了 9 个，7 角的包子买了 14 个 8x 302x1x 60x 9 3280 5 xx 80x 3x 5386xx
