1、 专题专题 13 二元一次方程应用题二元一次方程应用题 一、知识点 会确定实际问题中的等量关系，进而建立一元一次方程或一次方程组模型解决实际问题会确定实际问题中的等量关系，进而建立一元一次方程或一次方程组模型解决实际问题 二、标准例题 （1 1）传统文化中的二元一次方程组）传统文化中的二元一次方程组 例 1：我国古代数学著作增删算法统宗记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托. 折回索子却量竿，却比竿子短一托”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长 5 尺； 如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺.求绳索长和竿长. 【答案】绳索长为 20 尺，竿长为 15
2、 尺. 【解析】 设绳索长、竿长分别为尺，尺， 依题意得： = + 5 2 = 5 解得： = 20， = 15. 答：绳索长为 20 尺，竿长为 15 尺. 总结：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键总结：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键 （2 2）不定方程的应用）不定方程的应用 例 2：某中学七年级有 350 名同学去春游，已知 2 辆 A 型车和 1 辆 B 型车可以载学生 100 人，1 辆 A 型车和 2 辆 B 型车可以载学生 110 人. （1）A、B 型车每辆可分别载学生多少人？ （2）
3、若租一辆 A 需要 400 元，一辆 B 需 600 元，请你设计租车方案，使得恰好运送完学生并且租车费用最 少. 【答案】 （1）A 型车每辆可载学生 30 人，B 型车每辆可载学生 40 人； （2）租 9 辆 A 型车，租 2 辆 B 型车. 【解析】 (1)设每辆 A 型车、B 型每辆可载学生 x 人、y 人， 依题意列方程组得： 2 + = 100 + 2 = 110， 解方程组,得： = 30 = 40， 答：A 型车每辆可载学生 30 人，B 型车每辆可载学生 40 人； (2)结合题意和(1)得：30 + 40 = 350， = 354 3 ， a、b 都是正整数 = 9 =
4、2 或 = 5 = 5 或 = 1 = 8 方案一：A 型车 9 辆，B 型车 2 辆； 方案二：A 型车 5 辆，B 型车 5 辆； 方案三：A 型车 1 辆，B 型车 8 辆， ,A 型车每辆需租金 400 元，B 型车每辆需租金 600 元， 方案一需租金：9400+2600=4800(元) 方案二需租金：5400+5600=5000(元) 方案三需租金：1400+8600=5200(元) 520050004800， 最省钱的租车方案是方案三：租 9 辆 A 型车，租 2 辆 B 型车. 总结：考查二元一次方程组的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键总结：考查二元一次方程组的
5、应用，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键. . （3 3）二元一次方程组的综合应用）二元一次方程组的综合应用 例 3：下表为某主题公园的几种门票价格，李三同学用 1600 元作为购买门票的资金. 门票种类 指定日普通票 平日普通票 夜票 票价(元/张) 200 160 100 (1)李三若用全部资金购买“指定日普通票”和“夜票”共 10 张，则“指定日普通票”和“夜票”各买多 少张？ (2)李三若想用全部资金购买“指定日普通票”“平日普通票”和“夜票”共 10 张(每种至少一张)，请你 帮他设计应如何购买？ 【答案】(1)购买“指定日普通票”6 张，“夜票”4 张；(2)购买“指定日普
6、通票”3 张，“平日普通票”5 张，“夜票”2 张. 【解析】 (1)解：设购买“指定日普通票”x 张，“夜票”y 张， 由题意得， + = 10 200 + 100 = 1600 解得： = 6 = 4 ， 答：购买“指定日普通票”6 张，“夜票”4 张 (2)设李三购买“指定日普通票”a 张，“平日普通票”b 张， 则“夜票”为(10-a-b)张，由题意得， 200a+160b+100(10-a-b)=1600 b=305 3 , a、b 均为正整数，且每种至少一张， a=3，b=5，10-a-b=2， 即李三购买“指定日普通票”3 张，“平日普通票”5 张，“夜票”2 张. 总结：考查二
7、元一次方程组的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系列出方程是解题的关键总结：考查二元一次方程组的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系列出方程是解题的关键 三、练习题 1一辆汽车从 A 地出发，向东行驶，途中要经过十字路口 B，在规定的某一段时间内，若车速为每小时 60 千米，就能驶过 B 处 2 千米；若每小时行驶 50 千米，就差 3 千米才能到达 B 处，设 A、B 间的距离为 x 千 米，规定的时间为 y 小时，则可列出方程组是( ) A60 = 2 = 3 50 B60 = 2 50 = 3 C60 = + 2 50 = 3 D60 = 2 50 = + 3 【答案】C 【解析】 解：
8、设 A、B 间的距离为 x 千米，规定的时间为 y 小时， 由题意得，60 = + 2 50 = 3 故选：C 2明代数学家程大位的算法统宗中有这样一个问题,其大意为:有一群人分银子，如果每人分七两,则 剩余四两；如果每人分九两,则还差八两。若设有银子两，共有人,依据题意可列得方程组（ ）(注: 明代时一斤=16 两,故有“半斤八两”这个成语） A7 = + 4 9 + 8 = B7 = 4 9 = 8 + C7 + 4 = 9 8 = D7 = + 4 9 = 8 + 【答案】B 【解析】 设银子有 x 两，共有 y 人，由题意可知：7 = 4 9 = + 8 ， 故选：B 3某商店有方形、
9、圆形两种巧克力，小明如果购买 3 块方形和 5 块圆形巧克力，他带的钱会差 8 元，如果 购买 5 块方形和 3 块圆形巧克力，他带的钱会剩下 8 元.若他只购买 8 块方形巧克力，则他会剩下（ ） 元 A8 B16 C24 D32 【答案】D 【解析】 解：设每块方形巧克力 x 元，每块圆形巧克力 y 元，则小明身上的钱有（3x+5y-8）元或（5x+3y+8）元 由题意，可得 3x+5y-8=5x+3y+8， ， 化简整理，得 y-x=8 若小明最后购买 8 块方形巧克力，则他身上的钱会剩下： （5x+3y+8）-8x=3（y-x）+8 =38+8 =32（元） 故选：D 4九章算术中记载
10、：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？” 其大意是：今有人合伙买羊，若每人出 5 钱，还差 45 钱；若每人出 7 钱，还差 3 钱，问合伙人数、羊价各 是多少？设合伙人数为 x 人，羊价为 y 钱，根据题意，可列方程组为( ) Ay = 7x + 3 y=5x+45 By = 7x + 3 y=5x45 Cy = 7x 3 y=5x+45 Dy = 7x 3 y=5x45 【答案】A 【解析】 解：设合伙人数为 x 人，羊价为 y 钱，根据题意，可列方程组为：y = 7x + 3 y=5x+45 故选：A 5 九章算术中有这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知
11、其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱 亦五十，问甲、乙持钱各几何？”题意为：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给 甲， 则甲的钱数为 50； 而甲把其2 3的钱给乙， 则乙的钱数也能为 50， 问甲、 乙各有多少钱？设甲的钱数为 x， 乙的钱数为 y，则列方程组为（ ） A x + 1 2y = 50 y + 2 3x = 50 B y + 1 2y = 50 x + 2 3x = 50 C x 1 2y = 50 y 2 3x = 50 D y 1 2y = 50 x 2 3x = 50 【答案】A 【解析】 解：设甲的钱数为 x，乙的钱数为 y， 依题意，得： + 1
12、2 = 50 + 2 3 = 50 故选：A 6 如图所示是由截面为同一种矩形的墙砖粘贴的部分墙面， 其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高 10cm， 两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低 40cm，则每块墙砖的截面面积是（ ） A425cm 2 B525cm 2 C600cm 2 D800cm 2 【答案】B 【解析】 解：设每块墙砖的长为 xcm，宽为 ycm， 根据题意得： + 103 22 + 40 ， 解得：35 15 ， 则每块墙砖的截面面积是 3515=525cm2， 故选：B 7我国古代数学著作孙子算经中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之， 不足一尺，问木
13、长几何？”大致意思是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木 条，木条剩余 1 尺，问木条长多少尺？”，设绳子长 x 尺，木条长 y 尺，根据题意所列方程组正确的是( ) A x y = 4.5 1 2x y = 1 Bx y = 4.5 y 1 2x = 1 Cx + y = 4.5 y 1 2x = 1 Dx y = 4.5 x 1 2y = 1 【答案】B 【解析】 设绳子长 x 尺，木条长 y 尺，依题意有 = 4.5 1 2 = 1 故选 B 8如图，其中(a)(b)中天平保持左右平衡，现要使(c)中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码的克 数为（ ） A25
14、 克 B30 克 C40 克 D50 克 【答案】C 【解析】 解：设一个圆形重 x 克，一个三角形重 y 克，由题意，得：2 + 3 = 80 3 + 2 = 70 ， 解得： = 10 = 20 ， 2x+y=40 故选 C 9有一满池水，池底有泉水总能均匀地向外漏流，已知用 24 部A型抽水机，6 天可抽干池水；若用 21 部 A型抽水机 8 天也可抽干池水设每部抽水机单位时间的抽水量相同，要使这一池水永远抽不干，则至多只 能用多少部A型抽水机抽水( ) A13 B12 C11 D10 【答案】B 【解析】 以设水池有水为 x 升，泉每天流水 y 升，A 型抽水机每台每天抽水 z 升，根
15、据 24 部 A 型抽水机 6 天可抽干 池水，若用 21 部 A 型抽水机 8 天也可抽干池水可列出两个关于未知数的方程，求方程组的解可得到 yz 之 间的关系，即可得解 则 + 6 = 24 6, + 8 = 21 8, 解得 y12z. 即泉水每天的流量相当于 12 台抽水机的流量，用 12 台抽水机抽水那么池永远抽不干的 故选：B. 12一片牧场上的草长得一样快，已知 60 头牛 24 天可将草吃完，而 30 头牛 60 天可将草吃完那么，若 在 120 天里将草吃完，则需要几头牛( ) A16 B18 C20 D22 【答案】C 【解析】 设草一天增加量是 a，每头牛每天吃的草的量是
16、 b，原有草的量是 c. 根据题意，得60 2424， 30 6060， 解得 = 10, = 1200. 则若在 120 天里将草吃完，则需要牛的头数是+120 120 20.故选 C. 13 如图， 10 块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形， 设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米， 则列出的方程组为_ 【答案】 + 2 = 75 = 3 【解析】 根据图示可得 + 2 = 75 = 3 ， 故答案是： + 2 = 75 = 3 14甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步，如果甲乙同时同地出发，反向而行，每隔 2 分钟相遇一 次；如果甲乙同时同地出发，同向而行，每隔 6 分钟相遇一次
17、.则甲每分钟跑_圈. 【答案】1 3或 1 6 【解析】 解：设甲每分跑 x 圈，乙每分跑 y 圈， 当甲比乙跑的快时， 根据题意得：2( + )1 6( )1 ， 解得： = 1 3 = 1 6 . 当乙比甲跑的快时， 根据题意得：2( + )1 6( )1 解得： = 1 6 = 1 3 . 则甲每分钟跑1 3或 1 6圈. 14某人在电车路轨旁与路轨平行的路上骑车行走，他留意到每隔 6 分钟有一部电车从他后面驶向前面， 每隔 2 分钟有一部电车从对面驶向后面假设电车和此人行驶的速度都不变（分别为 u1, u2表示） ，请你根 据下面的示意图，求电车每隔_分钟（用 t 表示）从车站开出一部
18、. 【答案】3 【解析】 解：由题意可得6(1 2) = 1 2(1+ 2) = 1 ，用减去可得，41 82 = 0，解得1= 22， 则可得6(22 2) = 22，即 t=3 分钟. 故答案为：3. 15为了保护环境，某公交公司决定购买 A、B 两种型号的全新混合动力公交车共 10 辆，其中 A 种型号每 辆价格为 a 万元， 每年节省油量为2.4万升； B 种型号每辆价格为 b 万元， 每年节省油量为2.2万升： 经调查， 购买一辆 A 型车比购买一辆 B 型车多 20 万元，购买 2 辆 A 型车比购买 3 辆 B 型车少 60 万元 (1)请求出 a 和 b； (2)若购买这批混合
19、动力公交车每年能节省22.4万升汽油，求购买这批混合动力公交车需要多少万元？ 【答案】 （1） = 120 = 100 ； （2）购买这批混合动力公交车需要 1040 万元 【解析】 解：(1)根据题意得：3b 2a = 60 ab=20 ， 解得：b = 100 a=120 ; (2)设 A 型车购买 x 台，B 型车购买 y 台， 根据题意得：2.4x + 2.2y = 22.4 x+y=10 ， 解得：y = 8 x=2 ， 120 2 + 100 8 = 1040(万元) 答：购买这批混合动力公交车需要 1040 万元 16我国古代数学著作九章算术中有一道阐述“盈不足术”的问题，译文为
20、：“现有几个人共同购买 一个物品，每人出 8 元，则多 3 元；每人出 7 元，则差 4 元问这个物品的价格是多少元？” 【答案】这个物品的价格是 53 元 【解析】 设共有 x 个人合买物品，该物品的价格是 y 元， 依题意，得： 8 3 = 7 + 4 = , 解得： = 7 = 53. 答：这个物品的价格是 53 元 17小林在某商店购买商品 A，B 共三次，只有其中一次购买时，商品 A，B 同时打折，其余两次均按标价 购买，三次购买商品 A、B 的数量和费用如表所示， 购买商品 A 的数量/个 购买商品 B 的数量/个 购买总费用/元 第一次购物 6 5 1140 第二次购物 3 7
21、1110 第三次购物 9 8 1062 （1）在这三次购物中，第 次购物打了折扣； （2）求出商品 A、B 的标价； （3）若商品 A、B 的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？ 【答案】 （1）三； （2）商品 A 的标价为 90 元，商品 B 的标价为 120 元； （3）商店是打 6 折出售这两种商品 的 【解析】 解： （1）小林以折扣价购买商品 A、B 是第三次购物 故答案为：三； （2）设商品 A 的标价为 x 元，商品 B 的标价为 y 元， 根据题意，得6 + 5 = 1140 3 + 7 = 1110 ， 解得： = 90 = 120 答：商品 A 的标价为 90 元，
22、商品 B 的标价为 120 元； （3）设商店是打 a 折出售这两种商品， 由题意得， （990+8120） 101062， 解得：a6 答：商店是打 6 折出售这两种商品的 18我市某校计划购买甲、乙两种树苗共 1200 株用以绿化校园，已知甲种树苗每株 25 元，乙种树苗每株 30 元，若购买树苗共用去 33500 元，则甲、乙两种树苗各购买了多少株？ 【答案】购买甲种树苗 500 株，乙种树苗 700 株 【解析】 设购买甲种树苗 x 株，乙种树苗 y 株 根据题意，得 + = 1200 25+30y=33500 ， 解这个方程组得 = 500 = 700 答：购买甲种树苗 500 株，
23、乙种树苗 700 株 19某水果店计划进 A，B 两种水果共 140 千克，这两种水果的进价和售价如表所示 进价(元/千克) 售价(元/千克) A 种水果 5 8 B 种水果 9 13 (1)若该水果店购进这两种水果共花费 1020 元，求该水果店分别购进 A，B 两种水果各多少千克？ (2)在(1)的基础上， 为了迎接春节的来临， 水果店老板决定把 A 种水果全部八折出售， B 种水果全部降价10% 出售，那么售完后共获利多少元？ 【答案】(1) 购进 A 种水果 60 千克，B 种水果 80 千克;(2)300 元. 【解析】 （1）设该水果店购进 A 种水果 x 千克，B 种水果 y 千
24、克，依题意，得： + = 140 5 + 9 = 1020 解得： = 60 = 80 答：该水果店购进 A 种水果 60 千克，B 种水果 80 千克 （2）80.860+13（110%）801020=300（元） 答：售完后共获利 300 元 20古代有这样一个寓言故事：驴子和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的.驴 子抱怨负担太重，骡子说：你抱怨干吗？如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍.如果我给你一袋， 我们才恰好驮的一样多！”求驴子和骡子原来所驮货物分别为多少袋？ 【答案】驴子 5 袋，骡子 7 袋. 【解析】 解：设驴子原来所驮货物是 x 袋，骡子原来所驮货
25、物是 y 袋 由题意得2( 1) = + 1 + 1 = 1 ， 解得 = 5 = 7 ， 答：驴子原来所驮货物是 5 袋，骡子原来所驮货物是 7 袋 故答案为：驴子 5 袋，骡子 7 袋 21某铁件加工厂用如图所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示 的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器.（加工时接缝材料不计） （1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各 1 个，则共需要长方形铁片多少张，正方形铁片多少张. （2）现有长方形铁片 2017 张，正方形铁片 1178 张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加 工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ （3）把长方
26、体铁容器加盖可以加工成为铁盒.现用 35 张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板 可做成 3 个长方形铁片或 4 个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出 1 个长方形铁片和 2 个正方形铁片.若充 分利用这些铁板加工成铁盒，则最多可以加工成多少个铁盒？ 【答案】 （1）共需要长方形铁片 7 张，正方形铁片 3 张； （2）加工的竖式容器有 100 个，横式容器有 539 个； （3）最多可做 19 个. 【解析】 （1）共需要长方形铁片 7 张，正方形铁片 3 张. （2）设加工的竖式容器有个，横式容器有个. 4 + 3 = 2017 + 2 = 1178 ， 解得 = 100 = 539
27、 . 加工的竖式容器有 100 个，横式容器有 539 个. （3）设做长方形铁片的铁板为块，做正方形铁片为铁板为块. + = 35 3 = 2 4 ，解得 = 25 5 11 = 9 6 11 ， 在这 35 块铁板中，25 块做长方形铁片可做25 3 = 75张，9 块做正方形铁片可做9 4 = 36张，剩下 1 块可裁出 1 张长方形铁片和 2 张正方形铁片， 共做长方形铁片75 + 1 = 76张， 正方形铁片36 + 2 = 38张， 可做铁盒76 4 = 19个.最多可做 19 个. 22某一天，水果经营户老张用 1600 元从水果批发市场批发猕猴桃和芒果共 50 千克，后再到水果
28、市场去 卖，已知猕猴桃和芒果当天的批发价和零售价如表所示： 品名 猕猴桃 芒果 批发价(元/千克) 20 40 零售价(元/千克) 26 50 (1)他购进的猕猴桃和芒果各多少千克？ (2)如果猕猴桃和芒果全部卖完，他能赚多少钱？ 【答案】 （1）购进猕猴桃 20 千克，购进芒果 30 千克； （2）能赚 420 元钱 【解析】 (1)设购进猕猴桃 x 千克，购进芒果 y 千克， 根据题意得：20 + 40 = 1600 +=50 ， 解得： = 30 =20 答：购进猕猴桃 20 千克，购进芒果 30 千克 (2)26 20 + 50 30 1600 = 420(元) 答：如果猕猴桃和芒果全
29、部卖完，他能赚 420 元钱 23一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去租用这两种货车情况 如下： 第一次 第二次 甲种货车数量 2 辆 5 辆 乙种货车数量 3 辆 6 辆 累计运货重量 14 吨 32 吨 (1)分别求甲、乙两种货车载重多少吨？ (2)现在租用该公司 5 辆甲货车和 7 辆乙货车一次刚好运完这批货物，如果按每吨付费 50 元计算，货主应 付运费多少元？ 【答案】(1)甲、乙两种货车载重分别为 4 吨和 2 吨；(2)现在租用该公司 5 辆甲货车和 7 辆乙货车一次刚 好运完这批货物，如果按每吨付费 50 元计算，货主应付运费 1700 元.
30、【解析】 (1)设甲种货车每辆载重 x 吨，乙种货车每辆载重 y 吨，则 2 + 3 = 14 5 + 6 = 32， 解之得 = 4 = 2. 答：甲种货车每辆载重 4 吨，乙种货车载重 2 吨. (2)45+27=34(吨),3450=1700(元). 答：货主应付运费 1700 元. 24宁宁同学拿了一个天平，测量饼干与糖果的质量(每块饼干的质量都相同，每颗糖果的质量都相同).第 一次：左盘放两块饼干，右盘放三颗糖果，结果天平平衡；第二次，左盘放 10 克砝码，右盘放一块饼干和 一颗糖果，结果天平平衡：第三次：左盘放一颗糖果，右盘放一块饼干，此时若要使天平再度平衡，需要 在哪边再放上多少
31、克的砝码？ 【答案】此时若要使天平再度平衡，需要在左边再放上 2 克的砝码 【解析】 解：设饼干的质量为 x 克，糖果的质量为 y 克， 根据题意得： 2x= 3y x+y = 10 ， 解得： = 6 = 4, 即饼干的质量为 6 克，糖果的质量为 4 克， 6 4 = 2(克) 若左盘放一颗 4 克的糖果，右盘放一块 6 克的饼干，要使天平平衡，需要在左边再放上 2 克的砝码， 答：此时若要使天平再度平衡，需要在左边再放上 2 克的砝码 25新房装修后,甲居民购买家居用品的清单如下表,因污水导致部分信息无法识别,根据下表解决问题: 家居用品名 称 单价 (元) 数量 (个) 金额 (元)
32、挂钟 30 2 60 垃圾桶 15 塑料鞋架 40 艺术饰品 a 2 90 电热水壶 35 1 b 合计 8 280 (1)直接写出 a= ,b= ; (2)甲居民购买了垃圾桶,塑料鞋架各几个? (3)若甲居民再次购买艺术饰品和垃圾桶两种家居用品,共花费 150 元,则有哪几种不同的购买方案? 【答案】 （1）45， 35； （2）1 个，2 个； （3）答案见解析. 【解析】 （1）a=902=45,b=351=35; （2）设甲居民购买了垃圾桶 x 个,塑料鞋架 y 个, 依题意,得 + = 3, 15 + 40 = 95, 解得 = 1, = 2. 答:甲居民购买了垃圾桶 1 个,塑料鞋架 2 个. （3）设甲居民购买了艺术饰品 z 个,垃圾桶 w 个依题意，得： 45z+15w=150,则 w=10-3z. 因为 z,w 都是正整数, 所以当 z=1 时,w=7, 当 z=2 时,w=4,当 z=3 时,w=1, 故有 3 种购买方案:购买艺术饰品 1 个,垃圾桶 7 个;购买艺术饰品 2 个,垃圾桶 4 个;购买艺术饰品 3 个,垃圾桶 1 个.
