1、第十一讲 正反比例的概念与应用 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 本讲我们来学习两种特殊的数量关系：正比例关系和反比例关系 看到题目你一定很好奇什么才是正比例关系？什么才是反比例关系呢？我们先来看一 个具体的例子 某汽车行驶的时间和路程如下表： 时间/h 1 2 3 4 5 6 路程/km 80 160
2、240 320 400 480 同学们可以考虑这样几个问题： 表中有哪两个量？它们是不是有关联的？写出几组这两 种量的比，并比较比值的大小说一说这个比值表示什么？ 从表中我们可以看出，路程和时间都是变化的量，并且时间越大，路程也越大，它们的 比值是一定的 像这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，如果两种量相对应的两 个数的比值（也就是商）一定比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量成正比例的量，它们的关系叫做成正比例成正比例 关系关系，或者简写为成正比成正比 我们再来看另外一个例子： 王老师买来一些巧克力，准备分给同学们 学生数/人 20 30 40 60 120 每人
3、分得的巧克力数/块 6 4 3 2 1 从表中我们可以看出， 学生数和每个人分得的巧克力数都是变化的量， 并且学生数越多， 每人分得的巧克力数就越少，它们的乘积是一定的 像这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，如果两种量相对应的两个 数的乘积一定乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量成反比例的量，它们的关系叫做成反比例关系成反比例关系，或者简写 为成反比成反比 在实际应用过程中，我们常常用到这样一些结论如果两个量成正比，例如： 总价单价 数量， 当单价一定的时候， 总价比等于数量比， 即 1212 :总价总价数量数量 如 果两个量成反比，例如：路程速度 时间，当路程一定的时候，速
4、度比等于时间比反过来， 即 1221 :vvtt - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 1 （1）阿呆和阿瓜， 一起去超市买可乐，可乐的价钱相同 阿呆买了 12 瓶， 阿瓜买了 15 瓶， 问阿呆和阿瓜所花的钱数比为_ （2）灰太狼和红太狼从狼堡去羊村，红太郎用了 18 分钟，灰太狼只用了 12
5、 分钟，问红太 狼和灰太郎的速度比为_ （3）小高、墨莫和卡莉娅三人一起去爬灵山，从山脚出发，约好在山顶见面小高从山脚 爬到山顶用了 40 分钟，墨莫和卡莉娅分别用了 1 小时 20 分钟和 120 分钟，问小高、墨莫和 卡莉娅的速度比为_ 分析：题目中的各个量之间是成正比例还是反比例关系？ 练习 1 （1）喜羊羊和沸羊羊进行百米赛跑，喜羊羊跑完全程用了 10.5 秒，沸羊羊用了 12 秒，问 喜羊羊和沸羊羊的速度比为_ （2）甲、乙、丙三人各自独立做同一件工程，效率比为 2:3:4，那么完成的时间比为 _ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
6、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 齿轮在机械装置中是很常见的一种零件， 如图是钟表中的一些齿轮图 如果两个齿轮 A、 B 相互咬合，那么齿轮 A 的齿数乘以齿轮 A 转过的圈数等于齿轮 B 的齿数乘以齿轮 B 转过 的圈数即两个相互咬合的齿轮它们的齿数比与圈数比成反比 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
7、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 钟表中的齿轮 1 钟表中的齿轮 2 例题 2 如图，有 A、B、C 三个齿轮，其中 A 和 B 相互咬合，B 和 C 相互咬合如果 A 齿轮转动 7 圈时，B 齿轮恰好转动 5 圈；B 齿轮转动 7 圈时，C 齿轮恰好转动 10 圈请问：这三个齿 轮的齿数之比是多少？（注：图片只是示意图，并不代表实际齿数） 分析：观察图形，当两个齿轮相互咬合的时候，它们的齿数和转动圈数有什么关系？ 练习 2 有 A、 B、 C 三个齿轮， 其中A 和 B 相互咬合， B 和 C 相互咬合 这三个齿轮的齿数之比 3:4:5
8、 当 A、C 两个齿轮一共转动 64 圈时，B 齿轮一共转动了多少圈？ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 利用正反比，我们常常可以解决一些生活中的问题，下面我们来看看这样的题目 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
9、- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 3 一天，卡莉娅拿着妈妈给她的钱去超市买苹果，平时每斤苹果 5 元钱，当她到超市的时候发 现，由于打折促销，苹果变为每斤 4 元钱，于是卡莉娅多买了 3 斤苹果问妈妈给了卡莉娅 多少钱？ 分析：卡莉娅带的钱是固定的，那么苹果的价格和重量之间有什么关系？ 练习 3 一个旅游团租车出游，平均每人应付车费 40 元后来又增加了 8 人，这样每人应付的车费 是 35 元总租车费是多少元？ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
10、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 在行程问题中，速度时间路程当路程一定时，时间和速度成反比与之类似的， 在工程问题中， 效率时间工作量 当工作量一定时， 时间和效率成反比 正反比在行程、 工程问题中有着广泛的应用 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
11、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - A C B 例题 4 小高从家去高思学校，可以骑车也可以步行，骑车比步行每分钟快 150 米，骑车所用的时间 比步行时间少 3 5 ，那么小高每分钟步行多少米？ 分析：当行驶路程固定的时候，如何把速度的变化与时间的变化联系起来呢？ 练习练习 4 完成一件工程， 甲的工作效率比乙的工作效率高 2 7 ， 单独做， 甲比乙少用 4 天完成整件工程， 问乙单独完成这件工程用多少天？ 例题 5 墨莫最近在看文学名著战争与和平 ，计划 20 天看完实际上，在看了 500 页之后，由于 情节精
12、彩，每天比原来多看了 1 4 ，结果提前 3 天看完全书问这本书共有多少页？ 分析：书的页数是固定的，那么每天看的页数和看书的天数之间有什么关系？ 例题 6 某工程，可由若干台机器在规定的时间内完成如果增加 2 台机器，则只需用规定时间的 7 8 就可做完；如果减少 2 台机器，那么就要推迟 1 小时做完则由一台机器去完成这工程需要 多长时间？ 分析：工作总量是固定的，那么如何把工作效率的变化与工作时间的变化联系起来呢？ 谚语的智慧 节选自怎样解题乔治波利亚 解题是人类的一项基本活动 有些人在达到目标和解答题目方面比较成功， 另一些则没 有那么成功这些差异被注意到了，并进行了探讨和评论，某些谚
13、语看来保留了这种评论的 精华 1. 我们解题时必须做的第一件事是理解题目： 知敌方能应敌 我们必须清楚地看到我 们所要达到的目的：想清目标再动手这是老生常谈了，不幸的是，并非每个人都听从这样 一条好的建议， 人们常常在还没有真正理解他们所应该努力的目标之前， 就开始推测、 谈论， 甚至鲁莽行事愚者只看脚下，智者紧盯目标 然而光理解题目是不够的，我们还必须渴望求出它的解答如果没有强烈的解题愿望， 我们就不可能解出一道难题，只有具备这样的愿望，才有可能解出它有志者事竟成 2. 设计一个方案，构思一条适当行动的思路，是解题中的主要成就 一个好的思路是一个好运、一个灵感、一份神赐的礼物，我们必须受之无
14、愧：勤勉是幸 运之母坚持就是胜利一口吃不成胖子出师不利，再三尝试然而反复尝试是不够的， 我们必须试着用不同的方法，变化我们的尝试千方百计条条大路通罗马 3. 我们应该在适当的时候，即在我们的方案成熟的时候，才开始执行它，而不要提 前我们不能轻率行事三思而后行试验在先，相信在后巧施援手，确保安全另一方 面， 我们也不应犹豫太久 不入虎穴， 焉得虎子 做最可能的事， 抱最大的希望 全力以赴， 天助人愿 4. 回顾已经完成的解答是工作中的一个重要且有启发性的阶段 不爱再思索的人， 必 定不善思索多思出上策 重新检验解答后，我们可能会对结果更加坚信但必须向初学者指出，这种额外的验证 是有价值的，两个证
15、明要比一个好抛两个锚停泊更安全 不要相信一切，只怀疑值得怀疑的 当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看；它们总是成群生长 谚语，体现了人们的智慧与高尚 作业1. 小灰灰和喜羊羊同时从羊村出发去狼村，小灰灰的速度为 16 米/秒，喜羊羊的速度 为 12 米/秒，问小灰灰和喜羊羊所用的时间比是多少？ 作业2. 小小、红红、豆豆三人各自独立做同一件工作，分别用时 10 分钟、20 分钟、30 分钟，那么他们的效率比是多少？ 作业3. 有 A、B、C 三个齿轮，其中 A 和 B 相互咬合，B 和 C 相互咬合如果 A 齿轮转动 3 圈，B 齿轮恰好转动 5 圈；B 齿轮转动 6 圈，C 齿轮
16、恰好转动 4 圈请问：这三个齿 轮的齿数之比是多少？ 作业4. 一天，小高拿着爸爸给他的钱去超市买可乐，平时每瓶可乐 3.5 元钱，当他到超市 的时候，正巧碰到优惠活动，可乐变为每瓶 3 元钱，于是小高多买了 1 瓶可乐那么爸 爸给了小高多少钱？ 作业5. 小东每天步行上下学，去的时候每秒走 2 米，回来的时候每秒走 1.2 米，上下学共 用时 24 分钟，那么小东家到学校的距离是多少米？ 第十一讲 正反比例的概念与应用 例题1. 答案： （1）4:5 （2）2:3 （3）6:3:2 详解：小高、墨莫和卡莉娅三人所用时间比为40:80:1201:2:3，所行路程相同，可设为“6”份， 由此可得
17、速度比为 6:3:2 例题2. 答案：50:70:49 详解： 相互咬合的齿轮， 它们的齿数与圈数成反比 A、 B 两个齿轮它们的圈数比为 7:5， 齿数比为 5:7， B、 C 两个齿轮它们的圈数比为 7:10， 齿数比为 10:7， 由此可得 A、 B、 C 三个齿轮的齿数比为 50:70:49 例题3. 答案：60 元 详解：卡莉娅所带的钱数一定，因此所购买苹果的单价与斤数成反比打折前后的单价比为 5:4，则 斤数比为 4:5， “1”份对应的是 3 斤，打折前可购买 12 斤，打折后可购买 15 斤，妈妈给了卡莉娅 60 元钱 例题4. 答案：100 米 详解：设步行的时间为“5”份，
18、骑车所用的时间比步行时间少 3 5 ，则骑车所用的时间为“2”份骑 车与步行的时间比为 2:5，则速度比为 5:2又知骑车比步行每分钟快 150 米，则“1”份为 150(52)50米/分，步行速度为 100 米/分 例题5. 答案：2000 页 详解：如下图，先比较看了 500 页之后的情况实际效率比计划提高 1 4 ，设计划效率为“4”份，则 实际效率为“5”份效率比为 4:5，时间比为 5:4，3 天对应“1”份，计划用时 15 天这 15 天是看 完 500 页后的计划时间， 而全书计划看 20 天， 因此看 500 页计划用 5 天， 每天看 100 页， 全书共 2000 页 例题
19、6. 答案：84 详解：首先可以明确每台机器的效率一样，机器越多则效率越高从第一个条件可知，完成相同的工 作量， 增加机器前后的时间比为 8:7， 则效率比为 7:8 机器的台数与效率成正比， 因此台数比也为 7:8， 2 台机器对应一份，实际上有 14 台机器如果减少 2 台的话，还剩下 12 台机器台数比为 14:12，即 7:6，那么效率比也为 7:6，时间比为 6:7，1 小时对应“1”份，减少前用时 6 小时，即完成这件工程 14 台机器需工作 6 小时，则 1 台机器需工作 84 小时 计划 效率提高 1 4 ，提前 3 天 开始看书 实际 看完全书 500 页 练习1. 答案：
20、（1）8:7； （2）6:4:3 简答： （1）喜羊羊和沸羊羊用的时间比是 10.5:12=7:8，那么速度比是 8:7； （2）设这件工程的工作量为 12 份，那么三人完成工程所用的时间比为 12 12 12 :6:4:3 234 练习2. 答案：30 简答：三个齿轮的齿数之比为 3:4:5，设转过的长度为“60” ，由此可得圈数比为 20:15:12A、C 两个 齿轮一共转动 64 圈，由此可求出“1”份对应 2 圈，B 齿轮一共转动了 30 圈 练习3. 答案：2240 简答：总租车费不变，每人应付车费和人数成反比前后应付车费之比是 40:35=8:7，那么人数之比 为 7:8由此可知原
21、来有 56 人，后来变成 64 人总租车费为40 562240元 练习4. 答案：18 简答：甲乙的工作效率之比是 9:7完成同一件工程，两人所需的时间之比是 7:9那么乙单独完成需 要497918天 作业1. 答案：3:4 简答：路程一定，时间与速度成反比 作业2. 答案：6:3:2 简答：工作量之比为 1:1:1，时间比为 1:2:3效率比为 6:3:2 作业3. 答案：10:6:9 简答：互相咬合的齿轮转过的齿数是相同的，所以齿数与圈数成反比A 与 B 的齿数比为 5:3，B 与 C 的齿数比为 2:3，那么三个齿轮齿数之比为 10:6:9 作业4. 答案：21 简答：总钱数不变，单价与瓶数成反比单价比为 7:6，可知瓶数比为 6:7那么本来可以买 6 瓶，小 高带了 21 元 作业5. 答案：1080 简答：去与回的路程相同，所用时间与速度成反比去与回的时间比是 3:5，那么去用了 9 分钟，距 离为9 60 21080米
