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高斯小学奥数五年级下册含答案第11讲_正反比例的概念与应用

1、第十一讲 正反比例的概念与应用 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 本讲我们来学习两种特殊的数量关系:正比例关系和反比例关系 看到题目你一定很好奇什么才是正比例关系?什么才是反比例关系呢?我们先来看一 个具体的例子 某汽车行驶的时间和路程如下表: 时间/h 1 2 3 4 5 6 路程/km 80 160

2、240 320 400 480 同学们可以考虑这样几个问题: 表中有哪两个量?它们是不是有关联的?写出几组这两 种量的比,并比较比值的大小说一说这个比值表示什么? 从表中我们可以看出,路程和时间都是变化的量,并且时间越大,路程也越大,它们的 比值是一定的 像这样,两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随之变化,如果两种量相对应的两 个数的比值(也就是商)一定比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量成正比例的量,它们的关系叫做成正比例成正比例 关系关系,或者简写为成正比成正比 我们再来看另外一个例子: 王老师买来一些巧克力,准备分给同学们 学生数/人 20 30 40 60 120 每人

3、分得的巧克力数/块 6 4 3 2 1 从表中我们可以看出, 学生数和每个人分得的巧克力数都是变化的量, 并且学生数越多, 每人分得的巧克力数就越少,它们的乘积是一定的 像这样,两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随之变化,如果两种量相对应的两个 数的乘积一定乘积一定,这两种量就叫做成反比例的量成反比例的量,它们的关系叫做成反比例关系成反比例关系,或者简写 为成反比成反比 在实际应用过程中,我们常常用到这样一些结论如果两个量成正比,例如: 总价单价 数量, 当单价一定的时候, 总价比等于数量比, 即 1212 :总价总价数量数量 如 果两个量成反比,例如:路程速度 时间,当路程一定的时候,速

4、度比等于时间比反过来, 即 1221 :vvtt - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 1 (1)阿呆和阿瓜, 一起去超市买可乐,可乐的价钱相同 阿呆买了 12 瓶, 阿瓜买了 15 瓶, 问阿呆和阿瓜所花的钱数比为_ (2)灰太狼和红太狼从狼堡去羊村,红太郎用了 18 分钟,灰太狼只用了 12

5、 分钟,问红太 狼和灰太郎的速度比为_ (3)小高、墨莫和卡莉娅三人一起去爬灵山,从山脚出发,约好在山顶见面小高从山脚 爬到山顶用了 40 分钟,墨莫和卡莉娅分别用了 1 小时 20 分钟和 120 分钟,问小高、墨莫和 卡莉娅的速度比为_ 分析:题目中的各个量之间是成正比例还是反比例关系? 练习 1 (1)喜羊羊和沸羊羊进行百米赛跑,喜羊羊跑完全程用了 10.5 秒,沸羊羊用了 12 秒,问 喜羊羊和沸羊羊的速度比为_ (2)甲、乙、丙三人各自独立做同一件工程,效率比为 2:3:4,那么完成的时间比为 _ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

6、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 齿轮在机械装置中是很常见的一种零件, 如图是钟表中的一些齿轮图 如果两个齿轮 A、 B 相互咬合,那么齿轮 A 的齿数乘以齿轮 A 转过的圈数等于齿轮 B 的齿数乘以齿轮 B 转过 的圈数即两个相互咬合的齿轮它们的齿数比与圈数比成反比 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

7、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 钟表中的齿轮 1 钟表中的齿轮 2 例题 2 如图,有 A、B、C 三个齿轮,其中 A 和 B 相互咬合,B 和 C 相互咬合如果 A 齿轮转动 7 圈时,B 齿轮恰好转动 5 圈;B 齿轮转动 7 圈时,C 齿轮恰好转动 10 圈请问:这三个齿 轮的齿数之比是多少?(注:图片只是示意图,并不代表实际齿数) 分析:观察图形,当两个齿轮相互咬合的时候,它们的齿数和转动圈数有什么关系? 练习 2 有 A、 B、 C 三个齿轮, 其中A 和 B 相互咬合, B 和 C 相互咬合 这三个齿轮的齿数之比 3:4:5

8、 当 A、C 两个齿轮一共转动 64 圈时,B 齿轮一共转动了多少圈? - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 利用正反比,我们常常可以解决一些生活中的问题,下面我们来看看这样的题目 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

9、- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 3 一天,卡莉娅拿着妈妈给她的钱去超市买苹果,平时每斤苹果 5 元钱,当她到超市的时候发 现,由于打折促销,苹果变为每斤 4 元钱,于是卡莉娅多买了 3 斤苹果问妈妈给了卡莉娅 多少钱? 分析:卡莉娅带的钱是固定的,那么苹果的价格和重量之间有什么关系? 练习 3 一个旅游团租车出游,平均每人应付车费 40 元后来又增加了 8 人,这样每人应付的车费 是 35 元总租车费是多少元? - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

10、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 在行程问题中,速度时间路程当路程一定时,时间和速度成反比与之类似的, 在工程问题中, 效率时间工作量 当工作量一定时, 时间和效率成反比 正反比在行程、 工程问题中有着广泛的应用 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

11、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - A C B 例题 4 小高从家去高思学校,可以骑车也可以步行,骑车比步行每分钟快 150 米,骑车所用的时间 比步行时间少 3 5 ,那么小高每分钟步行多少米? 分析:当行驶路程固定的时候,如何把速度的变化与时间的变化联系起来呢? 练习练习 4 完成一件工程, 甲的工作效率比乙的工作效率高 2 7 , 单独做, 甲比乙少用 4 天完成整件工程, 问乙单独完成这件工程用多少天? 例题 5 墨莫最近在看文学名著战争与和平 ,计划 20 天看完实际上,在看了 500 页之后,由于 情节精

12、彩,每天比原来多看了 1 4 ,结果提前 3 天看完全书问这本书共有多少页? 分析:书的页数是固定的,那么每天看的页数和看书的天数之间有什么关系? 例题 6 某工程,可由若干台机器在规定的时间内完成如果增加 2 台机器,则只需用规定时间的 7 8 就可做完;如果减少 2 台机器,那么就要推迟 1 小时做完则由一台机器去完成这工程需要 多长时间? 分析:工作总量是固定的,那么如何把工作效率的变化与工作时间的变化联系起来呢? 谚语的智慧 节选自怎样解题乔治波利亚 解题是人类的一项基本活动 有些人在达到目标和解答题目方面比较成功, 另一些则没 有那么成功这些差异被注意到了,并进行了探讨和评论,某些谚

13、语看来保留了这种评论的 精华 1. 我们解题时必须做的第一件事是理解题目: 知敌方能应敌 我们必须清楚地看到我 们所要达到的目的:想清目标再动手这是老生常谈了,不幸的是,并非每个人都听从这样 一条好的建议, 人们常常在还没有真正理解他们所应该努力的目标之前, 就开始推测、 谈论, 甚至鲁莽行事愚者只看脚下,智者紧盯目标 然而光理解题目是不够的,我们还必须渴望求出它的解答如果没有强烈的解题愿望, 我们就不可能解出一道难题,只有具备这样的愿望,才有可能解出它有志者事竟成 2. 设计一个方案,构思一条适当行动的思路,是解题中的主要成就 一个好的思路是一个好运、一个灵感、一份神赐的礼物,我们必须受之无

14、愧:勤勉是幸 运之母坚持就是胜利一口吃不成胖子出师不利,再三尝试然而反复尝试是不够的, 我们必须试着用不同的方法,变化我们的尝试千方百计条条大路通罗马 3. 我们应该在适当的时候,即在我们的方案成熟的时候,才开始执行它,而不要提 前我们不能轻率行事三思而后行试验在先,相信在后巧施援手,确保安全另一方 面, 我们也不应犹豫太久 不入虎穴, 焉得虎子 做最可能的事, 抱最大的希望 全力以赴, 天助人愿 4. 回顾已经完成的解答是工作中的一个重要且有启发性的阶段 不爱再思索的人, 必 定不善思索多思出上策 重新检验解答后,我们可能会对结果更加坚信但必须向初学者指出,这种额外的验证 是有价值的,两个证

15、明要比一个好抛两个锚停泊更安全 不要相信一切,只怀疑值得怀疑的 当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后,再四处看看;它们总是成群生长 谚语,体现了人们的智慧与高尚 作业1. 小灰灰和喜羊羊同时从羊村出发去狼村,小灰灰的速度为 16 米/秒,喜羊羊的速度 为 12 米/秒,问小灰灰和喜羊羊所用的时间比是多少? 作业2. 小小、红红、豆豆三人各自独立做同一件工作,分别用时 10 分钟、20 分钟、30 分钟,那么他们的效率比是多少? 作业3. 有 A、B、C 三个齿轮,其中 A 和 B 相互咬合,B 和 C 相互咬合如果 A 齿轮转动 3 圈,B 齿轮恰好转动 5 圈;B 齿轮转动 6 圈,C 齿轮

16、恰好转动 4 圈请问:这三个齿 轮的齿数之比是多少? 作业4. 一天,小高拿着爸爸给他的钱去超市买可乐,平时每瓶可乐 3.5 元钱,当他到超市 的时候,正巧碰到优惠活动,可乐变为每瓶 3 元钱,于是小高多买了 1 瓶可乐那么爸 爸给了小高多少钱? 作业5. 小东每天步行上下学,去的时候每秒走 2 米,回来的时候每秒走 1.2 米,上下学共 用时 24 分钟,那么小东家到学校的距离是多少米? 第十一讲 正反比例的概念与应用 例题1. 答案: (1)4:5 (2)2:3 (3)6:3:2 详解:小高、墨莫和卡莉娅三人所用时间比为40:80:1201:2:3,所行路程相同,可设为“6”份, 由此可得

17、速度比为 6:3:2 例题2. 答案:50:70:49 详解: 相互咬合的齿轮, 它们的齿数与圈数成反比 A、 B 两个齿轮它们的圈数比为 7:5, 齿数比为 5:7, B、 C 两个齿轮它们的圈数比为 7:10, 齿数比为 10:7, 由此可得 A、 B、 C 三个齿轮的齿数比为 50:70:49 例题3. 答案:60 元 详解:卡莉娅所带的钱数一定,因此所购买苹果的单价与斤数成反比打折前后的单价比为 5:4,则 斤数比为 4:5, “1”份对应的是 3 斤,打折前可购买 12 斤,打折后可购买 15 斤,妈妈给了卡莉娅 60 元钱 例题4. 答案:100 米 详解:设步行的时间为“5”份,

18、骑车所用的时间比步行时间少 3 5 ,则骑车所用的时间为“2”份骑 车与步行的时间比为 2:5,则速度比为 5:2又知骑车比步行每分钟快 150 米,则“1”份为 150(52)50米/分,步行速度为 100 米/分 例题5. 答案:2000 页 详解:如下图,先比较看了 500 页之后的情况实际效率比计划提高 1 4 ,设计划效率为“4”份,则 实际效率为“5”份效率比为 4:5,时间比为 5:4,3 天对应“1”份,计划用时 15 天这 15 天是看 完 500 页后的计划时间, 而全书计划看 20 天, 因此看 500 页计划用 5 天, 每天看 100 页, 全书共 2000 页 例题

19、6. 答案:84 详解:首先可以明确每台机器的效率一样,机器越多则效率越高从第一个条件可知,完成相同的工 作量, 增加机器前后的时间比为 8:7, 则效率比为 7:8 机器的台数与效率成正比, 因此台数比也为 7:8, 2 台机器对应一份,实际上有 14 台机器如果减少 2 台的话,还剩下 12 台机器台数比为 14:12,即 7:6,那么效率比也为 7:6,时间比为 6:7,1 小时对应“1”份,减少前用时 6 小时,即完成这件工程 14 台机器需工作 6 小时,则 1 台机器需工作 84 小时 计划 效率提高 1 4 ,提前 3 天 开始看书 实际 看完全书 500 页 练习1. 答案:

20、(1)8:7; (2)6:4:3 简答: (1)喜羊羊和沸羊羊用的时间比是 10.5:12=7:8,那么速度比是 8:7; (2)设这件工程的工作量为 12 份,那么三人完成工程所用的时间比为 12 12 12 :6:4:3 234 练习2. 答案:30 简答:三个齿轮的齿数之比为 3:4:5,设转过的长度为“60” ,由此可得圈数比为 20:15:12A、C 两个 齿轮一共转动 64 圈,由此可求出“1”份对应 2 圈,B 齿轮一共转动了 30 圈 练习3. 答案:2240 简答:总租车费不变,每人应付车费和人数成反比前后应付车费之比是 40:35=8:7,那么人数之比 为 7:8由此可知原

21、来有 56 人,后来变成 64 人总租车费为40 562240元 练习4. 答案:18 简答:甲乙的工作效率之比是 9:7完成同一件工程,两人所需的时间之比是 7:9那么乙单独完成需 要497918天 作业1. 答案:3:4 简答:路程一定,时间与速度成反比 作业2. 答案:6:3:2 简答:工作量之比为 1:1:1,时间比为 1:2:3效率比为 6:3:2 作业3. 答案:10:6:9 简答:互相咬合的齿轮转过的齿数是相同的,所以齿数与圈数成反比A 与 B 的齿数比为 5:3,B 与 C 的齿数比为 2:3,那么三个齿轮齿数之比为 10:6:9 作业4. 答案:21 简答:总钱数不变,单价与瓶数成反比单价比为 7:6,可知瓶数比为 6:7那么本来可以买 6 瓶,小 高带了 21 元 作业5. 答案:1080 简答:去与回的路程相同,所用时间与速度成反比去与回的时间比是 3:5,那么去用了 9 分钟,距 离为9 60 21080米