1、第二十五讲 燕尾模型 之前我们学过等高三角形的比例关系，如下左图所示，ABC 被线段 AD 一分为二，且 有比例关系 12 :SSa b 如下右图所示，在增加了两条线段后，图中有 4 个小三角形，这 4 个小三角形的面积之 间的比例关系如图中所示 由于图中的阴影部分看起来很像燕子的尾巴， 所以这个图形我们形象的把它称为燕尾模 型阴影部分我们称之为燕尾形 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
2、- - - - - - - 例题 1 如图，AD=6，CD=14，三角形 ABE 的面积是 24，求三角形 BEC 的面积 分析分析 ABE BCE SAD SDC ，据此就可以求出BEC 的面积 练习 1 已知三角形 ABC 中，三角形 ABF 的面积是 60，三角形 AFC 的面积是 20，三角形 BFC 的面 积是 56，求三角形 BDF 和三角形 CDF 的面积 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
3、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 给出不同边上的比例关系，我们就可以用“燕尾模型”解决三角形面积的问题，下面我 们先看一个给出两个外比的问题 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - a b S1 S2 A B C D 1 2 Sa Sb 外比： 3131 2424 S
4、SSSBD SSSSCD B S1 S2 S3 S4 C A D O 内比： 1212 3434 SSSSAO SSSSOD A B C D E A B D C E F - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 练一练 根据下列图中所给线段比例来标注各部分的面积份数 例题 2 如图，ABC 的面积等于 28 平方厘米其中AEEC，:3:1BD DC ，求阴影三角形的 面积 分析分析图中并没有燕尾模型，所以第一步需要把它构造出来应该连哪条线呢？ 练习 2 在三角形 ABC 中，2AEEB，ADCD，阴影部分占ABC 的几分之几？ - - - - -
5、- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 有时题目给的不是两个外比， 而是一个内比和一个外比， 此时在利用燕尾模型解题的时 候，既需要由长度的比推出面积的比，也需要由面积的比推出长度的比 这类问题较简单的一类是已知的内比和外比在同一个燕尾形中 - - - - - - - - - - - - - - -
6、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - A B C D E O A B C D E O A B C D E F O 外比：AD:DB=2:1 外比：AF:FC=1:1 外比：CD:DB=2:1 外比：AE:EC=1:3 外比：CD:DB=3:1 外比：AE:EC=1:3 A B D C E F B D C E F A 练一练 根据下列图
7、中所给线段比例来标注各部分的面积份数 例题 3 如图， ABC 中AEED，:1:3BD DC ， 阴影部分的面积占三角形 ABC 面积的几分之几？ 分析分析这道题目属于知道一外比和一内比的第一种类型，按顺序填份数就可以了 练习 3 在三角形 ABC 中，2AEEC，:1:1BF FE ，阴影部分占ABC 的几分之几？ 练一练 根据下列图中所给线段比例来标注各部分的面积份数 A B C O D 外比：AD:DC=1:1 内比：BO:OD=2:1 A B C O D 外比：AD:DC=1:2 内比：BO:OD=1:1 E E A B D C F E B D C E F A A B C O D 外
8、比：BE:EC=2:1 内比： BO:OD=3:1 A B C O D 外比：AE:EB=2:1 内比： BO:OD=2:1 E E 例题 4 如图，ABC 中， 1 3 AEAC，求四边形 CEFD 的面积是三角形 ABC 的几分之 几 分析分析这道题目属于知道一外比和一内比的第二种类型，按顺序填份数就可以了 练习 4 在三角形 ABC 中， 1 2 AEEC，3CFDF，四边形 ADFE 的面积是三角形 ABC 的几分之 几？ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
9、- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 有些图形不能直接使用燕尾模型，我们需要添加辅助线后方可使用燕尾模型 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
10、- - - - - - 例题 5 如图，正方形 ABCD 的边长是 6，E、F 分别是 DC 和 AD 边的中点，阴影部分的面积是多 少？ 分析分析连结 AC，燕尾模型就出来了 AFFD A B D C F E A B D C F E B D C E F A 例题 6 如图， 四边形 ABCD 中，3ABBE，3ADAF， 四边形 AEOF 的面积是 12， BCDE 是平行四边形那么四边形 ABCD 的面积是多少？ 分析分析例题 5 中，我们通过连结正方形对角线构造 出了燕尾模型本题中，我们应该连结哪条线段呢？ A B C D E F O 含有“燕”字的诗句 中国古代的诗句中，有很多都和燕子
11、有关系。主要分为以下两类： 一、表现春光的美好，传达惜春之情。一、表现春光的美好，传达惜春之情。 相传燕子于春天社日北来，秋天社日南归，故很多诗人都把它当做春天的象征加以美 化和歌颂。如“冥冥花正开，飏飏燕新乳” （韦应物长安遇冯著）， “燕子来时新社， 梨花落后清明”（晏殊破阵子），“莺莺燕燕春春，花花柳柳真真，事事丰丰韵韵” （乔吉天净沙即事）， “鸟啼芳树丫，燕衔黄柳花” （张可久凭栏人暮春即事）， 南宋词人史达祖更是以燕为词，在双双燕咏燕中写到：“还相雕梁藻井，又软语商 量不定。飘然快拂花梢，翠尾分开红影。”极研尽态，形神俱似。春天明媚灿烂，燕子娇 小可爱，加之文人多愁善感，春天逝去，
12、诗人自会伤感无限，故欧阳修有“笙歌散尽游人 去，始觉春空。垂下帘栊，双燕归来细雨中”（采桑子）之慨叹，乔吉有“燕藏春衔 向谁家，莺老羞寻伴，风寒懒报衙（采蜜），啼煞饥鸦”（水仙子）之凄惶。 二、表现时事变迁，抒发昔盛今衰、人事代谢、亡国破家的感慨和悲愤。二、表现时事变迁，抒发昔盛今衰、人事代谢、亡国破家的感慨和悲愤。 燕子秋去春回，不忘旧巢，诗人抓住此特点，尽情宣泄心中的愤慨。最著名的当属刘禹 锡的乌衣巷 ： “朱雀桥边野草花，乌衣巷口夕阳斜。 旧时王谢堂前燕，飞入寻常百姓家。 ” 另外还有晏殊的“无可奈何花落去，似曾相识燕归来，小园香径独徘徊” （ 浣溪沙 ） ，李好 古的 “燕子归来衔绣幕
13、， 旧巢无觅处” （ 谒金门 怀故居 ） ， 姜夔的 “燕雁无心， 太湖西畔， 随云去。数峰清苦，商略黄昏雨” （ 点绛唇 ） ，张炎的“当年燕子知何处，但苔深韦曲，草 暗斜川” （ 高阳台 ） ，文天祥的“山河风景元无异，城郭人民半已非。满地芦花伴我老，旧 家燕子傍谁飞？” （ 金陵驿 ） 。燕子无心，却见证了时事的变迁，承受了国破家亡的苦难， 表现了诗人的“黍离”之悲，负载可谓重矣。 作业1. 如图，三角形 ABC 中已知 2 个三角形的面积，2BOOD，那么三角形 AOD 的面 积是多少？三角形 BOC 的面积是多少？ 作业2. 如图，三角形 ABC 中，已知2ECAE，:2:1BD D
14、C ，请在图上标出各个小三 角形的面积份数 （即三角形 COE、COD、BOD、AOB 的面积份数） 作业3. 如图，三角形 ABC 的面积是 30，AEEC，3BCDC，那么三角形 AEF 的面积 是多少？ 作业4. 在ABC 中，3CEAE，F 是 AD 的中点，ABC 的面积是 1，则阴影部分的面 积是多少？ 作业5. 在ABC 中，:3:2BD DC ，:3:1AE CE ，OB 与 OE 的比是多少？ 第 3 题图 A B C D E F 第 4 题图 E A C D B O 第 5 题图 A B C E D F A B C D O 4 12 第 1 题图 A B C D E O 1
15、 第 2 题图 第二十五讲 燕尾模型 例题1. 答案：56 详解： ABE CBE SAD SCD ，所以56 CBEABE CD SS AD 例题2. 答案：12 详解：连结 CF，设 CFE S面积为 1 份，如图所示标份 数， 可得 6 2812 1 164.51.5 ABF S 平方厘米 例题3. 答案： 1 5 详解：连结 CE，如图所示标份数可知阴影的面 积占三角形 ABC 面积的 1 5 例题4. 答案： 5 12 详解：连结 CF，如图所示标份数可知四边形 CEFD 占 三角形 ABC 的 5 12 例题5. 答案：24 详解： 设 AC 和 CF 的交点为 O， 连结 OD，
16、 连结 AC 设AFO 的面积为 1， 标出份数 可 看出三角形 AOC 的面积是三角形 ACD 的 1 3 ，则三角形 AOC 的面积是正方形的 111 236 所以阴影部分是正方形的 112 623 ，面积是 2 2 624 3 A B D C E F 1 1 6 4.5 1.5 A B D C F E 3 3 3 1 2 A B D C F E 1 1 3 0.6 2.4 例题6. 答案：56 详解：连结 BD 和 AO，利用燕尾模型中的比例 关系，可以标出ABD 中每一块的份数因为 BCDE 是平行四边形， 可知BCD 的面积也是 7 份12624861756 ，四边形 ABCD 的面
17、积是 56 练习1. 答案： BDF 的面积是 42， CDF 的面积是 14 简答：3 ABF ACF SBD DCS ，所以 BDF 的面积是BFC 的 3 4 ， CDF 的面积是BFC 的 1 4 ，分别是 42 和 14 练习2. 答案： 7 30 简答：如图所示标份数即可 练习3. 答案： 2 5 简答：如图所示标份数即可 练习4. 答案： 1 6 简答：如图所示标份数 A B C D E F O 1 2 6 8 4 B D C E F A 3 3 12 8 4 B D C E F A 2 1 2 0.4 0.6 A B D C F E 2 1 1 2 6 作业1. 答案：6；8 简答：利用线段比推出面积比 作业2. 答案：如图所示 作业3. 答案：3 简答：利用燕尾模型设份数即可 作业4. 答案： 简答：利用燕尾模型设份数即可 作业5. 答案：2:1 简答：利用燕尾模型设份数即可 7 12 A B C D E O 1 2 6 8 4
