1、第二十讲 数字谜综合一 在三四年级，我们学过加减法填空格，破译字母、汉字的竖式谜、横式谜，添算符等数 字谜问题，其中既有加减法，也有乘除法它们各有一些特定的解题方法和思路，像加减法 的进位、借位、错位，乘除法里面的末位分析、首位及位数的估算等，这些方法我们当然还 要进一步的学习和训练 但在这一讲中， 我们将主要运用前一阵刚学过的数论知识来解决相 应的数字谜问题 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
2、- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题1. 已知“BADBADGOOD”是一个正确的加法算式，其中相同的字母表示相同 的数字， 不同的字母表示不同的数字 已知GOOD不是 8 的倍数， 那么四位数ABGD是 多少？ 分析分析解决数字谜的题目，最关键在于找突破口本题的突破口在哪里？ 练习1. 在算式“路亨路亨刘吉吉”中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表 示不同的数字已知刘吉吉是 8 的倍数，那么四位数亨吉刘路是多少？ 例题 2 从 19 中选出 8 个数字填入下式的各个方框中，使等式成立 952
3、分析分析从算式来看，是要找出两个两位数的乘积为 952但是把 952 写成两个两位数的乘 积，方法非常多，要从中选出两种满足题目条件还是挺麻烦的我们不妨先把 952 分解质因 数，通过分析它的构成来选出满足题目条件的填法 练习 2从 19 中选出 8 个数字填入下式的各个方框中，使等式成立 1026 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
4、 - - - - - - - - - - - - - - - 例题 3 用 0 至 9 这 10 个数字恰好组成一位数、两位数、三位数、四位数各一个（每个数字只能用 一次） ，且这四个数两两互质其中的四位数是 2940另外三个数可能是多少？ 分析分析其中四位数是 2940，那么组成另外三个数的 6 个数字就确定了这四个数两两互 质，那么另外三个数都与 2940 互质，我们就从 2940 的质因数构成入手 练习 3 用 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7 这 7 个数字恰好组成一个一位数和两个三位数， 每个数字只用一次， 使得这三个数两两互质已知其中一个三位数已填好，它是 714，那么其他两
5、个数是多少？ 在前面的例题中，我们通过分解质因数，分析其质因数的构成，从而解决了问题那如 果没有给出具体的数，而是由数字或字母构成的特殊形式又该如何？是否也能分解质因数 呢？ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 4 数数 科学学数学 在上面的算式中， 相同的汉字代表相同
6、的数字， 不同的汉字代表不同的数字 请问： “数学” 所代表的两位数是多少？ 分析分析 对于乘法数字谜问题， 我们一般先考虑个位数字 “数” “学” 的个位数字是 “学” ， 但符合这一条件的情况有好几种，讨论的过程会很长我们不妨再来仔细观察算式，能发现 题中的“数数”有什么特点吗？ 练习 4 数好 学好=棒棒棒 在上面的乘法算式中， 相同的汉字表示相同的数字， 不同的汉字表示不同的数字 那么 “好棒” 所代表的两位数是多少？ 例题 5 在下面两个算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数 字 “花相似人不同”代表的六位数是多少？ 年年 岁岁 花相似岁岁 年年人 不同 分析分析
7、“年年” 、 “岁岁”都是 11 的倍数，那么“花相似”所代表的三位数又是多少的倍 数呢？ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 在暑期中， 我们学习了分数与循环小数的互化与四则运算， 其实在数字谜里面也有分数 与循环小数形式的问题 要解决这一类问题， 需要我们灵活运用学过的循
8、环小数的相关知识 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 6 已知 a 是一个自然数，A、B 是 1 至 9 中的数字，最简分数0.3 3 222 a A B请问：a 是多少？ 分析分析等式两边一个是分数，一个是循环小数，可以都化成分数来比较 美妙的竖式 荣获斯大林奖金的前苏联数学家、教育家柯尔詹姆斯基曾以开发心灵美为题，列举了 一些令人叹服的巧妙算法，其中之
9、一如下： 例：8888 333329623704 8 8 8 8 3 3 3 3 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 9 6 2 3 7 0 4 这道题如果只是要算出结果，办法有很多，甚至拿计算器一按答案就出来了但结果并 非是重点，趣味性才是它的精髓所在 作业1. 在算式12233221的两个方框中填入一个相同的数字， 使得等式成立且等 式关于等号是对称的 作业2. 用 0 至 9 这十个数码各 1 次，组成四位数、三位数、两位数和一位数各 1 个，并使 这四个数两两互质已知组成的四位数是 1860
10、，那么其他的三个数是多少？ 作业3. 将 19 这九个数字各一个填到下面的横式中， 使等式成立 （其中 1， 5， 6 已经填好） 156 作业4. 在算式“钓钓 钓鱼 岛 钓鱼岛 钓鱼岛钓鱼岛”中， “钓” 、 “鱼” 、 “岛”各代表 一个不同的数字，要使算式成立，那么钓鱼岛表示的三位数是多少？ 作业5. 已知 a 是一个自然数， b 是一个 1 至 9 中的数字， 如果0.4 3 555 a b， 那么 a 是多少？ 第二十讲 数字谜综合一 例题1. 答案：3810 详解：列竖式，易知 D 是 0，G 是 1，且 O 是偶数那么GOOD可能是 1220、1440、 1660 和 1880
11、， 其中 1220 和 1660 不是 8 的倍数， 对应的加法算式分别是6106101220 和8308301660，只有第二个满足那么ABGD是 3810 例题2. 答案：56 172834952 详解： 3 95227 17 考虑最大的质因数 17，可知等号两边的两位数中都有 17 的倍 数，可能是 17、34、68那么 952 可以拆成56 17、2834和1468考虑到 8 个数 字不重复，只能是56 172834952 例题3. 答案：1、67、583 或 1、67、853 详解： 22 294023 5 7 ，则另外三个数不能有质因数 2、3、5、7其中一位数只能 是 1还剩 3
12、、5、6、7、8 这五个数字两位数要分情况讨论： （1）个位数字为 3，有 53、73、83 三组符合要求对应的，三位数的三个数字分别为 6、7、8；5、6、8；5、 6、7经检验，均不符合要求 （2）个位数字为 7，有 37、67 两组符合要求对应的， 三位数的三个数字分别为 5、6、8；3、5、8经检验，有 583、 853 符合要求综上 所述，一共有：1、67、583；1、67、853 两组答案 例题4. 答案：16 详解：数数是 11 的倍数， 所以学数学也是 11 的倍数 三位数中满足学数学这种形式， 又是 11 的倍数的数有：121、242、363、484、616、737、858、
13、979依次验证几种情 况，发现：当学数学为 616，那么“学”为 6， “数”为 1， “数数 科学学数学”变 为“116616科” ，可知“科”为 5，符合题意其它情况逐一检验，没有符合题目 要求的答案所以“数学”代表的两位数为 16 例题5. 答案：968510 详解：第一个算式可以变为“121年 岁花相似”，所以“花相似”是 121 的倍 数 121 的倍数中， 三位数有 121、 242、 363、 484、 605、 726、 847、 968， 共 8 个 “花相似” 中没有重复数字，所以只可能是 605、726、847、968 之一依次验证几种情况，发现： 当“花相似”是 968
14、，那么“年 岁”为 8，只能分别是 1、8 或 2、4其中 1、8 这种 情况与“似”等于 8 矛盾，2、4 这种情况满足要求由第二个算式可以看出，“岁”小 于“年”，因此岁2，年4第二个算式为2244人 不同，已经用过的数字为 2、4、6、8、9，所以“人”、“不”、“同”只能在 0、1、3、5、7 中取，只能分别 是 5 和 10综上所述，“花相似人不同”所代表的六位数是 968510 例题6. 答案：83 详 解 ： 按 照 混 循 环 小 数 化 分 数 的 方 法 ， 3 33 0.3 3 9990 A B A B ， 因 此 等 式 变 为 333 2 2 29 9 9 0 aA
15、B ，即 453 33 99909990 aA B ，可知453 33aA B那么3 33A B 一定是 45 的 倍数，即为 5 和 9 的倍数，因此3 33A B 计算结果的个位一定是 0 后者 5，那么3 3A B的个 位一定是 3 或者 8，即3B 或8B 当3B 时，3 333 3333 30A BAA一定是 9 的倍数，可知3A ，原数为0.3333 不符合题意 当8B 时，3 333 3833 35A BAA是 9 的倍数，可知7A ，原数为0.3738，符合 题意，可知453735a，a 为 83 练习1. 答案：2417 简答：易知刘是 1，且吉是偶数那么刘吉吉可能是 100
16、、122、144、166、188，其中 只有 144 是 8 的倍数那么算式应该是7272144，要求的四位数是 2417 练习2. 答案：1026 简答： 3 10262 319考虑最大的质因数 19等号两边都有 19 的倍数，可以是 19、 38、571026 可以拆成1954、3827或57 18考虑到 8 个数字互不相同，只能是 195438271026 练习3. 答案：5 和 263 简答：还有 2、3、5 和 6 可以用714237 17 ，一位数只能是 5剩下的三位数 只能以 3 结尾，而 623 是 7 的倍数，不满足条件，只能是 263 练习4. 答案：79 简答：棒棒棒是
17、37 的倍数，说明等号左边一定有 37 的倍数，可能是 37 或 74经验证 算式只能是2737=999 作业1. 答案：1223113221 简答：21 中有质因数 7，所以23应该是 7 的倍数，只能填 1 或 8，经检验，应填 1 作业2. 答案：7，43，529 简答： 2 186023 5 31 ，一位数只能是 7，另外两个数的末尾只能是 3 和 9剩下 的数字之和除以 3 余 2， 只能拆成两个除以 3 余 1 的组合， 所以 4 和 2、 5 是分成两组， 49 是 7 的倍数，所以两位数只能是 43，259 是 7 的倍数，所以三位数只能是 529 作业3. 答案：4 39278156 简答： 2 15623 13 ，所以是4 39278156 作业4. 答案：137 简答：两个重复的三位数组成的六位数一定是 1001 的倍数，而10017 11 13，所以 “钓” 、 “鱼” 、 “岛”分别为 1、3、7 作业5. 答案：235 简答：由分数化循环小数的方法可得，594 3ab 所以9 4 3b，b=2，a=235
