1、第二十三讲 工程问题 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 我们这一讲要学习的问题叫做工程问题工程问题 先来看下面的这个例子， 假设一条地铁线有15 千米长，工程队每个月可以修3千米，同学们肯定马上就能看出，共需要5个月的时间修好整 条地铁 在这个例子中，总长度 15 千米叫做这个工程问题的工作总量工
2、作总量，5 个月即为工作时间工作时间， 而工程队每个月修 3 千米就叫做工作效率工作效率 同学们， 你们能看出来这和我们以前学过的哪一 类应用题很类似吗？没错，就是行程问题！上面的例子很容易转化成这样一个行程问题：两 地相距 15 千米，某人行走的速度为每小时 3 千米，那么从一地走到另一地需要 5 小时 虽然工程问题看起来和行程问题很类似， 但工程问题有它自己独特的解法 在工程问题 中，经常无法从题目中找到工作总量，此时可以把工作总量设为单位“1”例如：一个工 程队 5 天修完一段公路，我们就可以把修这段公路的工作总量设为单位“1”，那么工程队 每天就能修完公路的 1 5 ， 那么每天完成的
3、工作量就是“ 1 5 ”， 而“ 1 5 ”就是这个工程队的工 作效率 所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量 如同速度在行程问题中的核心地位， 工程问题中工作效率、 工作时间和工作总量这三个 量中最为关键的量也是工作效率因此，如何求出每一个工作者的工作效率，是同学们分析 问题时的重点 练一练： 1 李师傅要完成一批零件， 他预计用 6 个小时完成了整个工作 则以这批零件的总量为 单位“1” ，李师傅的工作效率是_，如果李师傅工作了 2 个小时，那么他完成 了全部工作的_分之_ 2 明明用了 10 个小时完成了写大字的作业， 那么明明 3 个小时能完成作业的_分之 _，如果这时他写好了 30
4、 个大字，那么他总共要写_个大字 3 吃饭的时候，妈妈给小高盛了一碗米饭，小高发现自己用了 5 分钟就吃掉了半碗，如 果以一碗米饭为单位“1” ，那么小高吃米饭的效率是_那么小高_分钟能 吃掉 2 5 碗的米饭 4 阿呆和阿瓜两个人打扫屋子， 阿呆自己打扫50分钟能打扫完， 阿瓜75分钟能打扫完， 那么阿呆每分钟能完成全部工作的_分之_，阿瓜每分钟能完成全部工作的 _分之_，如果两个人同时工作的话，那么每分钟能完成全部工作的_分 之_ 5 阿萍为邻居家的温奶奶修厕所，用 30 天可以修好，阿萍的效率是_阿萍工作了 10 天之后， 修厕所的技术上了一个台阶， 效率变成了之前的 2 倍 她还需要_
5、 天就可以把厕所修好 在完成一项工作时，很多时候依靠个人的力量是无法完成的，或者不能完成得很快、很 好，这时就需要多个人合作来完成俗话说：“众人拾柴火焰高”，团队的智慧是远远超过 个人的 当多人合作的时候， 完成的工作总量就是这些人工作量的总和， “总工效”就是他们每 个人的工作效率之和 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 1 一条公路，甲队单独去修需
6、要 20 天完成，乙队单独去修需要 30 天完成那么： （1）甲、乙两队一起修，共需要多少天完成？ （2）如果甲、乙两队合修若干天之后，乙队停工休息，而甲队继续修了 5 天才修完，那么 乙队一共修了多少天？ 分析分析题目中已知甲、乙的工作时间，如果我们把工作总量设为单位“1” ，那么利用工程 问题的基本关系式：工作总量工作时间=工作效率， 马上可以求出甲、 乙两队的工作效率， 那么两人合作的效率是多少？ 第（2）问中，甲队独修了 5 天，那么甲队独修的工作量是多少？其余的工作由两人合 作完成，那两人还需要合作几天？ 练习 1 有一堆排骨，老虎单独吃需要 10 分钟，狮子单独吃需要 15 分钟那
7、么： （1）老虎和狮子一起互不影响地吃这堆排骨，需要多少分钟吃完？ （2）如果老虎和狮子一起吃了 3 分钟后，老虎就把狮子赶走了，剩下的排骨可以让老虎单 独吃几分钟？ 在例题 1 中， 单独与合作划分得很清楚， 单独做的时候只要找那个人对应的工效和工作 量，就能算出那个人单独的工作时间，而合作的时候，只要找到工效和与对应的工作量就能 求出合作时间然而有些时候，单独与合作的界线并不是那么清楚，需要我们自己找到 例 2现在要修筑一条公路，如果甲、乙两个工程队同时施工，20 天可以完成如果两队合 作 15 天之后，剩下的全都由乙来完成，则还需要 15 天才能完成那么如果这条路全部都由 甲队来修，需要
8、多少天才能完成？ 分析分析实际工作的 30 天中，前 15 天是两队合作，后 15 天是乙队独做，每天的工作效率 不一样 那我们可以分别计算前15天与后15天的工作总量， 进而计算出甲和乙的工作效率 练 2现在要修筑一条公路，如果乙工程队单独修，需要 18 天完成如果两队合作 10 天之 后，剩下的全都由乙来完成，则还需要 6 天才能完成那么如果这条路全部都由甲队来修， 需要多少天才能完成？ 例题 3 有一条公路，甲队独修需 12 天，乙队独修需 15 天现在让 2 个队合修，但中间甲队有别的 任务离开了，结果从头到尾用了 10 天才把这条公路修完请问：甲队参与修路多少天？ 分析分析我们可以把
9、两队分开来计算甲队最“懒” ，干了几天就走了；乙队最听话，完完 整整地做了 10 天， 由此我们可以求出乙队的工作总量， 进而求出甲的工作总量和工作时间 练习 3 有一堆煤，甲车单独运需要 10 天运完，乙车单独运需要 40 天运完乙车先开始运，若干天 后甲车加入，到运完时乙车一共运了 12 天那么乙车开始后几天甲车才加入？ 例题 4 有一批待加工的零件，甲单独做需要 4 天完成，乙单独做需要 5 天完成，如果两人合作，那 么完成任务时甲比乙多做 20 个零件这批零件共有多少个？ 分析分析到完成时甲乙各完成了这批零件的几分之几？20 个零件占了这批零件的几分之 几？ 练习 4 甲、乙两工程队修
10、一条路，如果让甲队单独修，需要 8 天完成；如果让乙队单独修，需 要 6 天完成现在两队合修，修完后，甲队比乙队少修了 50 米这条路有多长？ 在生活当中，有时候会出现“倒班” ，也就是几个人轮流工作，而不是同时工作这种 类型的工程问题应该怎么解决呢？ 例题 5 （1）单独完成一项工程，甲需要 15 天，乙需要 10 天现在两人按甲、乙、甲、乙、的 顺序，一人一天轮流工作那么完成这项工作需要几天？ （2）单独完成一项工程，甲需要 15 天，乙需要 6 天现在两人按甲、乙、甲、乙、的顺 序，一人一天轮流工作那么完成这项工作需要几天？ （3）单独完成一项工程，甲需要 15 天，乙需要 12 天现在
11、两人按甲、乙、甲、乙、的 顺序，一人一天轮流工作那么完成这项工作需要几天？ 分析分析甲乙轮流工作，以 2 天为一周期，每个周期完成的工作量都是相同的到最后完成 工作需要几个周期呢？ 很多大型的工程中， 都包含着多个小型的工程 比如中国的南水北调工程就分为东线工 程、中线工程和西线工程在工程问题中，这种整体与部分之间的关系是值得注意的 例题 6 搬运一个仓库的货物，甲需要 10 小时，乙需要 12 小时，丙需要 15 小时现有两个相同的 仓库 A 和 B，甲在 A 仓库、乙在 B 仓库同时开始搬运货物，丙先帮助甲搬运，中途又转向 帮助乙搬运，最后两个仓库货物同时搬完，那么丙帮助甲搬了多少小时？
12、分析分析 我们可以把这两个仓库看成一个大的仓库， 那么甲乙丙三人在合作搬运这个大仓库 的货物，而且是同时开始，同时结束那么搬运的时间能不能算出来？ 曼哈顿工程 曼哈顿工程是第二次世界大战期间美国陆军自 1942 年起开发核武器计划的代号。曼哈 顿工程的负责人为美国物理学家 J 罗伯特 奥本海默。 爱因斯坦与奥本海默 1941 年 12 月 7 日，日本偷袭美国珍珠港。此后不久，美国正式成为第二次世界大战参 战国。 与此同时， 美国国家科学院在以往研究成果的基础上递交的研制核武器申请得到了批 准。1942 年夏，面对希特勒德国氘及氚产量令人担心的增长，美国秘密拨款共 25 亿美元， 加紧开发核武
13、器。美国陆军方面的计划主管 LeslieRichardGroves 将计划命名为曼哈顿计划。 计划主要在新墨西哥州 Los Alamos 附近的一个专为此项目开辟的绝密研究中心进行。在奥 本海默领导下， 大批物理学家和技术人员参加了这一计划， 高峰时期参加者人数逾 10 万人。 1945 年 7 月 16 日，第一颗原子弹试验成功，爆炸当量相当于 2 万 1 千吨三硝基甲苯 （TNT）。 由于当时欧洲的两个主要轴心国均已战败，原子弹投放的目标转向了日本。1945 年 8 月 6 日美国向广岛投放了称为小男孩的原子弹， 8 月9 日又向长崎投放了称为胖子的原子弹。 数天后，日本宣布投降，第二次世
14、界大战宣告结束。 作业1. 小山羊和老鹿在吃仓库里的草，2 个小时可以吃完如果只有老鹿吃的话，3 个小 时可以吃完如果只有小山羊吃的话，几个小时可以吃完？ 作业2. 厨房里有一些包子， 阿呆一个人需要 10 分钟吃完， 阿瓜一个人需要 15 分钟吃完 如 果两个人一块吃，到吃完时阿呆比阿瓜多吃 10 个包子厨房里本来有多少个包子？ 作业3. 春天的时候，学校组织同学去果园给果树浇水，甲班的学生单独去做需要 12 天完 成，乙班的学生单独去做需要 15 天完成，如果两个班共同做了 4 天，那么乙班独自做 完剩下的工作需要多少天？ 作业4. 有一项工作，甲单独做需要 5 天完成，乙单独做需要 12
15、 天完成，丙单独做需要 15 天完成，现在三个人一起做这项工作，中间的时候甲离开了，结果用了 4 天完成了全部 的工作，那么甲离开了多少天？ 作业5. 一个水池，有甲、乙两个进水口，如果打开甲进水口一个小时，然后打开乙进水口 一个小时，再打开甲进水口一个小时，这样需要 15 个小时才能注满水池如果 单独打开甲进水口需要 16 个小时能注满整个水池那么先打开乙进水口一个小时，再 打开甲进水口一个小时，按照这样的顺序来注水，需要多长时间把水池注满？ 第二十三讲 工程问题 例题1. 答案： （1）12； （2）9详解： （1） 11 112 3020 （天） ； （2）甲队后面这 5 天完成的工作量
16、是 1 4 ， 那么前面合作的时间内一共完成 3 4 ， 需要 311 9 43020 天， 乙队一共修了 9 天 例题2. 答案：30详解：首先可知甲乙两队合作的效率是 1 20 合作 15 天后，还剩下 11 115 204 那么乙的效率是 11 15 460 ，甲的效率是 111 206030 甲单独修需要 30 天 例题3. 答案：4详解：乙队从始至终都在做，所以乙做了 10 天从整体中把乙队修的去 掉，就是甲队修的所以甲队修了整条公路的 11 110 153 ，甲修了 11 4 312 天 例题4. 答案：180详解：两人合做用 1120 1 459 天，这段时间甲做了 2015 9
17、49 ， 乙做了 54 1 99 ，利用我们已经学过的量率对应， 54 20180 99 个 例题5. 答案： （1）12； （2）9； （3） 2 13 5 详解： （1）以甲 1 天、乙 1 天为一个周期，一 个周期内完成的工作量是 111 15106 ，那么需要 6 个周期，即 12 天完成这项工作； （2）以甲 1 天、乙 1 天为一个周期，一个周期内完成的工作量是 117 15630 4 个周 期后还剩 71 14 3015 没有完成， 接下来甲再工作 1 天正好完成 共需要2419 天； （3）以甲 1 天、乙 1 天为一个周期，一个周期内完成的工作量是 113 151220 6
18、个周 期后还剩 31 16 2010 没有完成甲再工作 1 天后还剩 111 101530 ，乙还需要 112 30125 天，共需要 22 26113 55 天 例题6. 答案：3详解：设两个仓库的容量都是“1” ，那么甲、乙、丙每个小时的工作效 率分别是 1 10 、 1 12 和 1 15 考虑到甲乙丙同时工作，可求出需要 111 28 101215 小 时将两个仓库的货物搬完 这段时间内甲搬了 14 8 105 ， 那么剩下的 1 5 是丙帮甲搬的， 需要 11 3 515 小时 练习1. 答案：（1） 6；（2） 5 详解：（1） 11 16 1015 ；（2） 合吃 3 分钟后还剩
19、 11 13 62 ， 剩下的老虎要吃 5 分钟 练习2. 答案：90详解：乙队单独工作的 6 天完成了 11 6 183 ，那么两队合作 10 天完成 了 2 3 ，每天可完成 21 10 315 那么甲队每天可完成 111 151890 ，单独做需要 90 天 练习3. 答案：5详解：乙队一共运了 13 12 4010 ，那么剩下的 7 10 是甲队运的，需要 7 天这说明甲队共工作了 7 天，是在乙队开始后 5 天加入的 练习4. 答案： 350 详解： 两队合作需要 1124 1 867 天 甲队修了这条路的 2413 787 ， 乙队修了这条路的 2414 767 说明 50 米是这
20、条路的 1 7 ，这条路长 350 米 作业1. 答案：6简答：小山羊和老鹿的效率之和是 1 2 ，老鹿的效率是 1 3 那么小山羊的 效率是 1 6 作业2. 答案： 50 简答： 两人一起吃， 需要 11 16 1015 天， 阿呆吃了全部的 13 6 105 ， 阿瓜吃了全部的 2 5 本来有 32 1050 55 个包子 作业3. 答案：6简答： 113 4 12155 ， 21 6 515 （天） 作业4. 答案：2简答： 1117 4 512155 ， 71 12 55 （天） 作业5. 答案： 7 14 8 简答：甲工作了 8 个小时，乙工作了 7 个小时后完成工作已知甲的 效率是 1 16 ，可求出乙的效率是 1 14 14 个小时后个小时后完成了 1115 7 141616 ，剩下的还 需要乙工作 117 16148 （小时）
