1、2019 年广东省汕尾市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上1 （5 分）已知 i 为虚数单位，复数 ，则 z（ ）A12i B12i C1+2i D1+2i2 （5 分）已知集合 Ax| 3x1，Bx|（x+1） （x3）0，则 AB（ ）A （3，3 B3，1） C （1，3） D 1，1）3 （5 分）某所学校在一个学期的开支分布的饼图如图 1 所示，在该学期的水、电、交通开支（单位：万元）如图 2 所示，则该学期的电费开支占总开支的百分比为（
2、 ）A12.25% B11.25% C10.25% D9.25%4 （5 分）已知数列a n是等比数列，a 15，a 2a3200，则 a5（ ）A100 B100 C80 D805 （5 分）影壁，也称为照壁，古称萧墙，是我国传统建筑中用于遮挡视线的墙壁如图是一面影壁的示意图，该图形是由一个正八边形和一个正方形组成的，正八边形的边长和中间正方形的边长相等，在该示意图内随机取一点，则此点取自中间正方形内部的概率是（ ）第 2 页（共 25 页）A B C D6 （5 分）设 ，则（ ）Acba Bbca Cacb Dabc7 （5 分）如图，网格
3、纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为（ ）A B C D8 （5 分）设 D 为ABC 所在平面内一点， ，若 ，则 （ ）A B C D9 （5 分）如图所示的程序框图设计的是求 100a99+99a98+3a2+2a+1 的一种算法，在空白的“ ”中应填的执行语句是（ ）第 3 页（共 25 页）An100+i Bn99i Cn100i Dn99+i10 （5 分）已知双曲线 ，F 是双曲线 C 的右焦点，A 是双曲线 C 的右顶点，过 F 作 x 轴的垂线，交双曲线于 M，N 两点若 ，则双曲线 C 的离心率为（
4、 ）A3 B2 C D11 （5 分）如图，三棱锥 DABC 中， ，平面 DBC平面ABC，M，N 分别为 DA 和 DC 的中点，则异面直线 CM 与 BN 所成角的余弦值为（ ）A B C D012 （5 分）已知函数 f（x ）x 2+axlnx，若 m，n1， +） ，且 恒成立，则 a 的取值范围是（ ）第 4 页（共 25 页）A1，+ ） B C （2，+） D2 ，+）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把正确答案填在答题卡上13 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件 ，若 zx+y，则 z 的最大值为 &nbs
5、p; 14 （5 分）两个女生和三个男生站成一排照相，两个女生要求相邻，男生甲不站在两端，不同排法的种数为 15 （5 分）已知等差数列a n的首项 a11，若 3a37a 7，则数列a n的前 n 项和的最大值为 16 （5 分）已知点 P（1，1） ，且点 F 为抛物线 C：y 22px（p0）的焦点，过点 F且斜率为2 的直线 l 与该抛物线交于 A，B 两点若 ，则 p 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、
6、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 （1）求 A；（2）若 ，且ABC 面积 ，求 a 的值18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，AB DA，DC AB，AB 2DC4，PADAPD 2，平面 PAD平面 ABCD（1）证明：平面 PCB平面 ABP；（2）求二面角 DPCB 的余弦值19 （12 分）已知 P（0，2）是椭圆 的一个顶点，C 的离心率第 5 页（共 25 页）（1）求椭圆的方程；（2）过点 P 的两条直线 l1，l 2 分别与 C 相交于不同于点 P 的 A
7、，B 两点，若 l1 与 l2 的斜率之和为4，则直线 AB 是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由20 （12 分）某公司销售部随机抽取了 1000 名销售员 1 天的销售记录，经统计，其柱状图如图该公司给出了两种日薪方案方案 1：没有底薪，每销售一件薪资 20 元；方案 2：底薪 90 元，每日前 5 件的销售量没有奖励，超过 5 件的部分每件奖励 20 元（1）分别求出两种日薪方案中日工资 y（单位：元）与销售件数 n 的函数关系式；（2）若将频率视为概率，回答下列问题：（）根据柱状图，试分别估计两种方案的日薪 X（单位：元）的数学期望及方差；（）如果你要应聘该公司的销
8、售员，结合（）中的数据，根据统计学的思想，分析选择哪种薪资方案比较合适，并说明你的理由21 （12 分）已知函数 （1）若曲线 yf（x）在（0，f（0） ）处的切线方程为 yx1，求 a，b 的值；（2）当 b1，a0 时，证明：函数 f（x ）有两个零点 x1，x 2，且 x1+x22（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）第 6 页（共 25 页）22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数） ，曲线 C2 的参数方程为 （ 为参数） ，以 O 为极点，
9、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线 C1 和 C2 的极坐标方程；（2）直线 l 的极坐标方程为 ，直线 l 与曲线 C1 和 C2 分别交于不同于原点的A，B 两点，求|AB|的值选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23已知 f（x） |2x+2|+|x 1|的最小值为 t（1）求 t 的值；（2）若实数 a，b 满足 2a2+2b2t，求 的最小值第 7 页（共 25 页）2019 年广东省汕尾市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上1 （5
10、 分）已知 i 为虚数单位，复数 ，则 z（ ）A12i B12i C1+2i D1+2i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解： ，故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题2 （5 分）已知集合 Ax| 3x1，Bx|（x+1） （x3）0，则 AB（ ）A （3，3 B3，1） C （1，3） D 1，1）【分析】先求出集合 A 和 B，由此能求出 AB【解答】解：集合 Ax| 3x1，B x|（x+1） （ x3）0x|1x3，ABx| 1x 11，1） 故选：D【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考
11、查运算求解能力，是基础题3 （5 分）某所学校在一个学期的开支分布的饼图如图 1 所示，在该学期的水、电、交通开支（单位：万元）如图 2 所示，则该学期的电费开支占总开支的百分比为（ ）第 8 页（共 25 页）A12.25% B11.25% C10.25% D9.25%【分析】结合图表，通过计算可得：该学期的电费开支占总开支的百分比为20%11.25%，得解【解答】解：由图 1，图 2 可知：该学期的电费开支占总开支的百分比为20%11.25%，故选：B【点评】本题考查了识图能力及进行简单的合情推理，属简单题4 （5 分）已知数列a n是等比数列，a 15，a 2a3200，则
12、a5（ ）A100 B100 C80 D80【分析】利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解：设等比数列a n的公比为 q，a 15，a 2a3200，5 2q3200，解得 q2则 a552 480故选：C【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5 （5 分）影壁，也称为照壁，古称萧墙，是我国传统建筑中用于遮挡视线的墙壁如图是一面影壁的示意图，该图形是由一个正八边形和一个正方形组成的，正八边形的边长和中间正方形的边长相等，在该示意图内随机取一点，则此点取自中间正方形内部的概率是（ ）A B C D【分析】设正八边形的边长为 a，分别求
13、出正八边形的面积及正方形的面积，由测度比是面积比得答案第 9 页（共 25 页）【解答】解：设正八边形的边长为 a，则其面积为 S 中间正方形的面积为 2a2由测度比为面积比可得，此点取自中间正方形内部的概率是 故选：A【点评】本题考查几何概型，考查正八边形面积的求法，是基础题6 （5 分）设 ，则（ ）Acba Bbca Cacb Dabc【分析】可以看出 ，从而得出 a，b，c 的大小关系【解答】解： ，；bca故选：B【点评】考查对数函数的单调性，对数的运算性质，对数的换底公式7 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为
14、（ ）A B C D【分析】根据三视图知该几何体是半圆锥体，结合图中数据求出该锥体的表面积【解答】解：根据三视图知，该几何体是半圆锥体，如图所示第 10 页（共 25 页）且底面圆的半径为 1，高为 2，母线长为 ；所以该锥体的表面积为：S 12+ 1 + 22 +2故选：C【点评】本题考查了利用三视图求几何体表面积的应用问题，是基础题8 （5 分）设 D 为ABC 所在平面内一点， ，若 ，则 （ ）A B C D【分析】本题可知 B、C、D 三点在同一直线上，然后结合图形和向量运算找出 、 的值【解答】解：由 ，可知，B、C、D 三点在同一直线上，图形如下：根据题意
15、及图形，可得： 故选：A【点评】本题主要考查向量共线的知识以及向量的数乘和线性运算，属基础题9 （5 分）如图所示的程序框图设计的是求 100a99+99a98+3a2+2a+1 的一种算法，在空白的“ ”中应填的执行语句是（ ）第 11 页（共 25 页）An100+i Bn99i Cn100i Dn99+i【分析】由题意 n 的值为多项式的系数，由 100，99直到 1，从而得到我们需要输出的结果【解答】解：由题意，n 的值为多项式的系数，由 100，99直到 1，由程序框图可知，输出框中“ ”处应该填入 n100i故选：C【点评】本题主要考查了当型循环语句，算法在近两年高考中
16、每年都以小题的形式出现，基本上是低起点题10 （5 分）已知双曲线 ，F 是双曲线 C 的右焦点，A 是双曲线 C 的右顶点，过 F 作 x 轴的垂线，交双曲线于 M，N 两点若 ，则双曲线 C 的离心率为（ ）A3 B2 C D【分析】利用双曲线的简单性质，转化求解推出 a、b、c 的关系，然后求解双曲线的离心率即可【解答】解：由题意可知： ，第 12 页（共 25 页）解得 tanMAF3，可得： ，可得 c2+2a23ac0，e 2+23e 0，e 1，解得 e2故选：B【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力11 （5 分）如图，三棱锥 DABC 中， ，平面
17、DBC平面ABC，M，N 分别为 DA 和 DC 的中点，则异面直线 CM 与 BN 所成角的余弦值为（ ）A B C D0【分析】取 BC 中点 O，连结 OD，OA，则 ODBC，OABC，ODOA，以 O 为原点，OC 为 x 轴，OA 为 y 轴，OD 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 CM 与 BN 所成角的余弦值【解答】解：取 BC 中点 O，连结 OD，OA，三棱锥 DABC 中， ，平面 DBC平面 ABC，M，N 分别为 DA 和 DC 的中点，ODBC，OABC，ODOA ，以 O 为原点，OC 为 x 轴，OA 为 y 轴，OD 为 z
18、 轴，建立空间直角坐标系，第 13 页（共 25 页）C（ ，0，0） ，A（0， ，0） ，D（0，0， ） ，M（0， ， ） ，N（ ，0， ） ，B（ ，0，0） ，（ ， ） ， （ ，0， ） ，设异面直线 CM 与 BN 所成角的平面角为 ，则 cos 异面直线 CM 与 BN 所成角的余弦值为 故选：A【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题12 （5 分）已知函数 f（x ）x 2+axlnx，若 m，n1， +） ，且 恒成立，则 a 的取值范围是（ ）A1，+ ） B C （2，
19、+） D2 ，+）【分析】求出函数的导数，利用已知条件列出不等式，然后求解 a 的范围【解答】解：若 mn，由 ，得 f（m）3mf（n）3n若 mn，由 ，得 f（m）3mf（n）3n，令 g（x）f（ x）3xx 2+（a3）xlnx ，g'（x） 2x+a3 ， （x0）g（x）在1 ，+ ）上单调递增，第 14 页（共 25 页） 且 g（1）0，解得 a2故选：D【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把正确答案填在答题卡上13 （5 分）已知实数 x，y 满足约束
20、条件 ，若 zx+y，则 z 的最大值为 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由 zx +y 得 yx +z，平移直线 yx+z，由图象可知当直线 yx +z 经过点 A 时，直线 yx+z 的截距最大，此时 z 最大由 解得 A（ ，1） 代入目标函数 zx+y 得 z +2 即目标函数 zx+y 的最大值为 故答案为： 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键14 （5 分）两个女生和三个
21、男生站成一排照相，两个女生要求相邻，男生甲不站在两端，不同排法的种数为 24 第 15 页（共 25 页）【分析】先把 2 名女生捆绑在一起看做一个复合元素，再和另外的 2 名男生全排列形成了 2 个空（不包含两端） ，将男生甲插入到其中，问题得以解决【解答】解：先把 2 名女生捆绑在一起看做一个复合元素，再和另外的 2 名男生全排列形成了 2 个空（不包含两端） ，将男生甲插入到其中，故有 A22A33A2124 种，故选：24【点评】本题考查分步计数原理的应用，对于受到多个限制条件的排队问题，要关键题意，确定合理的分类或分步解决方案，做到即满足题意，又不重不漏15 （5 分）已知等差数列a
22、 n的首项 a11，若 3a37a 7，则数列a n的前 n 项和的最大值为 5 【分析】先求出公差，再求出通项公式，求出数列a n的前 n 项和的最大值的项，根据求和公式即可求出【解答】解：设公差为 d，3a 37a 7，a 11，3（1+2d）7（1+6 d） ，解得 d ，a n1 （n1） ，令 an0，解得 n10，数列a n的前 n 项和的最大值为 S9 或 S1010+ （ ）1055，S99+ （ ）945，故答案为：5【点评】本题考查了等差数列的求和公式和通项公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题16 （5 分）已知点 P（1，1） ，且点 F 为抛物线 C：y 22px
23、（p0）的焦点，过点 F且斜率为2 的直线 l 与该抛物线交于 A，B 两点若 ，则 p 2 【分析】联立直线 l 的方程与抛物线的方程，利用韦达定理以及向量数量积列式可得【解答】解：F（ ，0） ，直线 l：y2（x ）2x+p，联立 消去 y 得 4x26px +p20，第 16 页（共 25 页）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，x1+x2 p，x 1x2 ， （1x 1） （1x 2）+（1y 1） （1y 2）1+x 1x2+x1+x2+（p+1）2+4x1x22（p+1） （x 1+x2）5x 1x2+（1 2p） （x 1+x2） +1+（p+1） 2 +（1
24、2p） p+1+（p+1）20，解得 p2故答案为：2【点评】本题考查了抛物线的性质，属中档题三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 （1）求 A；（2）若 ，且ABC 面积 ，求 a 的值【分析】 （1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 tanA ，结合范围 A（0，） ，可求 A 的值（2）由已知利用三角形的面积公式可求 c 的值，进而可求 b 的值，
25、根据余弦定理可得a 的值【解答】 （本题满分为 12 分）解：（1） ，b2a（cosCcos +sinCsin ） ，可得：bacos C+ asinC，由正弦定理可得：sinBsinAcosC+ sinAsinC，可得：sin（A+C ）sinAcos C+cosAsinCsinAcosC+ sinAsinC，可得：cosA sinA，可得：tanA ，A（0，） ，第 17 页（共 25 页）A 6 分（2） ，且ABC 面积 bcsinA 2 cc ，解得：c2，b4 ，由余弦定理可得：a 2b 2+c22bccosA48+42 2 28，解得：a212 分【点评】本题主要考查了正弦定
26、理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，AB DA，DC AB，AB 2DC4，PADAPD 2，平面 PAD平面 ABCD（1）证明：平面 PCB平面 ABP；（2）求二面角 DPCB 的余弦值【分析】 （1）设 E，F 分别为 AP，PB 的中点，过 C 向 AB 引垂线，垂直足为 Q，连结CF，DE，EF， FQ，推导出 DEAP，CF AP，从而 CD平面PAD，CD PD，CQ AB ，进而 CQ AD，CF PB，CF平面 APB，由此能证明平面 PCB平面
27、ABP（2）过 P 作 AD 的垂线，垂足为 O，以 O 为原点，OA 为 x 轴，在平面 ABCD 内过点O 作 A 原垂线为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，利用向量法能求出二面角 DPCB 的余弦值【解答】证明：（1）如图，设 E，F 分别为 AP，PB 的中点，过 C 向 AB 引垂线，垂直足为 Q，连结 CF，DE ，EF，FQ，得 EF AB，故 EF DC，CFDE，又 PAPD DA，DEAP，CFAP，由平面 PAD平面 ABCD，CD平面 PAD，CDPD，PC 2DC 2+DP28，第 18 页（共 25 页）又 CQAB ，CQ AD， BC2Q
28、C 2+QB28，PCBC，又 F 为 PB 的中点， CFPB，CF平面 APB，又 CF平面 PCB，平面 PCB平面 ABP解：（2）如图，过 P 作 AD 的垂线，垂足为 O，由（1）知 O 为 AD 的中点，故 POAD ，以 O 为原点，OA 为 x 轴，在平面 ABCD 内过点 O 作 A 原垂线为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，则 D（1，0，0） ，C（1，2，0） ，B（1，4，0） ，P（0，0， ） ，（1，2， ） ， （2，1，0） ，设平面 PCB 的法向量 （x，y，z） ，则 ，即 ，取 x1，得 （1，1， ） ，设平面 PDC 的
29、法向量为 （x，y，z） ，则 ， ，取 z1，得 （ ，0，1） ，cos ，二面角 DPCB 的余弦值为 第 19 页（共 25 页）【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19 （12 分）已知 P（0，2）是椭圆 的一个顶点，C 的离心率（1）求椭圆的方程；（2）过点 P 的两条直线 l1，l 2 分别与 C 相交于不同于点 P 的 A，B 两点，若 l1 与 l2 的斜率之和为4，则直线 AB 是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由【分析】 （1）由题意可得 ，解得 a ，b2，c
30、 ，即可求出，（2）当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y kx+t，根据韦达定理和斜率公式，即可求出 ykxk 2 k（x1）2，可得直线过定点，当直线 AB 的斜率不存在时，设直线 AB 的方程为 xm ，易求出直线 AB 经过定点，定点为（1，2）【解答】解：（1）由题意可得 ，解得 a ，b2，c ，椭圆的方程为 + 1，（2）当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y kx+t，A（x 1， y1） ，B（x 2，y 2） ，联立 ，消去 y 并整理，可得（3k 2+2）x2+6ktx+3t2120，36（kt） 24（3k 2+2） （3t 212）00
31、，即 6k2+4t 20，则 x1+x2 ，x 1x2 ，第 20 页（共 25 页）由 l1 与 l2 的斜率之和为4，可得 + 4，又 y1kx 1+t，y 2kx 2+t， + + 2k+ 2k+4，化简可得 tk 2，ykxk2k （x1）2，直线 AB 经过定点（1，2） ，当直线 AB 的斜率不存在时，设直线 AB 的方程为 xm ，A（m，y 1） ，B（m，y 2） ，+ ，又 y1，y 2 互为反函数，y 1+y20，故 x1，也过点（1，2） ，综上直线 AB 经过定点，定点为（1，2）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查根的判断式、韦达定理、斜率公式，考查运算求解能力，考
32、查函数与方程思想，是中档题20 （12 分）某公司销售部随机抽取了 1000 名销售员 1 天的销售记录，经统计，其柱状图如图该公司给出了两种日薪方案方案 1：没有底薪，每销售一件薪资 20 元；方案 2：底薪 90 元，每日前 5 件的销售量没有奖励，超过 5 件的部分每件奖励 20 元（1）分别求出两种日薪方案中日工资 y（单位：元）与销售件数 n 的函数关系式；（2）若将频率视为概率，回答下列问题：（）根据柱状图，试分别估计两种方案的日薪 X（单位：元）的数学期望及方差；（）如果你要应聘该公司的销售员，结合（）中的数据，根据统计学的思想，分析第 21 页（共 25 页）选择哪种薪资方案比
33、较合适，并说明你的理由【分析】 （1）分别写成方案 1、方案 2 的日工资 y 与销售件数 n 的函数关系式即可；（2） （）根据柱状图写出方案 1 的日薪 X1 的分布列，计算数学期望和方差；写出方案 2 的日薪 X2 的分布列，计算数学期望和方差；（）答案 1：由（）的计算结果知 D（X 1）D （X 2） ，利用日薪工资波动性大小应选择方案 2答案 2：由（）的计算结果知，E（X 1）E（X 2） ，利用日薪工资期望大小应选择方案 1【解答】解：（1）方案 1：日工资 y（单位：元）与销售件数 n 的函数关系式为：y20n，nN；方案 2：日工资 y（单位：元）与销售件数 n 的函数关系
34、式为 y；（2） （）根据柱状图知，日销售量满足如下表格； 日销售量（件） 3 4 5 6 7概率 0.05 0.2 0.25 0.4 0.1所以方案 1 的日薪 X1 的分布列为，X1 60 80 100 120 140P 0.05 0.2 0.25 0.4 0.1数学期望为 E（X 1）600.05+800.2+1000.25+1200.4+1400.1106，方差为 D（X 1）0.05（60 106） 2+0.2（80106） 2+0.25（100106）2+0.4（120106） 2+0.1（140106） 2444；第 22 页（共 25 页）方案 2 的日薪 X2 的分布列为，X
35、2 90 110 130P 0.5 0.4 0.1数学期望为 E（X 2）900.5+1100.4+1300.1102，方差为 D（X 2）0.5（90 102） 2+0.4（110102） 2+0.1（130102） 2176；（）答案 1：由（）的计算结果可知，E（X 1）E（X 2） ，但两者相差不大，又 D（X 1）D（X 2） ，则方案 2 的日薪工资波动相对较小，所以应选择方案 2答案 2：由（）的计算结果可知，E（X 1）E（X 2） ，方案 1 的日薪工资期望大于方案 2，所以应选择方案 1【点评】本题考查了函数模型的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望和方差的计
36、算问题，是中档题21 （12 分）已知函数 （1）若曲线 yf（x）在（0，f（0） ）处的切线方程为 yx1，求 a，b 的值；（2）当 b1，a0 时，证明：函数 f（x ）有两个零点 x1，x 2，且 x1+x22【分析】 （1）求函数的导数，利用导数的几何意义，建立方程关系进行求解即可（2）求函数的导数，判断函数的单调性，由零点存在性定理，转化为证明 f（x 2）f（2x 1）即可【解答】解：（1）f（0） b1，所以 b1又 f'（x）2x2+ ，则 f'（0）2+ a，所以2+a1，得 a1（2）当 b1 吋f（x ）x 22x+ 1，则 f（x）2 x2+ （x1
37、） （2 ）已知 a0，所以 2 0，故 f'（x ）0 得 x1当 x（， 1）时，f（x）0；当 x（1，+）时，f（x）0所以函数 f（x）在（ ，1）上单调递减在（1，+）上单调递增又 f（1）2+ 0，f（1）2ae0，当1a0 时，3a3，2e 3+3a2e 330，第 23 页（共 25 页）所以 f（3）2+ 0；当 a1，e 3ae 3ln（e 3a）lne 331不妨没 ln（e 3a）t3，则 f（t）t 22t+ 1t 22t + 1t 2（2+ ）t1二次函数 g（t）t 2（2+ ）t1 的对称轴为 t 3所以 f（t）g（3）96 12 0，由零点存在性定
38、理，函数 f（ x）存在两个零点 x1，x 2，设 x11x 2，由 x1+x22，得 x22x 11x 1，由函数 f（x）在（ 1，+）上单调递增，只需证 f（x 2）f （2x 1）即可又 f（x 1）f（x 2）0，所以只需证 f（x 1）f（2x 1）即可f（x 1）x 122x 1+ 1，f （2x 1）（2x 1） 22（2x 1）+ 1，只需证 x122x 1+ ）（2x 1） 22（2x 1）+ ，化简得 ， 设 h（x）xe 2x （2x）e x，则 h'（x）（1x） （e 2x e x ） 当 x（ 1，+）时，h（x）0；当 x（， 1）时，h'（x）
39、0而 h（1）0，故当 x1 时，h（x ）0而 0 恒成立故 f（x 1）f（2x 1） ，即 f（x 2）f（2x 1） ，则 x22x 1，第 24 页（共 25 页）即 x1+x22，成立【点评】本题主要考查函数与方程的应用，以及导数的几何意义，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键综合性较强，运算量较大，难度较大（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数） ，曲线 C2 的参数方程为 （ 为参
40、数） ，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线 C1 和 C2 的极坐标方程；（2）直线 l 的极坐标方程为 ，直线 l 与曲线 C1 和 C2 分别交于不同于原点的A，B 两点，求|AB|的值【分析】 （1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换（2）利用极径的应用求出结果【解答】解：（1）曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数） ，转换为直角坐标方程为：y 28x，转换为极坐标方程为：sin 28cos 曲线 C2 的参数方程为 （ 为参数） ，转换为直角坐标方程为：x 2+y22x 2y0，转换为极坐标方程为：2cos 2sin0（2）设
41、A（ ）B（ ） ，所以： ， ，第 25 页（共 25 页）所以： 【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23已知 f（x） |2x+2|+|x 1|的最小值为 t（1）求 t 的值；（2）若实数 a，b 满足 2a2+2b2t，求 的最小值【分析】 （1）分类讨论将函数 f（x ）化为分段函数，进而求出 t 的值；（2）根据 t 的值求得 a2+b2 的值，进而得到 a2+1+b2+2 的值再根据基本不等式求最小值【解答】解：（1）f（x ）|2x+2|+|x+1|故当 x1 时，函数 f（x）有最小值 2，所以 t2（2）由（1）可知 2a2+2b22，故 a2+1+b2+24，所以当且仅当 a2+1b 2+22，即 a21，b 20 时等号成立，故 的最小值为1【点评】本题考查分段函数的性质以及基本不等式在求最值中的应用，属于中档题
