1、二次函数的应用 聚焦考点温习理解1函数的应用主要涉及到经济决策、市场经济等方面的应用2利用函数知识解应用题的一般步骤：(1)设定实际问题中的变量；(2)建立变量与变量之间的函数关系，如：一次函数，二次函数或其他复合而成的函数式；(3)确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义；(4)利用函数的性质解决问题；(5)写出答案3利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题名师点睛典例分类考向一：利用二次函数最值及增减性解决实际问题典例 1：（2017达州）宏兴企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在 14 天内完成已知每件产品的出厂价为 60
2、元工人甲第 x 天生产的产品数量为 y 件，y 与 x 满足如下关系：y= 7.5041x(1)工人甲第几天生产的产品数量为 70 件？(2)设第 x 天生产的产品成本为 P 元/ 件，P 与 x 的函数图象如图工人甲第 x 天创造的利润为 W 元，求 W 与 x 的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少？考向二：利用二次函数与方程或不等式联系解决纯函数问题典例 2：（2017北京）在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点xOy342xy（点 在点 的左侧） ，与 轴交于点 .AB、 yC（1 ）求直线 的表达式；C（2 ）垂直于 轴的直线 与抛物线交于点 ，Q ，与直线 BC
3、 交于点yl ),(21yxP),(2yx若 ，结合函数的图象，求 的取值范围.),(3xN321x3考向三：解决二次函数与几何存在性相关问题典题 3:（2018 宿迁）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交)30)(xaxy于点 D，过其顶点 C 作直线 CPx 轴，垂足为点 P，连接 AD、BC（1 ）求点 A、B、D 的坐标；（2 ）若AOD 与BPC 相似，求 a 的值；（3 ）点 D、O、C、B 能否在同一个圆上，若能，求出 a 的值，若不能，请说明理由yxPODCBA考向四：新定义背景下的二次函数问题典例 4：（
4、2015河南）如图，边长为 8 的正方形 OABC 的两边在坐标轴上，以点 C 为顶点的抛物线经过点 A，点 P 是抛物线上点 A，C 间的一个动点（含端点） ，过点 P 作 PFBC 于点 F，点 D、E 的坐标分别为（ 0，6 ） ， （4，0 ） ，连接 PD、PE、DE（1 ）请直接写出抛物线的解析式；（2 ）小明探究点 P 的位置发现：当 P 与点 A 会点 C 重合时，PD 与 PF 的差为定值，进而猜想：对于任意一点 P，PD 与 PF 的差为定值，请你判断该猜想是否正确，丙说明理由；（3 ）小明进一步探究得出结论：若将“使PDE 的面积为整数”的点 P 记作“ 好点”，则存在多
5、个“ 好点 ”，且使 PDE 的周长最小的点 P 也是一个“好点” 请直接写出所有“好点”的个数，并求出PDE 周长最小时“好点”的坐标课时作业能力提升一、选择题1 （ 2017包头）已知一次函数 y14x，二次函数 y22x 22 ，在实数范围内，对于 x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值为 y1 与 y2，则下列关系正确的是（ ）Ay 1y 2 By 1y2 Cy 1y 2 Dy 1y22 （ 2018 威海）如图，将一个小球从斜坡的点 O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y4x x2 刻画，斜坡可以用一次函数 y x 刻画，下列结论错误的是( ) 2A当小球抛出高度达到 7.5
6、时，小球距 O 点水平距离为 3mB小球距 O 点水平距离超过 4 米呈下降趋势C小球落地点距 O 点水平距离为 7 米D斜坡的坡度为 12 3 （ 2017泰安）如图，在 ABC 中，C=90，AB=10cm，BC=8cm，点 P 从点 A 沿 AC 向点C 以 1cm/s 的速度运动，同时点 Q 从点 C 沿 CB 向点 B 以 2cm/s 的速度运动（点 Q 运动到点 B 停止） ，在运动过程中，四边形 PABQ 的面积最小值为（ ）A19cm 2 B16 cm2 C15 cm2 D12 cm24 （ 2017宿迁）如图，在 RtABC 中，C90，AC 6cm ，BC2cm，点 P 在
7、边 AC 上，从点 A 向点 C 移动，点 Q 在边 CB 上，从点 C 向点 B 移动若点 P，Q 均以 1cm/s 的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接 PQ，则线段 PQ 的最小值是( )A20cm B18cm C2 cm D3 cm525 （ 2017临沂）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度 h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间 t（单位：s）之间的关系如下表：t 0 1 2 3 4 5 6 7 h 0 8 14 18 20 20 18 14 下列结论：足球距离地面的最大高度为 20m；
8、 足球飞行路线的对称轴是直线t= ；足球被踢出 9s 时落地； 足球被踢出 1.5s 时，距离地面的高度是 11m，其中正92确结论的个数是（ ）A1 B2 C3 D46 （ 2018哈尔滨）将抛物线 y5x 21 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，所得到的抛物线为( )Ay5(x1) 21 By5(x1) 21 C y5(x1) 23 Dy5(x1) 237 （ 2016衢州）二次函数 y=ax2+bx+c（a0 ）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：x 3 2 1 0 1 y 3 2 3 6 11 则该函数图象的对称轴是（ ）A直线 x=3 B直线 x=2 C直
9、线 x=1 D直线 x=0二、填空题8 (2018沈阳)如图，一块矩形土地 ABCD 由篱笆围着，并且由一条与 CD 边平行的篱笆 EF分开已知篱笆的总长为 900m(篱笆的厚度忽略不计) ，当 AB _m 时，矩形 ABCD 的面积最大 EACDBF9 （ 2017阿坝州）如图，抛物线的顶点为 P(2 ，2)，与 y 轴交于点 A(0，3) 若平移该抛物线使其顶点 P 沿直线移动到点 P(2，2)，点 A 的对应点为 A，则抛物线上 PA 段扫过的区域(阴影部分)的面积为_10 (2018武汉)飞机着陆后滑行的距离 y(单位：m) 关于滑行时间 t(单位：s)的函数解析式是 y60t t2，
10、在飞机着陆滑行中，最后 4 s 滑行的距离是_ m.3三、解答题 11 （ 2018襄阳）襄阳精准扶贫工作已进入攻坚阶段贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售在销售的 30 天中，第一天卖出 20 千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出 4 千克第 x 天的售价为 y 元/千克，y 关于 x 的函数解析式为 y 且第 12761203mxxn ， 为 正 整 数 ， ， 为 正 整 数 ，天的售价为 32 元/千克，第 26 天的售价为 25 元/ 千克已知种植销售蓝莓的成本是 18 元/千克，每天的利润是 W 元（利润销售收入成
11、本） （1 ） m_，n_；（2 ）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？（3 ）在销售蓝莓的 30 天中，当天利润不低于 870 元的共有多少天？12 （ 2018 威海）为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策：提供 10 万元的无息创业贷款，小王利用这笔贷款，注册了一家淘宝网店，招收 5 名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无息贷款，已知该产品的成本为每件 4 元，员工每人每月的工资为 4 千元，该网店还需每月支付其它费用 1 万元，该产品每月销售量 (万件)与销售单价 (元) 之间的函数关系如图所示yx(1)求该网店每月利润 w(万
12、元)与销售单价 x(元) 之间的函数表达式；(2)小王自网店开业起，最快在第几个月可还清 10 万元的无息贷款？13(2018吉林) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax 22ax3a(a0)与 x 轴相交于A，B 两点，与 y 轴相交于点 C，顶点为 D，直线 DC 与 x 轴相交于点 E（1 ）当 a 1 时，抛物线顶点 D 的坐标为_，OE_；（2 ） OE 的长是否与 a 值无关，说明你的理由；（3 ）设DEO，4560，求 a 的取值范围；（4 ）以 DE 为斜边，在直线 DE 的下方作等腰直角三角形 PDE设 P(m，n)，直接写出 n 关于 m 的函数解析式及自变量 m 的取
13、值范围14（ 2018 河南)如图，抛物线 yax 26xc 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C，直线yx5 经过点 B，C（1 ）求抛物线的解析式；（2 ）过点 A 的直线交直线 BC 于点 M当 AMBC 时，过抛物线上一动点 P(不与点 B，C 重合)，作直线 AM 的平行线交直线 BC于点 Q，若以点 A，M，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 P 的横坐标；连接 AC，当直线 AM 与直线 BC 的夹角等于ACB 的 2 倍时，请直接写出点 M 的坐标15（ 2018日照）如图，已知点 A（1，0） ，B（3 ，0） ，C （0，1）在抛物线yax 2bx c 上（
14、1 ）求抛物线解析式；（2 ）在直线 BC 上方的抛物线上求一点 P，使PBC 面积为 1；（3 ）在 x 轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点 Q，使BQC BAC？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，说明理由16 . (2018 福建) 已知抛物线 过点 A（0,2） ，且抛物线上任意不同两点2yaxbc, 都满足：当 时， ；当1(Mxy2(N1201212()0xy时， ，以原点 O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线的另01)(xy两个交点为 B，C，且 B 在 C 的左侧，ABC 有一个内角为 60（1 ）求抛物线的解析式；（2 ）若 MN 与直线 y 平行，且 M，N 位于直线 B
15、C 的两侧， ，解决以上23x 12y问题：求证：BC 平分MBN ；求MBC 外心的纵坐标的取值范围二次函数的应用 聚焦考点温习理解1函数的应用主要涉及到经济决策、市场经济等方面的应用2利用函数知识解应用题的一般步骤：(1)设定实际问题中的变量；(2)建立变量与变量之间的函数关系，如：一次函数，二次函数或其他复合而成的函数式；(3)确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义；(4)利用函数的性质解决问题；(5)写出答案3利用函数并与方程(组)、不等式(组)联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题名师点睛典例分类考向一：利用二次函数最值及增减性解决实际问题典例 1：（2
16、017达州）宏兴企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在 14 天内完成已知每件产品的出厂价为 60 元工人甲第 x 天生产的产品数量为 y 件，y 与 x 满足如下关系：y=7.5041x(1)工人甲第几天生产的产品数量为 70 件？(2)设第 x 天生产的产品成本为 P 元/ 件，P 与 x 的函数图象如图工人甲第 x 天创造的利润为 W 元，求 W 与 x 的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少？【分析】(1)根据 y=70 求得 x 即可；(2)先根据函数图象求得 P 关于 x 的函数解析式，再结合 x 的范围分类讨论，根据 “总利润=单件利润 销售量” 列出函数解析式
17、，由二次函数的性质求得最值即可【解答】解：(1)根据题意，得：若 7.5x=70，得：x= 4328，不符合题意；5x+10=70，解得：x=12，答：工人甲第 12 天生产的产品数量为 70 件；(2)由函数图象知，当 0x4 时， P=40，当 4x14 时，设 P=kx+b，将(4，40)、(14，50)代入，得：015kb，解得：136kb，P=x+36；当 0x4 时，W=(60 40)7.5x=150x， W 随 x 的增大而增大， 当 x=4 时，W 最大=600元；当 4x14 时，W=(60 x36)(5x+10)=5x2+110x+240=5(x11)2+845， 当 x=
18、11 时，W 最大=845，845600， 当 x=11 时，W 取得最大值，845 元，答：第 11 天时，利润最大，最大利润是 845 元考向二：利用二次函数与方程或不等式联系解决纯函数问题典例 2：（2017北京）在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 342xy与 轴交于点AB、（点 在点 的左侧） ，与 y轴交于点 C.（1 ）求直线 BC的表达式；（2 ）垂直于 y轴的直线 l与抛物线交于点 ),(21yxP，Q ),(2yx，与直线 BC 交于点),(3xN若 321x，结合函数的图象，求 3的取值范围.【分析】第（1）问直接利用二次函数与一元二交方程关系求出 A，B，C 的坐标即可
19、求出直线 BC;第（2）问要注意画图分析，分类讨论，考虑临界即得答案【解答】解：（1）由题意得 0342x，解得 1,321x，则 A(1，0) ，B(3，0)，C(0，3)；设直线 BC 解析式为 bky，则有 0bk解得 k直线 BC 解析式为 3x（2）抛物线 42y的对称轴为 x=2，顶点坐标为（ 2，1） 21y，1x；令 y=-1, 即 ,1x得 x=4 32, 3,即 87321x考向三：解决二次函数与几何存在性相关问题典题 3:（2018 宿迁）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 )30)(xaxy的图像与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点
20、D，过其顶点 C 作直线 CPx 轴，垂足为点 P，连接 AD、BC（1 ）求点 A、B、D 的坐标；（2 ）若AOD 与BPC 相似，求 a 的值；（3 ）点 D、O、C、B 能否在同一个圆上，若能，求出 a 的值，若不能，请说明理由y xPODCBA【分析】 （1）令 y0 ，得 A（a，0） ，B（3 ，0） ；（2 ）根据AODPBC90，所以分AOD BPC 和AODCPB 两种情况讨论即可；（3 ）根据BOD90得 B、O 、D 三点共圆，其圆心 M 为 BD 中点，若 C 也在圆上，则MCMB，即 MC2MB 2，列出方程求解即可【解答】解：（1） 2()3(3)yxaxa， （
21、0x3） A（a，0） ，B（3，0） ；D（0，3a）（2 ） A（a，0） ，B（3 ，0） ，对称轴为 2，C（ ， 2)3(） ，PB，PC 2)(，当AODBPC 时，则 PODA，即 2)3(2a，解得 a3（舍）当AODCPB 时，则 BC，即 )(，解得 a13（舍） ，372a；（3 ）能，如图，连接 BD，取中点 M；BOD90， B、O、D 三点共圆，且圆心 M（2， a） ，若 C 也在圆上，则 MCMB ，即 2222 )03()()3()( aa，整理得：045124a，即（ 52a） （ 92）0 ，解得 51a， 2（舍） ，3（舍） ， 3（舍） ，当 时，D
22、、O 、C 、B 四点共圆MyxPODCBA考向四：新定义背景下的二次函数问题典例 4：（2015河南）如图，边长为 8 的正方形 OABC 的两边在坐标轴上，以点 C 为顶点的抛物线经过点 A，点 P 是抛物线上点 A，C 间的一个动点（含端点） ，过点 P 作 PFBC 于点 F，点 D、E 的坐标分别为（ 0，6 ） ， （4，0 ） ，连接 PD、PE、DE（1 ）请直接写出抛物线的解析式；（2 ）小明探究点 P 的位置发现：当 P 与点 A 会点 C 重合时，PD 与 PF 的差为定值，进而猜想：对于任意一点 P，PD 与 PF 的差为定值，请你判断该猜想是否正确，丙说明理由；（3
23、）小明进一步探究得出结论：若将“使PDE 的面积为整数”的点 P 记作“ 好点”，则存在多个“ 好点 ”，且使 PDE 的周长最小的点 P 也是一个“好点” 请直接写出所有“好点”的个数，并求出PDE 周长最小时“好点”的坐标【分析】 （1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可；（2 ）首先表示出 P，F 点坐标，再利用两点之间距离公式得出 PD，PF 的长，进而求出即可； （3）根据题意当 P、E、F 三点共线时，PE+PF 最小，进而得出 P 点坐标以及利用PDE 的面积可以等于 4 到 13 所有整数，在面积为 12 时，a 的值有两个，进而得出答案【解答】解：（1）边长为 8 的正方形
24、OABC 的两边在坐标轴上，以点 C 为顶点的抛物线经过点 A，C（0，8） ，A（ 8，0） ，设抛物线解析式为： caxy2，则 64ca，解得： 81ac故抛物线的解析式为： 812；（2 ）正确，理由：设 P（a， 812） ，则 F（a，8 ） ，D（0 ，6） ， 2812122 aa，2281)(8aF，PD-PF=2（3 ）在点 P 运动时，DE 大小不变，则 PE 与 PD 的和最小时，PDE 的周长最小，PD PF=2， PD=PF+2，PE+PD=PE+PF+2 ，当 P、E、F 三点共线时，PE+PF 最小，此时点 P，E 的横坐标都为 4，将 x=4 代入 812xy
25、，得 y=6，P（4，6） ，此时PDE 的周长最小，且PDE 的面积为 12，点 P 恰为“ 好点，PDE 的周长最小时”好点“的坐标为：（4，6 ） ，由（ 2）得：P （a ， 812） ，点 D、E 的坐标分别为（ 0，6） ， （ 4，0） ，设直线 DE 的解析式为： y=kx+b，则有 06bk，得 236k所以 DE 解析式为： 623xy，则有 13)6(458122 aaPE，而14,08PDESaPDE 的面积可以等于 4 到 13 所有整数，在面积为 12 时，a 的值有两个，所以面积为整数时好点有 11 个，经过验证周长最小的好点包含这 11 个之内，所以好点共11
26、个，综上所述：11 个好点，P （4，6 ） 课时作业能力提升一、选择题1 （ 2017包头）已知一次函数 y14x，二次函数 y22x 22 ，在实数范围内，对于 x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值为 y1 与 y2，则下列关系正确的是（ ）Ay 1y 2 By 1y2 Cy 1y 2 Dy 1y2【分析】首先判断直线 y4x 与抛物线 y2x22 只有一个交点，如图所示，利用图象法即可解决问题【解答】解：由24xy消去 y 得到：x 22x10 ，0 ，直线 y4x 与抛物线 y2x 22 只有一个交点，如图所示观察图象可知：y 1y2，故答案：D2 （ 2018 威海）如图，将一个
27、小球从斜坡的点 O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y4x 1x2 刻画，斜坡可以用一次函数 y 21x 刻画，下列结论错误的是( ) A当小球抛出高度达到 7.5 时，小球距 O 点水平距离为 3mB小球距 O 点水平距离超过 4 米呈下降趋势C小球落地点距 O 点水平距离为 7 米D斜坡的坡度为 12 【分析】根据二次函数图象和性质可解答【解答】解：根据函数图象可知，当抛出的高度为 7 5 时，小球距离 O 点的水平距离有两值（为 3m 或 5m） ，A 结论错误；由 y4x 21x2 得 y （x 4 ） 28，则对称轴为直线 x4，当 x4 时，y 随 x 值的增大而减小，B 结论
28、正确；联立方程 y4x1x2 与y 21x 解得 0，或 27；则抛物线与直线的交点坐标为（0，0）或（7 ，7） ，C结论正确；由点（7， ）知坡度为 71 2（也可以根据 y 21x 中系数 的意义判断坡度为 12） ，D 结论正确；故选 A3 （ 2017泰安）如图，在 ABC 中，C=90，AB=10cm，BC=8cm，点 P 从点 A 沿 AC 向点C 以 1cm/s 的速度运动，同时点 Q 从点 C 沿 CB 向点 B 以 2cm/s 的速度运动（点 Q 运动到点 B 停止） ，在运动过程中，四边形 PABQ 的面积最小值为（ ）A19cm 2 B16 cm2 C15 cm2 D1
29、2 cm2【分析】在 RtABC 中，利用勾股定理可得出 AC=6cm，设运动时间为 t（0t4） ，则PC=（6 t）cm， CQ=2tcm，利用分割图形求面积法可得出 S 四边形 PABQ=t26t+24，利用二次函数性质即可求出四边形 PABQ 的面积最小值【解答】解：在 RtABC 中， C=90，AB=10cm，BC=8cm，AC= 2BCA=6cm设运动时间为 t（0t4） ，则 PC=（6 t）cm，CQ=2tcm，S 四边形 PABQ=SABCSCPQ= 21ACBC PCCQ= 2168 （6 t）2t=t2 6t+24=（t 3）2+15，当 t=3 时，四边形 PABQ
30、的面积取最小值，最小值为 15故答案：C4 （ 2017宿迁）如图，在 RtABC 中，C90，AC 6cm ，BC2cm，点 P 在边 AC 上，从点 A 向点 C 移动，点 Q 在边 CB 上，从点 C 向点 B 移动若点 P，Q 均以 1cm/s 的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接 PQ，则线段 PQ 的最小值是( )A20cm B18cm C2 5cm D3 2cm【分析】根据已知条件得到 CP6t，得到 PQ2PQ (6)t2(t3)18，可得到结论【解答】解：APCQt，CP6t，PQ2PC2(6)t2(3)18，0t2 ， 当 t2 时，PQ 的值最小，
31、线段 PQ 的最小值是 2 5，故答案：C5 （ 2017临沂）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度 h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间 t（单位：s）之间的关系如下表：t 0 1 2 3 4 5 6 7 h 0 8 14 18 20 20 18 14 下列结论：足球距离地面的最大高度为 20m； 足球飞行路线的对称轴是直线t=92；足球被踢出 9s 时落地； 足球被踢出 1.5s 时，距离地面的高度是 11m，其中正确结论的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【分析】由题意，抛物线的解析式为 y=at（t 9） ，把（
32、1，8 ）代入可得 a=1，可得y=t2+9t=（t 4.5） 2+20.25，由此即可一一判断【解答】解：由题意，抛物线的解析式为 y=at（t 9） ，把（1，8 ）代入可得 a=1，y=t2+9t=（t4.5） 2+20.25，足球距离地面的最大高度为 20.25m，故 错误，抛物线的对称轴 t=4.5，故正确，t=9 时， y=0， 足球被踢出 9s 时落地，故 正确，t=1.5 时， y=11.25，故错误正确的有，故答案：B6 （ 2018哈尔滨）将抛物线 y5x 21 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，所得到的抛物线为( )Ay5(x1) 21 By5(x1)
33、 21 C y5(x1) 23 Dy5(x1) 23【分析】先写成顶点式,根据抛物线解析式平称规律(对 x:在括号内左加右减;对 y 在左边直接上减下加)或转化为点的坐标平移规律 (左减右加上加下减 )直接求解【解答】解：给的抛物线解析式可以看做顶点式，顶点为（0，1 ）平移可以看做是顶点在移动到（1，1） ，所以选 A故答案：A7 （ 2016衢州）二次函数 y=ax2+bx+c（a0 ）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：x 3 2 1 0 1 y 3 2 3 6 11 则该函数图象的对称轴是（ ）A直线 x=3 B直线 x=2 C直线 x=1 D直线 x=0【分析】根据二次函数的
34、对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可【解答】解：x= 3 和1 时的函数值都是3 相等， 二次函数的对称轴为直线 x=2故答案：B二、填空题8 (2018沈阳)如图，一块矩形土地 ABCD 由篱笆围着，并且由一条与 CD 边平行的篱笆 EF分开已知篱笆的总长为 900m(篱笆的厚度忽略不计) ，当 AB _m 时，矩形 ABCD 的面积最大 EACDBF【分析】利用二次函数增减性及最值解决实际问题【解答】解：设 AB xm，因此 ABEFCD 3x，所以 AD BC9032x，矩 形 ABCD 的面积设为 y(平方米 )，所以 y x902245，由于二次项系数小于 0，所以y 有最大值
35、，当 x 2ba345()150 时，函数 y 取得最大值9 （ 2017阿坝州）如图，抛物线的顶点为 P(2 ，2)，与 y 轴交于点 A(0，3) 若平移该抛物线使其顶点 P 沿直线移动到点 P(2，2)，点 A 的对应点为 A，则抛物线上 PA 段扫过的区域(阴影部分)的面积为_【分析】根据平移的性质得出四边形 APPA是平行四边形，进而得出 AD，PP 的长，求出面积即可【解答】解：连接 AP，AP，过点 A 作 ADPP于点 D，由题意可得出：APAP ，AP=AP，四边形 APPA是平行四边形，抛物线的顶点为 P(2，2)，与 y 轴交于点 A(0，3)，平移该抛物线使其顶点 P
36、沿直线移动到点 P(2，2)，PO= 2，AOP=45，又 ADOP， ADO 是等腰直角三角形，PP= 242，AD=DO=sin45OA= 23，抛物线上 PA 段扫过的区域(阴影部分) 的面积为： 4=12故答案：1211 (2018武汉)飞机着陆后滑行的距离 y(单位：m)关于滑行时间 t(单位：s)的函数解析式是 y60t32t2，在飞机着陆滑行中，最后 4 s 滑行的距离是_ m.【分析】会利用配方法把二次函数一般式表示成顶点式,利用二次函数最值解决实际问题【解答】解： y60t 32t2 (t20) 2600 ，即当 t20 时，飞机停止滑行，此时滑行距离为 600m，当 t16
37、 时，y576m，故最后 4s 滑行的距离是 60057624m.故答案：24三、解答题 11 （ 2018襄阳）襄阳精准扶贫工作已进入攻坚阶段贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售在销售的 30 天中，第一天卖出 20 千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出 4 千克第 x 天的售价为 y 元/千克，y 关于 x 的函数解析式为 y761203mxxn ， 为 正 整 数 ， ， 为 正 整 数 ，且第 12天的售价为 32 元/千克，第 26 天的售价为 25 元/ 千克已知种植销售蓝莓的成本是 18 元/千克，每天的利润是
38、W 元（利润销售收入成本） （1 ） m_，n_；（2 ）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？（3 ）在销售蓝莓的 30 天中，当天利润不低于 870 元的共有多少天？【分析】 （1）根据“第 12 天的售价为 32 元/千克，第 26 天的售价为 25 元/千克”可知，x12 时，y32；x 26 时，y25，将它们代入 y 关于 x 的函数解析式中即可求出 m，n的值 （2）根据“在销售的 30 天中，第一天卖出 20 千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出 4 千克”可知，第 x 天的销售量为 204( x1)4x16，于是由“当天利润当天销售量每千克
39、的销售利润”求得 W 关于 x 的函数关系式，注意是分段函数，然后利用二次函数的最值问题和一次函数的增减性讨论求解 （3）就是要求出使 W870 的整数 x 值有多少个，即为多少天这需要根据（2）中的计算结果，结合二次函数与一元二次方程的关系及一元一次不等式知识求解【解答】解：（1）m12，n25（2 ）第 x 天的销售量为 204(x 1) 4 x16当 1x20 时，W(4x 16)( x3818)2x 272x3202(x18) 2968当 x18 时，W 最大值 968当 20 x30 时，W(4 x16)(2518)28x11228 0，W 随 x 的增大而增大当 x30 时，W 最
40、大值 952968952，当 x18 时， W 最大值 968即第 18 天当天的利润最大，最大利润为 968 元（3 ）当 1x20 时，令2x 272x320870 ，解得 x125，x 211 抛物线 W2x 272x 320 的开口向下，11 x 25 时，W87011x20x 为正整数， 有 9 天利润不低于 870 元当 20 x30 时，令 28x112870，解得 x271427 x30x 为正整数， 有 3 天利润不低于 870 元综上所述，当天利润不低于 870 元的共有 12 天12 （ 2018 威海）为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策：提供 10 万元的无
41、息创业贷款，小王利用这笔贷款，注册了一家淘宝网店，招收 5 名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无息贷款，已知该产品的成本为每件 4 元，员工每人每月的工资为 4 千元，该网店还需每月支付其它费用 1 万元，该产品每月销售量 y(万件)与销售单价 x(元) 之间的函数关系如图所示(1)求该网店每月利润 w(万元)与销售单价 x(元) 之间的函数表达式；(2)小王自网店开业起，最快在第几个月可还清 10 万元的无息贷款？【分析】：（1）先用待定系数法求出直线 AB 与 BC 的函数表达式，然后在 4x6 与6 x8 时，根据“每月利润销售单价每月销售量工资及其他
42、费用 ”列出 W 与 x 之间的函数表达式；（2）先求出每月的最大利润，然后求出最快还款的时间【解答】解：(1)设直线 AB的函数表达式为 yABkxb，代入 A（4，4） ，B（6 ，2） ，得426kb，解得18k直线 AB 的函数表达式为 yABx8 设直线 BC的函数表达式为 yBCk 1xb 1，代入 B（6 ，2） ，C（8，1 ） ，得1268kb，解得125，直线 BC 的函数表达式为 yBC 2x5工资及其他费用为 0.4513 （万元） 当 4x6 时， 483Wx，即213Wx当 6x8 时，2152，即227(2)当 4x 6 时， 2213561Wx，当 6x时， 1
43、W取得最大值 1当 6x8 时，22 3737，当 x7 时， 2取得最大值 1.501.53，即第 7 个月可以还清全部贷款13(2018吉林) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax 22ax3a(a0)与 x 轴相交于A，B 两点，与 y 轴相交于点 C，顶点为 D，直线 DC 与 x 轴相交于点 E（1 ）当 a 1 时，抛物线顶点 D 的坐标为_，OE_；（2 ） OE 的长是否与 a 值无关，说明你的理由；（3 ）设DEO，4560，求 a 的取值范围；（4 ）以 DE 为斜边，在直线 DE 的下方作等腰直角三角形 PDE设 P(m，n)，直接写出 n 关于 m 的函数解析式及自
44、变量 m 的取值范围【分析】 （1）当 a1 时，得到抛物线的解析式，求出相应顶点 D 和与 y 轴的交点坐标；进而求出 OE 的长；（ 2）与（1）类似，将字母 a 当作已知数即可；（3 ）分别求出 45和 60时 a 的值，进而确定 a 的取值范围；（4）利用等腰直角三角形构造三角形全等(或一线三直角)，得出 m 与 n 的关系式【解答】解：（1）(1 ，4)，3；（2 ） OE 长与 a 值无关理由：如图，y ax22ax3a，C(0，3a) ，D( 1，4a)直线 CD 的解析式为 yax3a当 y 0 时，x3OE3OE 的长与 a 值无关（3 ）当 45 时，在 RtOCE 中，OC OEOE3，OC3a，3a3a1 当 60时，在 RtOCE 中，OC OEOE 3 ，OC 3a，3a3 a 当 4560时，3 3 3 x13（4 ） nm 1(m1)(如图)过点 P 向抛物线的对称轴作垂线，过点 P 向 x 轴作垂线，垂足分别为 M、N则MP
