中考数学培优(含解析)之二次函数

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1、二次函数聚焦考点温习理解一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地,如果 )0,(2 acbaxy是 常 数 , ,那么 y 叫做 x 的二次函数。),(2cbxay是 常 数 ,叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于 abx2对称的曲线,这条曲线叫抛物线。3、二次函数图像的画法五点法:(1)先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点 M,并用虚线画出对称轴(2)求抛物线 cbxay2与坐标轴的交点:当抛物线与 x 轴有两个交点时,描出这两个交点 A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C,再找到点 C 的对称点 D。将这五个点按从左到右的顺序连接起

2、来,并向上或向下延伸,就得到二次函数的图像。二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式:(1)一般式: )0,(2 acbaxy是 常 数 ,(2)顶点式: )(kh是 常 数 ,(3)当抛物线 cxy2与 x 轴有交点时,即对应二次好方程02cbxa有实根 1和 2存在时,根据二次三项式的分解因式)(xa,二次函数 cbxay2可转化为两根式)(21xy。如果没有交点,则不能这样表示。三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值) ,即当 abx2时, abcy42最 值。如果自变量的取值范围是 21x,那么,首先要看 ab2是否在自变量取值范

3、围21x内,若在此范围内,则当 x= ab时, cy4最 值 ;若不在此范围内,则需要考虑函数在 21x范围内的增减性,如果在此范围内,y 随 x 的增大而增大,则当 2x时, cbay最 大 ,当 1x时, cbay12最 小 ;如果在此范围内,y 随 x 的增大而减小,则当 1x时, x12最 大 ,当 2x时,cba2最 小。四、二次函数的性质 1、二次函数的性质2、二次函数 )0,(2 acbaxy是 常 数 , 中, cb、 的含义:a表示开口方向: 0 时,抛物线开口向上, 0 时,图像与 x 轴有两个交点;当 =0 时,图像与 x 轴有一个交点;当 0 时,抛物线开口向上, 0

4、时,图像与 x 轴有两个交点;当 =0 时,图像与 x 轴有一个交点;当 0 时,图像与 x 轴没有交点。名师点睛典例分类考向一:求二次函数解系式典例 1:(2017宜宾)如图,抛物线 1)(221xy与 3)4(22xay交于点A(1 ,3 ) ,过点 A 作 x 轴的平行线,分别交两条抛物线于 B、C 两点,且 D、E 分别为顶点则下列结论:a 2;ACAE;ABD 是等腰直角三角形;当 x1 时, 21y其中正确结论的个数是( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】用待定系数法求二次函数解析式有三种方法:三点式、交点式、顶点式,灵活选择可使计算简洁本题给出的是顶点式,只要把点

5、A 坐标代入 y2,求出 a 的值,即可得到函数解析式;令 y3,求出 A、B、C 的横坐标,然后求出 BD、AD 的长,利用勾股定理的逆定理以及结合二次函数图象分析得出答案【解答】解:抛物线 1)(221x与 3)4(22xay交于点 A(1,3) , 3)41(32a,解得:a 3,故正确;E 是抛物线的顶点,AEEC ,无法得出 ACAE ,故错误;当 y3 时, )1(22x,解得: ,21x,故 B(3 ,3) ,D(1,1) ,则 AB4 ,ADBD , ABDABD 是等腰直角三角形,正确; )1(22x3)4(2x12(x1 )2 1 3(x 4 )23 时,解得: 7,21,

6、当 37 x1 时, y,故 错误故答案:B考向二:二次函数图象和性质典例 2:(2017荆门)在平面直角坐标系 xOy 中,二次函数 cbxay2(a0)的大致图象如图所示,则下列结论正确的是( )Aa 0,b0,c0 B 2ba1C abc0 D关于 x 的方程 12cbx有两个不相等的实数根【分析】根据二次函数的性质一一判断即可【解答】解:A、错误a 0,b0,c 0B、错误 2a1C、错误x1 时,yab c 0 D 、正确观察图象可知抛物线 cby与直线 y1 有两个交点,所以关于 x 的方程 12x有两个不相等的实数根故答案:D考向三:二次函数图象与系数的关系典例 3:(2017日

7、照)已知抛物线 cbxay2 (a0)的对称轴为直线 x2 ,与 x 轴的一个交点坐标为(4,0) ,其部分图象如图所示,下列结论:抛物线过原点;4ab c 0;a bc0;抛物线的顶点坐标为(2,b) ;当 x2 时,y 随 x 增大而增大其中结论正确的是( )A B C D【分析】由抛物线的对称轴结合抛物线与 x 轴的一个交点坐标,可求出另一交点坐标,结论正确;由抛物线对称轴为 2 以及抛物线过原点,即可得出 b4a 、c0 ,即4abc0 ,结论 正确; 根据抛物线的对称性结合当 x5 时 y0,即可得出a bc0,结论错误;将 x2 代入二次函数解析式中结合 4abc0,即可求出抛物线

8、的顶点坐标,结论正确; 观察函数图象可知,当 x2 时,y 随 x 增大而减小,结论错误综上即可得出结论【解答】解:抛物线 y ax2bxc(a0)的对称轴为直线 x2,与 x 轴的一个交点坐标为(4,0),抛物线与 x 轴的另一交点坐标为 (0,0),结论正确;抛物线 y cba2 (a0)的对称轴为直线 x2,且抛物线过原点, 2ba2,c 0,b4a,c 0,4ab c0,结论 正确;当 x1 和 x5 时,y 值相同,且均为正,abc0,结论错误;当 x2 时, 24a2bc(4abc)bb,抛物线的顶点坐标为(2 ,b),结论 正确;观察函数图象可知:当 x2 时,yy 随 x 增大

9、而减小,结论 错误综上所述,正确的结论有:故答案:C考向四:纯二次函数代数推理典例 4:(2017泰安)已知二次函数 y=ax2+bx+c 的 y 与 x 的部分对应值如下表:x 1 0 1 3y 3 1 3 1下列结论:抛物线的开口向下; 其图象的对称轴为 x=1; 当 x1 时,函数值 y 随x 的增大而增大;方程 ax2+bx+c=0 有一个根大于 4,其中正确的结论有( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】根据二次函数的图象具有对称性和表格中的数据,可以得到对称轴为 x= 23,再由图象中的数据可以得到当 x= 2取得最大值,从而可以得到函数的开口向下以及得到函数当x 23

10、时, y 随 x 的增大而增大,当 x 3时,y 随 x 的增大而减小,然后跟距 x=0 时,y=1,x= 1 时, y=3,可以得到方程 ax2+bx+c=0 的两个根所在的大体位置,从而可以解答本题【解答】解:由表格可知,二次函数 y=ax2+bx+c 有最大值,当 x= 203= 时,取得最大值,抛物线的开口向下,故正确,其图象的对称轴是直线 x= ,故错误,当 x 23时,y 随 x 的增大而增大,故正确,方程 ax2+bx+c=0 的一个根大于 1,小于0,则方程的另一个根大于 3,小于 3+1=4,故错误,故答案:B考向五:二次函数与几何综合推理典例 5:(2017泸州)已知抛物线

11、 142xy具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点 F(0,2)的距离与到 x 轴的距离始终相等,如图,点 M 的坐标为( 3,3) ,P 是抛物线 14xy上一个动点,则 PMF 周长的最小值是( )A3 B4 C5 D6【分析】过点 M 作 MEx 轴于点 E,交抛物线 y= 142xy于点 P,由 PF=PE 结合三角形三边关系,即可得出此时PMF 周长取最小值,再由点 F、M 的坐标即可得出 MF、ME的长度,进而得出PMF 周长的最小值【答案】解:过点 M 作 MEx 轴于点 E,交抛物线 142xy于点 P,此时PMF 周长最小值,F (0 ,2) 、M( 3,3 ) ,ME=3,

12、FM=2(30)(),PMF 周长的最小值=ME+FM=3+2=5故答案:C考向六:动态问题类的二次函数典例 6:(2017武汉)已知点 A(1 ,1) 、B(4 ,6)在抛物线 bxay2上 (1 )求抛物线的解析式; (2 )如图 1,点 F 的坐标为(0 ,m) (m2) ,直线 AF 交抛物线于另一点 G,过点 G 作 x轴的垂线,垂足为 H设抛物线与 x 轴的正半轴交于点 E,连接 FH、AE,求证:FHAE; (3 )如图 2,直线 AB 分别交 x 轴、y 轴于 C、D 两点点 P 从点 C 出发,沿射线 CD 方向匀速运动,速度为每秒 个单位长度;同时点 Q 从原点 O 出发,

13、沿 x 轴正方向匀速运动,速度为每秒 1 个单位长度点 M 是直线 PQ 与抛物线的一个交点,当运动到 t 秒时,QM=2PM,直接写出 t 的值【分析】以动态几何为背景,考查二次函数与一次函数关系、图象上点的坐标求法、用待定系数法求解析式,涉及函数、方程、数形结合、分类讨论等数学思想方法的考查【解答】 (1)解:将点 A(1,1) 、B(4 ,6)代入 bxay2中,解得: ,抛物线的解析式为 xy21(2 )证明:设直线 AF 的解析式为 y=kx+m,将点 A(1,1 )代入 y=kx+m 中,即k+m=1 ,k=m1,直线 AF 的解析式为 y=(m1)x+m联立直线 AF 和抛物线解

14、析式得方程组,解得: , ,点 G 的坐标为(2m, 2) GH x 轴,点 H 的坐标为(2m ,0 ) 抛物线的解析式为 y= )1(1x,点 E 的坐标为(1,0) 设直线 AE 的解析式为 1bky , 将 A(1,1) 、E(1,0 )代入 x中,解得: ,直线 AE 的解析式为 21xy设直线 FH 的解析式为 2bxky ,将 F(0 ,m) 、H(2m,0 )代入 2bky中,解得: ,直线 FH 的解析式为 mxy21FHAE (3 )设直线 AB 的解析式为 0bxky , 将 A(1 ,1) 、B(4 ,6)代入 0bxky ,解得: ,直线 AB 的解析式为 y=x+2

15、当运动时间为 t 秒时,点 P的坐标为(t2 ,t) ,点 Q 的坐标为( t,0) 当点 M 在线段 PQ 上时,过点 P 作 PPx 轴于点 P,过点 M 作 MMx 轴于点 M,则PQPMQM,如图 2 所示 QM=2PM, = = , QM= ,MM= t, 点M 的坐标为(t , t) 又点 M 在抛物线 y= x2 x 上, t= (t )2 (t ) ,解得:t= ;当点 M 在线段 QP 的延长线上时,同理可得出点 M 的坐标为(t 4,2t) ,点 M 在抛物线y= x2 x 上,2t= (t4)2 (t 4) ,解得:t= 综上所述:当运动时间为 秒、 秒、 秒或 秒时,Q

16、M=2PM 课时作业能力提升一选择题1 ( 2018岳阳,4,3 分)抛物线 y3( x2) 25 的顶点坐标是 ( )A(2 ,5) B(2,5) C(2,5) D(2,5)【分析】抛物线顶点式 ya(xh) 2k 的顶点坐标为(h,k).【解答】解:y3(x 2) 25 的顶点坐标是(2,5) 故答案:C2 ( 2017广安)如图所示,抛物线 yax 2bx c 的顶点为 B(1,3) ,与 x 轴的交点 A 在点(3,0)和( 2,0)之间,以下结论:b24ac0;ab c 0;2ab0 ;c a3其中正确的有( )A1 B2 C3 D4【分析】根据抛物线的图象与性质即可判断【解答】解:

17、抛物线与 x 轴有两个交点, 0,b 24ac0 ,故 错误;由于对称轴为 x 1,x 3 与 x1 关于 x1 对称, x3 时,y 0,x 1 时,yab c 0 ,故 错误;对称轴为 x 2ba1, 2ab0 ,故 正确;顶点为 B(1,3) ,ya bc3 , ya2ac3,即 ca3,故正确;故答案:B3 ( 2018黄冈)当 axa1 时,函数 yx 22x 1 的最小值为 1,则 a 的值为( )A1 B2 C0 或 2 D1 或 2【分析】考查二次函数增减性,先配方再分情况进行计算即可【解答】解:当 x0 或 2 时,函数 yx 22x1 2的值为 1,当 x0 时,y有最小值

18、 1,当 0x 2 时,y 有最小值 0,当 x2 时, y 有最小值 1;当 axa1时,函数 yx 22x 1 的最小值为 1,a1 0 或 a2 ,a1 或 2故答案: D4 ( 2017扬州)如图,已知 ABC 的顶点坐标分别为 A(0,2) 、B(1,0) 、C(2,1),若二次函数 y=x2+bx +1 的图象与阴影部分(含边界) 一定有公共点,则实数 b 的取值范围是( )Ab 2 Bb2 Cb2 Db 2【分析】抛物线经过 C 点时 b 的值即可【解答】解:把 C(2,1) 代入 y=x2+bx +1,得 4+2b+1=1,解得 b=2故 b 的取值范围是 b2故答案:C6 (

19、2018荆门)二次函数 yax 2bxc( a0) 的大致图象如图所示,顶点坐标为(2,9a ),下列结论: (1)4a2bc0 ;(2)5abc0;(3) a(x5)(x1)1 有两个根 x1 和 x2,且 x1x 2,则5 x 1x 21;(4)若方程ax 2bx c1 有四个根,则这四个根的和为4其中正确的结论有 ( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】本题考查了二次函数与系数的关系:对于二次函数 y=ax2+bx+c (a0),二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小当 a0 时,抛物线向上开口;当 a0 时,抛物线向下开口;一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴

20、的位置:当 a 与 b 同号时( 即 ab0) ,对称轴在 y 轴左; 当 a 与 b 异号时( 即 ab0),对称轴在 y 轴右常数项 c 决定抛物线与y 轴交点:抛物线与 y 轴交于(0,c) ;考查二次函数增减性及二次函数与一元二次方程的关系【解答】解:抛物线的开口向上,a0 抛物线的对称轴是y2, 2ba2,即 b4a将顶点坐标( 2,9a )代入抛物线的解析式,得4a2 bc9 ac2b13 a将代入上式,得 c5a 抛物线的解析式为ya (x24x5),即 ya(x 5)(x1)(1)当 x2 时,y4 a2bc4 a8a5 a7a0 ,可见结论(1)正确;(2)5abc5a4a5

21、a 4a0 ,可见结论(2) 错误;(3)将方程变形,得 x24x51a0 由求根公式,得 x219a当原方程有实数根时,19a 3, 93 x 12 5,x 2215x 1x 21可见结论(3)正确(4)方程ax 2bxc 1 可变形为 ax2bxc1每个一元二次方程的两根之和都等于ba4此方程的四个根之和是8可见结论 (4)错误综上所述,结论(1)、(3) 正确,即正确结论有 2 个,故答案:B6 (2018青岛)已知一次函数byxca的图象如图,则二次函数 yax 2bxc 在平面直角坐标系中的图象可能是( )A B C D【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系可得答案【解答】解:一

22、次函数byxca的图像从左往右是下降的,且与 y 轴的交点在 x 轴上方,ba0,c0 对于二次函数 yax 2bxc,c0, 2ba0 ,它的图像与 y 轴的交点在 x 轴上方,对称轴在 y 轴右侧,故只有选项 A 符合题意故选:A7 ( 2017恩施)如图,在平面直角坐标系中 2 条直线为 l1:y= 3x+3,l2:y= 3x+9,直线 l1交 x 轴于点 A,交 y 轴于点 B,直线 l2 交 x 轴于点 D,过点 B 作 x 轴的平行线交 l2 于点 C,点 A、E 关于 y 轴对称,抛物线 y=ax2+bx+c 过 E、B 、C 三点,下列判断中:ab+c=0;2a+b+c=5 ;

23、抛物线关于直线 x=1 对称;抛物线过点(b,c) ;S 四边形 ABCD=5,其中正确的个数有( )A5 B4 C3 D2【分析】考查抛物线与 x 轴的交点;一次函数图象上点的坐标特征;二次函数图象上点的坐标特征;关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标 【解答】解:直线 l1:y=3x+3 交 x 轴于点 A,交 y 轴于点 B, A(1,0) ,B(0 ,3) ,点 A、E 关于 y 轴对称,E (1,0 ) 直线 l2:y= 3x+9 交 x 轴于点 D,过点 B 作 x 轴的平行线交 l2 于点 C,D(3, 0) ,C 点纵坐标与 B 点纵坐标相同都是 3,把 y=3 代入 y=3x+9

24、,得 3=3x+9,解得 x=2, C(2 ,3) 抛物线 y=ax2+bx+c 过 E、B、C 三点,0342abc,解得123abc, y=x2+2x+3抛物线 y=ax2+bx+c 过 E( 1,0 ) ,ab+c=0,故 正确;a=1,b=2,c=3 ,2a+b+c=2+2+3=35,故 错误;抛物线过 B(0,3) ,C(2,3 )两点,对称轴是直线 x=1,抛物线关于直线 x=1 对称,故 正确;b=2,c=3 ,抛物线过 C( 2,3)点,抛物线过点(b,c) ,故正确;直线 l1l2,即 ABCD,又 BCAD,四边形 ABCD 是平行四边形,S 四边形 ABCD=BCOB=2

25、3=65,故错误综上可知,正确的结论有 3 个故答案:C二、填空题8 (2018广安)已知二次函数 yax 2bxc 的图象如图 6 所示,对称轴为直线 x1,则下列结论正确的有_( 填写结论的序号) abc0;方程 ax2bx c0 的两根是 x11 ,x 2 3;2 ab 0 ;当 x0 时,y 随 x 的增大而减小【分析】考查二次函数图象与性质,由图象和特殊点确点 a,b,c 的符号及函数增减性【解答】解:(1)抛物线开口向下,a0对称轴在 y 轴右边, 2b0b0抛物线与 y 轴的负半轴相交,c 0abc 0可见结论错误;(2)由抛物线的对称性可知,抛物线与横轴的另一个交点是(1 ,0

26、) ,可见结论正确;(3)抛物线的对称轴是 x1, 2ba1 变形得 2ab 0可见结论正确;(4)当 0x 1 时,y 随 x 的增大而增大,可见结论错误综上所述,正确的结论是9 ( 2018巴中)己知:二次函数 yax 2bxc 图象上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如表格所示,那么它的图象与 x 轴的另一个交点坐标是 .x 1 0 1 2 y 0 3 4 3 【分析】依据抛物线的对称性即可解答【解答】利用抛物线的对称性,抛物线 yax 2bx c 经过(0,3) 、 (2,3)两点,对称轴 x 1;点(1,0)关于对称轴对称点为(3,0) ,因此它的图象与 x 轴的另一个交点坐

27、标是1yxO 3(3,0) 故答案为(3,0) 10 ( 2018镇江)已知二次函数 y 24xk的图像的顶点在 x轴下方,则实数 k的取值范围是_【分析】根据二次函数图象与一元二次方程和等式关系解答即可【解答】解:二次函数 y 24xk的图像的顶点在 x轴下方,二次函数 y24xk的图像与 轴有两个公共点 24bac0,即2(4)1k0解得4故答案: 4三、解答题 11( 2018孝感改编)如图,抛物线 yax 2 与直线 ybxc 的两个交点坐标分别为 A(2,4) ,B(1,1),求方程 ax2=bx+c 的解【分析】考查待定系数法求函数解析式,二次函数与方程的关系,会根据解析式求直线与

28、抛物线的交点坐标【解答】解:由题意得2yaxbc的解为 124xy, 1,易得关于 x 的方程ax2bxc=0 的解为 x1=2,x 2=1所以方程 ax2=bx+c 的解是 x1=2,x 2=112( 2018淄博改编)已知抛物线 yx 22 x3 与 x 轴交于 A、B 两点( 点 A 在点 B 的左侧) ,将这条抛物线向右平移 m(m 0)个单位,平移后的抛物线与 x 轴交于 C,D 两点(点 C 在点 D 的左侧) 若 B,C 是线段 AD 的三等分点,求 m 的值.【分析】考查二次函数图象平移规律,要注意线段分情况解答【解答】解:抛物线 yx 22x3(x 3)(x 1),所以 A

29、点坐标为(3 ,0) ,B 点坐标O xABy为(1,0 ).抛物线平移后,当点 C 在 B 点右侧时,由 B,C 是线段 AD 的三等分点,知 m8.抛物线平移后,当点 C 在 B 点左侧时,由 B,C 是线段 AD 的三等分点,知 m213( 2018襄阳改编)已知二次函数 yx 2x 14m1 的图象与 x 轴有交点,求 m 的取值范围Am5 Bm2 Cm5 Dm2【分析】考查二次函数图象与一元二次方程关系【解答】解:抛物线 yax 2bxc 与 x 轴有交点,意即有两个交点或一个交点,所以b2 4ac0 ,则(1) 241( m1) 0 ,解得 m514 ( 2018南通)在平面直角坐

30、标系 xOy 中,已知抛物线 yx 22(k1)xk 25k(k 为常数) (1)若抛物线经过点 (1,k 2),求 k 的值(2 )若抛物线经过点(2k,y 1)和点(2,y 2),且 y1y 2,求 k 的取值范围(3 )若将抛物线向右平移 1 个单位长度得到新抛物线,当 1x2 时,新抛物线对应的函数有最小值32,求 k 的值【分析】 (1)根据抛物线 yx 22(k 1)x k 25k(k 为常数)经过点(1 ,k 2),可以将点(1,k 2)的坐标代入抛物线的解析式,得到关于 k 的方程,从而求出 k;(2 )根据抛物线经过点(2k,y 1)和点(2,y 2),可以代入抛物线解析式得

31、到 y1,y 2 关于 k 的表达式,在根据 y1y 2 列出关于 k 的不等式,从而求出 k 的取值范围;(3 )先利用顶点坐标的变化求出平移后的抛物线的解析式,再根据对称轴的位置,结合二次函数的增减性,分三种情况进行分类讨论【解答】 (1)抛物线 yx 22(k 1)x k 25k(k 为常数)经过点(1 ,k 2),1 2(k1) k25kk 2解得 k 3(2 ) 抛物线经过点(2k,y 1)和点(2,y 2),y 1(2k) 24k (k1) k 2 kk 2 k,y 244(k 1) k 25kk 213k8;又y 1 y2, k23kk 2 k8,k1(3 ) 抛物线 yx 22

32、(k1)x k 25k(xk1) 21k1,平移后的解析式为 y(x k) 21k1该抛物线的对称轴为直线 xk 若 k 1,则当 x1 时,y 有最小值3(1k) 21k132,解得 k11,k 232k1,k 11 ,k 2 都不符合题意,舍去若 1k 2,则当 xk 时,y 有最小值32 k132,解得 k1若 k 2,则当 x2 时,y 有最小值 (2k) 2 k132,解得 13, 2 k1,k3综上,k 的值为 1 或 3 15 ( 2018泰州)平面直角坐标系 xOy 中,二次函数 y=x2-2mx+m2+2m+2 的图象与 x 轴有两个交点.(1)当 m=-2 时,求二次函数的

33、图象与 x 轴交点的坐标;(2)过点 P(0,m-1)作直线 ly 轴,二次函数图像的顶点 A 在直线 l 与 x 轴之间(不包含点 A 在直线 l 上),求 m 的范围;(3)在(2)的条件下,设二次函数图像的对称轴与直线 l 相交于点 B,求ABO 的面积最大时 m 的值. yxO【分析】 (1)先将 m=-2 代入,得出函数解析式,在列一元二次方程即可求解;( 2)先对函数图像大概位置有个初步的认识,结合题干中的条件“图象与 x 轴有两个交点”知道抛物线的顶点在 x 轴下方,且在直线 l 上方,这样可以根据 A 的纵坐标列不等式组求解;(3)在(2)的基础上进一步明确抛物线顶点 A 在第

34、三象限,用含 m 的代数式表示出ABO 的底 AB 和高,就可以列出其面积关于 m 的函数关系式,从而利用二次函数的最值解决问题.【解答】解:(1)当 m=-2 时,函数为 y= x2+4x+2,令 y=0,则 x2+4x+2=0,解得 x1=-2+2,x 2=-2- ,函数图象与 x 轴交点的坐标为(-2+ ,0) , (-2- ,0).(2)y=x 2-2mx+m2+2m+2=(x-m) 2+2m+2,A(m,2m+2) ,抛物线与 x 轴有两个交点,且开口向上,点 A 在 x 轴下方,由题意得 120m,解得 m 的取值范围是-3m-1.(3) (3)由(2)知抛物线对称轴为直线 x=m

35、,顶点为 A(m,2m+2) ,-3m-1,A 在第三象限,B 为抛物线对称轴与 l 的交点, B(m,m-1)且点 m 在点 A 下方,AB =2m+2-(m-1)=m+3,S ABO = 21(-m)(m+3)=- 21(m+3)2+89,当 m=- 23时,SABO 最大 =89,综上,ABO 的面积最大时 m 的值为- .16 (2018 宜昌 )如图,在平面直角坐标系中,矩形 OADB 的顶点 A,B 的坐标分别为 A(-6,0),B(0,4),过点 C(-6,1)的双曲线 y= )0(kx与矩形 OADB 的边 BD 交于点 E.(3) 填空:OA=_,K=_,点 E 的坐标为_;

36、(4) 当 61t时,经过点 M( )2351,2tt与点 N( )2731,2tt的直线交 y 轴于点 F,点 P 是过 M,N 两点的抛物线 cbxy21的顶点。 当点 P 在双曲线 y= xk上时,求证:直线 MN 与双曲线 y= k没有公共点 当抛物线 cby21与矩形 OADB 有且只有三个公共点,求 t 的值; 当点 F 和点 P 随着 t 的变化同时向上运动时,求 t 的取值范围,并求在运动过程中直线MN 在四边形 OAEB 中扫过的面积【解答】解:综合考查二次函数图象与性质,二次函数定轴动区间及二次函数与方程,图形面积等问题,会用临界分析等办法进行合情推理与计算说理.【解答】解

37、:(1)填空: OA=6,k=-6,点 E 的坐标为( 23,4) ;(2 ) 通法是:设直线 MN: 1bxky,由题意得 112)3(7315btkt,解之得 1k, 242tb,直线 MN: 42txy(或分别过 M,N 作坐标轴的平行线,由 K 的几何意义,由纵横比得k= 12)3(1)72522 tttt,再把 M 或 N 的坐标代入 1bxy求出直线解析式 2142txy,从而避开繁杂运算)抛物线 cy21过M,N, ctbtt )3()(2173211522,解得 1b, 25tc,抛物线 5txy,顶点 P(-1, 5t)顶点 P(-1, 2t)在双曲线 xy6上, 61(2(

38、, 23t,此时直线MN: 83xy,联立 83和 并消去 y 得: 048582x,OADCBE此时 01536248352 ,直线 MN 与双曲线 xy6没有公共点;抛物线 1txy的顶点 P(-1, 23t),抛物线开口向下且顶点 P 在直线 x=-1 上,而 06,抛物线与矩形 OADB 有且只有三个公共点时,有二种情形:情形 1:当抛物线过 B 点时,此时有 254t,解得 56t;(或当抛物线过 B 点时,由对称性知,抛物线与 BD 有另一个交点( 2,4) , 25)(21t,得56t抛物线此时必与 AD 相交于 M(6 , ) , 此时 M 的横坐标为6 ,得 M 的纵坐标为0

39、85)(212 ,此时 M 在 DA 延长线上, 此时,令 y=0,得40x,解之得 x= 2或 7,即抛物线与 x 轴有两个交点为( )0,25或),7(,故此时抛物线与矩形有三个交点,即 B 点(0,4)和(-2,4)及 7(,故56t符合题意;情形 2:当 P 不过 B 点时,抛物线与矩形 OADB 有且只有三个公共点,则必有 P 必在 DB 上,且抛物线右侧必与线段 BO 相交,其左侧必与线段 AD 相交或有一个交点在 AO 上,则有435t,得 10t,当 t时,有 271xy,抛物线与线段 OB 交于(0 , 27)与 DB 交于(1,4) ,与线段 AD 交于(6 , 5) ,此

40、时,令 y=0,得x,解之得 21x,即抛物线与有两个交点,但这两个交点有一个 ),(在线段 AO 上故此时抛物线与矩形有三个交点,即(0, 27) , (1,4) ,021故 1t符合题意; 综上所述,存在 10t或值 56t使得抛物线与矩形OADB 有且仅有三个交点解法二:由于抛物线 252txy知抛物线开口向下,其顶点 P(-1, 235t),抛物线与 y 轴的交点为(0,5t-2), 当抛物线与矩形 OADB 有且仅有三个交点时,必有以下结论:即 35t即 10t时,抛物线必与 x 轴有两个交点,设这两个交点的横坐标为21,x, 21, 4tx,故有以三种情形:情形 1: 42503t

41、,解之得 1052t, 0721x,即抛物线与 x 轴交点一个在原点左边,一个在原点右边,此时抛物线与矩形的一个交点 K(0 ,5t-2)正好在 OB上,由抛物线对称性知,K 关于 x=-1 的对称点为(2 ,5t-2)却没能落在 AD 上,即此时抛物线与矩形只有两个交点,故此种情形不成立,应舍去;情形 2: 当 435t时,解之得 10t,此时 074102tx,即即抛物线与 x 轴交点一个在原点左边,一个在原点右边,此时抛物线与矩形的一个交点 K(0 ,5t-2)正好在 OB 上,K 关于 x=-1 的对称点为 5t却没能落在 AD 上,由 071x解得 21x,知 )0,21(恰好落在线

42、段 OA 上,故t时,抛物线与矩形 OADB 有且仅有三个交点;情形 3: 425t时,解之得 56t时,此时 0412tx,即抛物线与 x 轴交点一个在原点左边,一个在原点右边,此时 t,即抛物线与 y 轴交点 K(0,5t-2)或与 B 重合或在 B 点上方,当 K 与 B 重合时,有 56,此时抛物线与矩形的一个交点K(0,5t-2)正好在 OB 上,即抛物线恰好过 B 点,即与矩形有且仅有三个交点,分别是(0 , 4) 、 (2,0) , )0,27(当 K 在 B 点上方时,即 56t,抛物线开口向上,由 4235t知顶点 P 在直线 BD 上方,故此时,抛物线最多与矩形有两个交点,故此情形不成立,应舍去,综上所述,存在 10t或值 t使得抛物线与矩形 OADB 有且仅有三个交点点 P 的坐标为 P(-1, 235), 235typ,当 61t时, py随着 t 的增大而增大,此时,当 6t时,随着 t 的增大,点 P 在直线 x=-1 上向上运协,而点 F(0, 2142t), 1)4(2yF,由二次函数性质可知,当 41t时,Fy随着 t 的增大而增大,此时,当 t时,随着 t 的增大 F 点沿着 y 轴向上运动,综上所述, 1;

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