1、2.4 二次函数的应用,第二章 二次函数,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第1课时 图形面积的最大值,学习目标,1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.（难点） 2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值. 3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.（重点）,导入新课,复习引入,写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.（1）y=x2-4x-5; (2)y=-x2-3x+4.,解：（1）开口方向：向上；对称轴：x=2；顶点坐标：（2，-9）；,（2）开口方向：向下；对称轴：x= ；顶点坐标：（ ， ）；,由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点
2、， 当 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值,想一想：如何求出二次函数 y = ax 2 + bx + c 的最小（大）值？,讲授新课,典例精析,例1 写出下列抛物线的最值. （1）y=x2-4x-5;,解：(1)a=10，对称轴为x=2,顶点坐标为（2，-9）,当x=2时，y取最小值，最小值为-9;,(2)y=-x2-3x+4.,(2)a=-10，对称轴为x= ,顶点坐标为（ ， ）,当x= 时，y取最大值，最大值为 ;,例2 已知二次函数yax24xa1的最小值为2，则a的值为( ) A3 B1 C4 D4或1,解析：二次函数yax24xa1有最小值2， a0
3、，y最小值 2， 整理，得a23a40，解得a1或4. a0，a4.故选C.,C,引例:从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是 h= 30t - 5t 2 （0t6）小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？,可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点.也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值.,小球运动的时间是 3s 时，小球最高.小球运动中的最大高度是 45 m,例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的
4、面积S最大？,问题1 矩形面积公式是什么？,典例精析,问题2 如何用l表示另一边？,问题3 面积S的函数关系式是什么？,例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？,解:根据题意得,S=l(30-l),即 S=-l2+30l (0l30).,因此，当 时， S有最大值,也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.,变式1 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？,x,x,60-2x,问题2 我们可以设面积为S，如何设自变量？,问题3 面积S的
5、函数关系式是什么？,问题4 如何求自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？,问题5 如何求最值？,最值在顶点处，即当x=15m时，S=450m2.,问题1 变式1与例1有什么不同？,Sx(602x)2x260x.,0602x32，即14x30.,设垂直于墙的边长为x m，,变式2 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？,问题1 变式2与变式1有什么异同？,问题2 可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？,问题3 可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边？,设矩形面积为Sm2,与墙平行的一边为x
6、 m ，则,问题5 当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？,问题6 如何求最值？,由于30 18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时，S有最大值是378.,不正确.,问题4 如何求自变量的取值范围？,0 x 18.,实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围.通过变式1与变式2的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.,方法总结,知识要点,二次函数解决几何面积最值问题的方法,1.求出函数解析式和自变量的取值范围； 2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值, 3.检查求得的最
7、大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.,例2 用某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时，窗户通过的光线最多？(结果精确到0.01m)此时，窗户的面积是多少？(结果精确到0.01m2),典例精析,解：7x+4y+x=15,0x1.48.,设窗户的面积是S m2, 则,因此，当x约为1.07m时，窗户通过的光线最多. 此时，窗户的面积约为4.02 m2.,例3 要使运动员坐着船从圣火的拱形桥下穿过入场，现知拱形底座顶部离水面2 m,水面宽4 m,为了船能顺利通过，需要把水面下降1 m,问此时水面
8、宽度增加多少?,-3,(-2,-2) , (2,-2),4米,当 时， 所以，水面下降1m，水面的宽度为 m.,所以水面的宽度增加了 m.,解：建立如图所示坐标系,由抛物线经过点（2，-2），可得,所以，这条抛物线的解析式为,当水面下降1m时，水面的纵坐标为, (2,-2),设二次函数解析式为,如果要使运动员坐着船从圣火的拱形底座下穿过入场，现已知拱形底座顶部离水面 2 m,水面宽 4 m,为了船能顺利通过，需要把水面下降 1 m,问此时水面宽度增加多少?,4 m,4 m,请同学们分别求出对应的函数解析式.,O,O,解：设y=ax2+2，将（-2,0）代入得a= y= +2；,设y=a（x-2
9、）2+2，将（0,0）代入得a= y= +2；,知识要点,解决拱桥问题的一般步骤,(1)根据题意建立适当的直角坐标系； (2)把已知条件转化为点的坐标； (3)合理设出函数解析式； (4)利用待定系数法求出函数解析式； (5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算.,1.如图1，用长8m的铝合金条制成如图的矩形窗框,那么最大的透光面积是 .,当堂练习,2.赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为 ，当水面离桥拱顶的高度DO是2m时，这时水面宽度AB为（ ）,A.-10m B. m C. m D. m,D,3.如图1，在ABC中， B=90 ,AB=
10、12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过 s，四边形APQC的面积最小.,3,4. 某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2).(1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；,解：(1)因为矩形一边长为x，则另一边长为（6-x),S=x(6-x)=-x2+6x,其中0x6.,(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9;,当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩
11、形面积最大，为9m2.,这时设计费最多，为91000=9000（元）,(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.,5.公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O点恰在水面中心，OA=1.25米，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下.为使水流较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处达到距水面最大高度2.25米.如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不落到池外？,O,A,1.25米,O,A,解：建立如图坐标系，设抛物线顶点为B，水流落水处与x轴交于C点.由题意可知A（ 0，1.25）、B（ 1，
12、2.25 ）、C（x0，0）.,x,y,设抛物线为y=a(x1)2+2.25 (a0),把点A坐标代入，得a= 1；,当y= 0时， x= 0.5（舍去）， x=2.5,水池的半径至少要2.5米.,抛物线为y=-(x-1)2+2.25.,1.25,6.某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m，抛物线拱高为5.6m （1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式,解：（1）设抛物线的表达式为y=ax2 .点B（6，5.6）在抛物线的图象上，5.6=36a，抛物线的表达式为,（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底
13、边在AB上，每扇窗户宽1.5m，高1.6m，相邻窗户之间的间距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m请计算最多可安装几扇这样的窗户？,（2）设窗户上边所在直线交抛物线于C，D两点，D点坐标为（k，t），已知窗户高1.6m， t=5.6（1.6）=4 ，解得k= ， 即k15.07，k25.07 CD=5.07210.14（m） 设最多可安装n扇窗户， 1.5n+0.8（n1）+0.8210.14，解得n4.06 则最大的正整数为4 答：最多可安装4扇窗户.,7悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知
14、两端主塔之间的水平距离为900 m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m. (1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图，求这条抛物线对应的函数表达式；,解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为（0,0.5）， 对称轴为y轴，设抛物线的函数表达式为y=ax2+0.5. 抛物线经过点（450,81.5），代入上式，得 81.5=a4502+0.5. 解得 故所求表达式为,(1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图，求这条抛物线对应的函数表达式；,(2)计算距离桥两端主塔分别为100m,50m处垂直钢索的长.,解：当x=450100=350（m）时，得,当x=45050=400（m）时，得,课堂小结,几何面积最值问题,一个关键,一个注意,建立函数关系式,常见几何图形的面积公式,依 据,最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定,（二次函数的图象和性质）,实际问题,数学模型,（实物中的抛物线形问题）,拱桥问题,转化的关键,建立恰当的直角坐标系,能够将实际距离准确的转化为点的坐标； 选择运算简便的方法.,
