1、3.3.3最大值与最小值学习目标1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值知识点函数的最大值与最小值如图为yf(x)，xa，b的图象思考1观察a，b上函数yf(x)的图象，试找出它的极大值、极小值答案极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4)思考2结合图象判断，函数yf(x)在区间a，b上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？答案存在，f(x)minf(a)，f(x)maxf(x3)思考3函数yf(x)在a，b上的最大(小)值一定是某极值吗？答案不一定，也可能是区间端点的函数值梳理(1)函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区
2、间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值(2)求函数yf(x)在闭区间a，b上的最值的步骤求函数yf(x)在(a，b)内的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值1定义在闭区间a，b上的函数f(x)一定有最大值和最小值()2函数f(x)在a，b上的最大值是f(b)，最小值是f(a)()3定义在开区间(a，b)上的函数f(x)没有最值()4函数的所有极大值中最大的一个就是最大值()类型一求函数的最值命题角度1不含参数的函数求最值例1求下列函数的最值：(1)f(x)2x312x，x2,3；(
3、2)f(x)xsin x，x0,2解(1)f(x)2x312x，所以f(x)6x2126(x)(x)，令f(x)0，解得x或x.因为f(2)8，f(3)18，f()8，f()8；所以当x时，f(x)取得最小值8；当x3时，f(x)取得最大值18.(2)f(x)cos x，令f(x)0，又x0,2，解得x或x.计算得f(0)0，f(2)，f，f.所以当x0时，f(x)有最小值f(0)0；当x2时，f(x)有最大值f(2).反思与感悟求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点(1)对函数进行准确求导，并检验f(x)0的根是否在给定区间内；(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值；(3)比较
4、极值与端点函数值大小，确定最值跟踪训练1求函数f(x)ex(3x2)，x2,5的最值解f(x)3exexx2，f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3)ex(x3)(x1)在区间2,5上，f(x)ex(x3)(x1)0，函数f(x)在区间2,5上单调递减，当x2时，函数f(x)取得最大值f(2)e2；当x5时，函数f(x)取得最小值f(5)22e5.命题角度2含参数的函数求最值例2已知a是实数，函数f(x)x2(xa)，求f(x)在区间0,2上的最大值解由题意，得f(x)x(3x2a)，令f(x)0，解得x10，x2.当0，即a0时，f(x)在0,2上单调递增，从而f(x)maxf(
5、2)84a.当2，即a3时，f(x)在0,2上单调递减，从而f(x)maxf(0)0.当02，即0a3时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，从而f(x)max综上所述，f(x)max反思与感悟由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解跟踪训练2在例2中，将区间0,2改为1,0，结果如何？解令f(x)0，解得x10，x2a.当a0，即a0时，f(x)在1,0上单调递增，从而f(x)maxf(0)0；当a1，即a时，f(x)在1,0上单调递减，从而f(x)maxf(1)1a；当1a0，即a0时，f(x)，f
6、(x)的变化情况如下表：x1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7abb16ab由表可知，当x0时，f(x)取得极大值b，也是函数f(x)在1,2上的最大值，f(0)b3.又f(1)7a3，f(2)16a3f(1)，f(2)16a329，解得a2.当af(1)，f(2)16a293，解得a2.综上可得，a2，b3或a2，b29.反思与感悟已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题其中注意分类讨论思想的应用跟踪训练3设f(x)x3x22ax.当0a2时，f(x)在1,4上
7、的最小值为，求f(x)在该区间上的最大值解f(x)x2x2a，令f(x)0，得两根x1，x2.当x(，x1)，(x2，)时，f(x)0，所以f(x)在(，x1)，(x2，)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增当0a2时，有x11x24，所以f(x)在1,4上的最大值为f(x2)又f(4)f(1)6a0，即f(4)f(1)，所以f(x)在1,4上的最小值为f(4)8a，故a1，x22，从而f(x)在1,4上的最大值为f(2).类型三函数最值的综合应用例4设函数f(x)tx22t2xt1(xR，t0)(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)2tm对t(0,2)恒成立，求实数m的取值范围
8、解(1)f(x)t(xt)2t3t1(xR，t0)，当xt时，f(x)取最小值f(t)t3t1，即h(t)t3t1.(2)令g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由g(t)3t230，得t1，t1(不合题意，舍去)当t变化时g(t)，g(t)的变化情况如下表：t(0,1)1(1,2)g(t)0g(t)1m对t(0,2)，当t1时，g(t)max1m，h(t)2tm对t(0,2)恒成立，也就是g(t)0对t(0,2)恒成立，只需g(t)max1m1.故实数m的取值范围是(1，)反思与感悟(1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化f(x)恒成立f(x)m
9、ax；f(x)恒成立f(x)min.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“”跟踪训练4已知2xln xx2ax3对一切x(0，)恒成立，求a的取值范围解由2xln xx2ax3，则a2ln xx.设h(x)2ln xx(x0)则h(x)，令h(x)0，得x1，当x(0,1)时，h(x)0，h(x)单调递增h(x)minh(1)4.ah(x)min4.a的取值范围是(，41函数yxsin x，x的最大值是_答案解析因为y1cos x，当x时，y0，则函数在区间上为增函数，所以y
10、的最大值为ymaxsin .2函数f(x)x2ln x的最小值为_答案解析f(x)x，且x0.令f(x)0，得x1；令f(x)0，得0x1.f(x)在x1处取得极小值也是最小值，且f(1)ln 1.3函数f(x)x3x2xt在区间0,2上的最小值为3，则函数在0,2上的最大值为_答案6解析f(x)3x22x1，令f(x)0，解得x或x1.因为在0,1)上，f(x)0，所以当x1时，函数f(x)取极小值，也是最小值，则f(1)111t3，所以t4，又函数f(x)在两端点处的函数值为f(0)4，f(2)84246，所以函数在0,2上的最大值为6.4已知函数yx22x3在区间a,2上的最大值为，则a_.答案解析当a1时，最大值为4，不符合题意当1a2时，f(x)在a,2上是减函数，所以f(x)maxf(a)，即a22a3，解得a或a(舍去)5函数f(x)x3x22x5，若对于任意x1,2，都有f(x)m，则实数m的取值范围为_答案(7，)解析f(x)3x2x2，令f(x)0，得x或x1.可求得f(x)maxf(2)7.对于任意x1,2，f(x)7. 1求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值2已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论3“恒成立”问题可转化为函数最值问题
