1、3.3.3最大值与最小值一、选择题1函数y的最大值为()Ae B. C1 D0答案B2f(x)x312x8在3,3上的最大值为M,最小值为m,则Mm等于()A32 B24 C32 D12答案A解析因为函数f(x)x312x8,所以f(x)3x212.令f(x)0,解得x2或x2;令f(x)0,解得2x0)上的最小值为()A0 Be C. D1答案A解析求导得f(x)ln x1,当x1时,f(x)0,所以f(x)xln x在区间1,t1(t0)上是增函数,所以它的最小值为f(1)0.5已知函数f(x)2ln x(a0),若当x(0,)时,f(x)2恒成立,则实数a的取值范围为()Ae,) B(e
2、,)C(0,e) D(0,1)答案A解析由f(x)2,得a2x22x2ln x.设g(x)2x22x2ln x,则g(x)2x(12ln x),令g(x)0,得x或x0(舍去),因为当0x时,g(x)0;当x时,g(x)0.所以当x时,g(x)取得最大值g()e,故ae.二、填空题6已知a0,若函数f(x)在1,1上的最大值为2,则实数a的值为_答案1解析求导得f(x),令f(x)0,可得x1或xa,又f(1)0,f(a)1,f(1),若12,则有a1;若2,则也有a1,因此a1.7设aR,函数f(x)ax33x2,若函数g(x)f(x)f(x),x0,2在x0处取得最大值,则a的取值范围为_
3、答案解析因为f(x)3ax26x,所以g(x)ax33x23ax26xax2(x3)3x(x2)当g(x)在区间0,2上的最大值为g(0)时,g(0)g(2),即020a24,解得a.反之,当a时,对任意x0,2,g(x)x2(x3)3x(x2)(2x2x10)(2x5)(x2)0,而g(0)0,故g(x)在区间0,2上的最大值为g(0)综上所述,a的取值范围是.8已知函数f(x),g(x)均为a,b上的可导函数,在a,b上连续且f(x)g(x),则f(x)g(x)的最大值为_答案f(a)g(a)解析令F(x)f(x)g(x),f(x)g(x),F(x)f(x)g(x)0)y2t.当0t时,y
4、时,y0,可知y在内单调递增故当t时,MN有最小值三、解答题11已知函数f(x)x3ax23x.(1)若f(x)在1,)上是增函数,求实数a的取值范围;(2)若x3时f(x)有极值,求f(x)在1,a上的最大值和最小值解(1)f(x)3x22ax3,当x1,)时,f(x)0恒成立,amin3(当且仅当x1时取最小值)a3.即实数a的取值范围是(,3(2)由题意知,f(3)0,即276a30,a5,f(x)x35x23x,f(x)3x210x3.令f(x)0,得x13,x2(舍去)当1x3时,f(x)0;当3x0,即当x3时,f(x)取极小值f(3)9.又f(1)1,f(5)15,f(x)在1,
5、5上的最小值是f(3)9,最大值是f(5)15.12已知函数f(x)xln x.(1)求f(x)的最小值;(2)若对所有x1都有f(x)ax1,求实数a的取值范围解(1)f(x)的定义域为(0,),f(x)1ln x,令f(x)0,解得x;令f(x)0,解得0x1时,g(x)0,故g(x)在(1,)上是增函数,所以g(x)的最小值是g(1)1.因此ag(x)ming(1)1,故a的取值范围为(,113已知函数f(x)ax3x2b(xR)(1)若曲线yf(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y6x8,求a,b的值;(2)若a0,b2,当x1,1时,求f(x)的最小值解(1)f(x)3ax23x,
6、由f(2)6,得a1.由切线方程为y6x8,得f(2)4.又f(2)8a6b4,所以b2,所以a1,b2.(2)因为 f(x)ax3x22.所以f(x)3ax23x3x(ax1)令f(x)0,解得x0或x,分以下两种情况讨论:若1,即0a1,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(1,0)0(0,1)f(x)0f(x)极大值又f(1)a2,f(1)a2,所以f(x)minf(1)a.若01,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(1,0)0f(x)00f(x)极大值极小值f(1)a,f2.而ff(1)2a0,所以f(x)minf(1)a.综合,得f(x)minf(1)a
7、.14设函数f(x)ax33bx(a,b为实数,a0),当x0,1时,有f(x)0,1,则b的最大值是_答案解析f(x)ax33bx(a,b为实数,a0),f(x)3ax23b,令f(x)0,可得x,若1,则f(x)maxf(1)1,b;若01,则f(x)maxf1,f(1)0,b.b的最大值是.15已知函数f(x)(k为常数,e2.718 28是自然对数的底数),曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线与x轴平行(1)求k的值;(2)求f(x)的单调区间;(3)设g(x)(x2x)f(x),其中f(x)为f(x)的导函数,证明:对任意x0,g(x)0;当x(1,)时,h(x)0,所以当x(0,1)时,f(x)0;x(1,)时,f(x)0,g(x)1e2等价于1xxln x0,h(x)单调递增;当x(e2,)时,h(x)0,(x)单调递增,(x)(0)0,故当x(0,)时,(x)ex(x1)0,即1.所以1xxln x1e20,g(x)1e2.