1、第2课时 最大值、最小值的实际应用,第三章 2.2 最大值、最小值问题,学习目标,1.了解导数在解决实际问题中的作用. 2.能利用导数解决一些简单的恒成立问题. 3.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题的方法.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为 . (2)利用导数解决优化问题的实质是 . (3)解决优化问题的基本思路,知识点 生活中的优化问题,上述解决优化问题的过程是一个典型的 过程.,优化问题,求函数最值,数学建模,题型探究,类型一 与最值有关的恒成立问题,解答,解 由f(x)x3ax2bxc，
2、 得f(x)3x22axb，,所以f(x)3x2x2(3x2)(x1)，,当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,(2)若对x1,2，不等式f(x)c2恒成立，求实数c的取值范围.,解答,因为f(2)2c，所以f(2)2c为最大值. 要使f(x)f(2)2c， 解得c2. 故实数c的取值范围为(，1)(2，).,引申探究 若本例中条件不变，“把(2)中对x1,2，不等式f(x)c2恒成立”改为“若存在x1,2，不等式f(x)c2成立”，结果如何？,因为存在x1,2，不等式f(x)c2成立，,解得cR.故实数c的取值范围为R.,解答,反思与感悟 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤,跟踪
3、训练1 已知函数f(x)2xln x，g(x)x2ax3对一切x(0，)，f(x)g(x)恒成立，则a的取值范围是_.,解析 由2xln xx2ax3，,(，4,当x(0,1)时，h(x)0，h(x)是增加的. h(x)minh(1)4. a4.,解析,答案,类型二 实际生活中的最值问题,例2 请你设计一个包装盒，如图所示， ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切 去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三 角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个 点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AEFBx(cm). 某
4、厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.,命题角度1 几何中的最值问题,解答,令V(x)0，得x0(舍)或x20. 当00； 当20x30时，V(x)0. V(x)在x20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值.,解答,引申探究 本例条件不变，若要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？,EF602x，,8x(30x)8x2240x 8(x15)28152. 当x15时，S侧最大为1 800 cm2.,反思与感悟 面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按
5、函数求最值的方法求解，最后检验.,跟踪训练2 已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆柱 的高h的值为_.,解析,答案,解析 设圆柱的底面半径为r， 则S圆柱底2r2，S圆柱侧2rh， 圆柱的表面积S2r22rh.,令V(r)0，得S6r2，h2r， V(r)只有一个极值点， 当h2r时圆柱的容积最大.,解答,命题角度2 利润最大(或费用最少)问题,解 当0x10时，,(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值.,解答,解 当0x10时，,当x(0,9)时，W0，当x(9,10)时，W0， 所以当x9时，W取得极大值也为最大值，,综上可得
6、，当x9时，W取得最大值38.6. 故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元.,反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有 (1)利润收入成本. (2)利润每件产品的利润销售件数.,解答,因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为,解答,(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值.,当00，,答 当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值为70万元.,达标检测,1,2,3,4,5,解析,答案,解析 原油温度的瞬时变化率为f(x)x22x(x1)21(0x5)，所
7、以当x1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值1.,1,2,3,4,5,解析,答案,2.当x(0,1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是 A.5，) B.6，5 C.6，) D.4，3,1,2,3,4,5,at4t23t3恒成立. 令g(t)t4t23t3，则g(t)18t9t2，,函数g(t)在1，)上是减少的. 又g(1)160，g(t)0在1，)上恒成立， g(t)在1，)上是减少的， g(t)maxg(1)6，a6.,3.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为P元，销售量为Q件，且销量Q与零售价P有如下关系：Q8 300170PP2，则最大毛
8、利润为(毛利润销售收入进货支出) A.30元 B.60元 C.28 000元 D.23 000元,1,2,3,4,5,解析,答案,1,2,3,4,5,解析 毛利润为(P20)Q， 即f(P)(P20)(8 300170PP2)， f(P)3P2300P11 700 3(P130)(P30). 令f(P)0， 得P30或P130(舍). 所以当P30时，f(P)取得极大值也为最大值. 故当P30时，毛利润最大， 所以f(P)maxf(30)23 000(元).,4.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是
9、_元.,160,令y0，得x2. 当x2时，ymin160(元).,答案,解析,1,2,3,4,5,5.已知2xln xx2ax3对一切x(0，)恒成立，求a的取值范围.,解 由2xln xx2ax3(x0)，,解答,1,2,3,4,5,当x(0,1)时，h(x)0，h(x)是增加的. h(x)minh(1)4. ah(x)min4.,1.恒成立问题可转化为函数最值问题. 2.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)； (2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0； (3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.,规律与方法,
