1、22最大值、最小值问题第1课时函数的最大值、最小值的求法学习目标1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值知识点函数的最值点与最值如图为yf(x)，xa，b的图像思考1观察a，b上函数yf(x)的图像，试找出它的极大值、极小值答案极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4)思考2结合图像判断，函数yf(x)在区间a，b上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？答案存在，f(x)minf(a)，f(x)maxf(x3)梳理(1)最值点最大值点：函数yf(x)在区间a，b上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(
2、x0)最小值点：函数yf(x)在区间a，b上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不小于f(x0)(2)最值函数的最大值与最小值统称为最值(3)求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤求函数yf(x)在(a，b)内的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值1函数的最大值不一定是函数的极大值()2函数f(x)在区间a，b上的最大值与最小值一定在区间端点处取得()3有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值()类型一求函数的最值例1求函数f(x)ln(1x)x2在区间0,2上的最大值与最小值考点利
3、用导数求函数的最值题点利用导数求不含参数函数的最值解f(x)x(x1)，令x0，解得x12(舍去)，x21.当0x0，函数f(x)是增加的；当1x2时，f(x)f(2)f(0)，所以函数f(x)在0,2上的最小值为0，最大值为ln 2.反思与感悟求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点(1)对函数进行准确求导，并检验f(x)0的根是否在给定区间内(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值跟踪训练1求下列函数的最值(1)f(x)；(2)f(x)xsin x，x0,2考点利用导数求函数的最值题点利用导数求不含参数函数的最值解(1)函数f(x)的定义
4、域为R.f(x)，当f(x)0时，x2，当f(x)0时，x2，当f(x)2.所以f(x)在(，2)上是增加的，在(2，)上是减少的，所以f(x)无最小值，f(x)maxf(2).(2)f(x)cos x，x0,2，令f(x)0，得x或x.因为f(0)0，f(2)，f，f，所以当x0时，f(x)有最小值f(0)0，当x2时，f(x)有最大值f(2).例2已知函数f(x)exax2bx1，其中a，bR，e2.718 28为自然对数的底数设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间0,1上的最小值考点利用导数求函数的最值题点利用导数求含参数函数的最值解因为f(x)exax2bx1，所以g(
5、x)f(x)ex2axb，又g(x)ex2a，因为x0,1，1exe，所以：(1)若a，则2a1，g(x)ex2a0，所以函数g(x)在区间0,1上是增加的，g(x)ming(0)1b.(2)若a，则12ae，于是当0xln(2a)时，g(x)ex2a0，当ln(2a)x0，所以函数g(x)在区间0，ln(2a)上是减少的，在区间ln(2a)，1上是增加的，g(x)ming(ln(2a)2a2aln(2a)b.(3)若a，则2ae，g(x)ex2a0，所以函数g(x)在区间0,1上是减少的，g(x)ming(1)e2ab.综上所述，当a时，g(x)在区间0,1上的最小值为1b；当a时，g(x)
6、在区间0,1上的最小值为2a2aln(2a)b；当a时，g(x)在区间0,1上的最小值为e2ab.引申探究1若a1，b2，求函数g(x)在区间0,1上的最小值解因为a1，b2，g(x)f(x)ex2x2，又g(x)ex2，令g(x)0，因为x0,1，解得xln 2，所以当xln 2时，函数取极小值，也是最小值，故g(x)ming(ln 2)22ln 2242ln 2.2当b0时，若函数g(x)在区间0,1上的最小值为0，求a的值解当b0时，因为f(x)exax21，所以g(x)f(x)ex2ax，又g(x)ex2a，因为x0,1，1exe，所以：(1)若a，则2a1，g(x)ex2a0，所以函
7、数g(x)在区间0,1上是增加的，g(x)ming(0)1，不符合题意(2)若a，则12ae，于是当0xln(2a)时，g(x)ex2a0，当ln(2a)x0，所以函数g(x)在区间0，ln(2a)上是减少的，在区间ln(2a)，1上是增加的，g(x)ming(ln(2a)2a2aln(2a)0，解得a，不符合题意，舍去(3)若a，则2ae，g(x)ex2a0，所以函数g(x)在区间0,1上是减少的，g(x)ming(1)e2a0，解得a.反思与感悟对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等
8、于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值跟踪训练2已知函数f(x)x2aln x(aR)(1)若a2，求证：f(x)在(1，)上是增加的；(2)求f(x)在1，)上的最小值考点利用导数求函数的最值题点利用导数求含参数函数的最值(1)证明f(x)x22ln x，当x(1，)时，f(x)0，所以f(x)在(1，)上是增加的(2)解f(x)(x0)当a0时，f(x)0恒成立，所以f(x)在1，)上是增加的，最小值为f(1)1.当a0时，f(x)在上是减少的；f(x)在上是增加的若1，即01，即a2，则f(x)在上是减少的，在上是增加的，又fln ，所以f(x)在1，)上的最小值为ln .
9、综上，当a2时，f(x)在1，)上的最小值为1；当a2时，f(x)在1，)上的最小值为ln .类型二由函数的最值求参数例3已知函数f(x)ax36ax2b，x1,2的最大值为3，最小值为29，求a，b的值考点导数在最值问题中的应用题点已知最值求参数解由题设知a0，否则f(x)b为常数函数，与题设矛盾求导得f(x)3ax212ax3ax(x4)，令f(x)0，得x10，x24(舍去)当a0，且当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7abb16ab由表可知，当x0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在1,2上的最大值，f(0)b3.又f(1)
10、7a3，f(2)16a3f(1)，f(2)16a329，解得a2.当af(1)，f(2)16a293，解得a2.综上可得，a2，b3或a2，b29.反思与感悟已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题其中注意分类讨论思想的应用跟踪训练3已知函数h(x)x33x29x1在区间k,2上的最大值是28，求k的取值范围考点导数在最值问题中的应用题点已知最值求参数解h(x)x33x29x1，h(x)3x26x9.令h(x)0，得x13，x21，当x变化时，h(x)，h(x)的变化情况
11、如下表：x(，3)3(3,1)1(1，)h(x)00h(x)284当x3时，取极大值28；当x1时，取极小值4.而h(2)30的解集是x|0x0，可得(2xx2)ex0，ex0，2xx20，0x2，故正确；f(x)ex(2x2)，由f(x)0，得x，由f(x)或x0，得x，f(x)的单调减区间为(，)，(，)，单调增区间为(，)，f(x)的极大值为f()，极小值为f()，故正确；当x时，f(x)0，故f(x)在(，2)上为增函数；当x(2,2)时，f(x)0，故f(x)在(2，)上为增函数由此可知f(x)在x12处取得极大值，f(2)16c，f(x)在x22处取得极小值，f(2)c16.由题设条件知16c28，解得c12.此时f(3)9c21，f(3)9c3，f(2)16c4.因此，f(x)在3,3上的最小值为f(2)4.1求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值2已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论.
