1、第2课时最大值、最小值的实际应用一、选择题1要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高应为()A. cm B. cmC. cm D. cm考点利用导数求几何模型的最值问题题点利用导数求几何体体积的最值问题答案B解析设圆锥的高为h cm,0h0，当h时，V0)，为使利润最大，应生产()A9千台 B8千台 C7千台 D6千台考点利用导数求解生活中的最值问题题点利用导数求解最大利润问题答案D解析设利润为y，则y17x22x3x22x318x2(x0)，y6x236x6x(x6)，易知递增区间为(0,6)，递减区间为(6，)，当x6时，利润最大3已知函数f(x)x42x33m，xR
2、，若f(x)90恒成立，则实数m的取值范围是()Am BmCm Dm考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立问题中参数的取值范围答案A解析由f(x)2x36x20，得x0或x3，经检验知x3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)3m.不等式f(x)90恒成立，即f(x)9恒成立，所以3m9，解得m.4函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为()A0a1 B0a1C1a1 D0a0时，令f(x)0，解得x，易知f(x)在x处取得唯一的极小值，故极小值点在(0,1)内，所以01，即0a0)，则g(x).当x(0,1)时，g(x)0.故g(x)在(0,
3、1)上是减少的，在(1，)上是增加的，则当x1时，g(x)取得极小值也是最小值，且g(1)2，所以dmin.6设直线xt与函数f(x)x2，g(x)ln x的图像分别交于点M，N，则当|MN|最小时t的值为()A1 B. C. D.考点与最值有关的其他问题题点与最值有关的其他问题答案D解析令F(x)f(x)g(x)x2ln x(x0)，则F(x)2x.令F(x)0，得x(负值舍去)，易知F(x)在x处取得最小值，即当|MN|取最小值时，t的值为.7圆柱形金属饮料罐的体积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，则它的高与底面半径的比为()A21 B12C14 D41考点利用导数求解生活中的最
4、值问题题点用料、费用最少问题答案A解析设其体积为V，高与底面半径分别为h，r，则Vr2h，即h.由题意知，当表面积S最小时所用材料最省S2r22rh2r22r2r2.令S4r0，得r，当r时，h.则hr21时，表面积S最小二、填空题8统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为yx3x8，x(0,120，且甲、乙两地相距100千米，则当汽车以_千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最少考点利用导数求解生活中的最值问题题点用料、费用最少问题答案80解析当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为y升，依题意得，
5、yx2(0x120)则y(0x120)令y0，得x80，当x(0,80)时，y0，该函数是增加的，所以当x80时，y取得最小值9已知函数f(x)x33x22，x1，x2是区间1,1上任意两个值，M|f(x1)f(x2)|恒成立，则M的最小值是_考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立中参数的取值范围答案4解析f(x)3x26x3x(x2)，当1x0，f(x)是增加的，当0x1时，f(x)0)在x1处取得极值3c，其中a，b，c为常数(1)试确定a，b的值；(2)讨论函数f(x)的单调区间；(3)若对任意x0，不等式f(x)2c2恒成立，求实数c的取值范围考点利用导数求函数中参数的
6、取值范围题点利用导数求恒成立问题中参数的取值范围解(1)由f(x)在x1处取得极值3c，知f(1)bc3c，得b3.又f(x)4ax3ln xax44bx3x3(4aln xa4b)，由f(1)0，得a4b0，所以a4b12.(2)由(1)知f(x)48x3ln x(x0)令f(x)0，得x1.当0x1时，f(x)1时，f(x)0，f(x)为增函数因此，f(x)的单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1，)(3)由(2)知f(1)3c既是极小值，也是(0，)内的最小值，要使f(x)2c2(x0)恒成立，只需3c2c2，即2c2c30.从而(2c3)(c1)0，解得c或c1.故实数c的取值范围为
7、(，1.13.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为立方米假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元，半球体部分每平方米建造费用为4千元设该容器的总建造费用为y千元(1)将y表示成r的函数，并求该函数的定义域；(2)确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用考点利用导数求解生活中的最值问题题点用料、费用最少问题解(1)因为容器的体积为立方米，所以r2l，解得lr，所以圆柱的侧面积为2rl2r，两端两个半球的表面积之和为4r2，所以y34r248r2.又lr0，即
8、r0得2r；令y0得0r2，所以当r2米时，该容器的建造费用最小为96千元，此时l米四、探究与拓展14函数f(x)x312x3，g(x)3xm，若对任意x11,5，存在x20,2，f(x1)g(x2)，则实数m的最小值是_考点与最值有关的其他问题题点与最值有关的其他问题答案14解析f(x)3x2123(x2)(x2)，易知f(x)在1,2上是减少的，在2,5上是增加的，所以f(x)minf(2)824313，g(x)3xm在0,2上是增加的，所以g(x)ming(0)1m，由题意知131m，即m14.所以m的最小值为14.15设f(x)ln x，g(x)f(x)f(x)(1)求g(x)的单调区间和最小值(2)求a的取值范围，使得g(a)g(x)0成立考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立问题中参数的取值范围解(1)由题设知，f(x)的定义域为(0，)，f(x)，g(x)ln x(x0)，所以g(x).令g(x)0，得x1.当x(0,1)时，g(x)0，故(1，)是g(x)的递增区间因此，x1是g(x)在(0，)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)1.(2)g(a)g(x)0成立，即ln a0成立由(1)知，g(x)的最小值为1，所以ln a1，解得0ae.即a的取值范围是(0，e)
