1、3.3.3最大值与最小值一、选择题1函数y的最大值为()Ae B. C1 D0答案B2f(x)x312x8在3,3上的最大值为M，最小值为m，则Mm等于()A32 B24 C32 D12答案A解析因为函数f(x)x312x8，所以f(x)3x212.令f(x)0，解得x2或x2；令f(x)0，解得2x0)上的最小值为()A0 Be C. D1答案A解析求导得f(x)ln x1，当x1时，f(x)0，所以f(x)xln x在区间1，t1(t0)上是增函数，所以它的最小值为f(1)0.5已知函数f(x)2ln x(a0)，若当x(0，)时，f(x)2恒成立，则实数a的取值范围为()Ae，) B(e
2、，)C(0，e) D(0,1)答案A解析由f(x)2，得a2x22x2ln x.设g(x)2x22x2ln x，则g(x)2x(12ln x)，令g(x)0，得x或x0(舍去)，因为当0x时，g(x)0；当x时，g(x)0.所以当x时，g(x)取得最大值g()e，故ae.二、填空题6已知a0，若函数f(x)在1,1上的最大值为2，则实数a的值为_答案1解析求导得f(x)，令f(x)0，可得x1或xa，又f(1)0，f(a)1，f(1)，若12，则有a1；若2，则也有a1，因此a1.7设aR，函数f(x)ax33x2，若函数g(x)f(x)f(x)，x0,2在x0处取得最大值，则a的取值范围为_
3、答案解析因为f(x)3ax26x，所以g(x)ax33x23ax26xax2(x3)3x(x2)当g(x)在区间0,2上的最大值为g(0)时，g(0)g(2)，即020a24，解得a.反之，当a时，对任意x0,2，g(x)x2(x3)3x(x2)(2x2x10)(2x5)(x2)0，而g(0)0，故g(x)在区间0,2上的最大值为g(0)综上所述，a的取值范围是.8已知函数f(x)，g(x)均为a，b上的可导函数，在a，b上连续且f(x)g(x)，则f(x)g(x)的最大值为_答案f(a)g(a)解析令F(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)，F(x)f(x)g(x)0)y2t.当0t时，y
4、时，y0，可知y在内单调递增故当t时，MN有最小值三、解答题11已知函数f(x)x3ax23x.(1)若f(x)在1，)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x3时f(x)有极值，求f(x)在1，a上的最大值和最小值解(1)f(x)3x22ax3，当x1，)时，f(x)0恒成立，amin3(当且仅当x1时取最小值)a3.即实数a的取值范围是(，3(2)由题意知，f(3)0，即276a30，a5，f(x)x35x23x，f(x)3x210x3.令f(x)0，得x13，x2(舍去)当1x3时，f(x)0；当3x0，即当x3时，f(x)取极小值f(3)9.又f(1)1，f(5)15，f(x)在1,
5、5上的最小值是f(3)9，最大值是f(5)15.12已知函数f(x)xln x.(1)求f(x)的最小值；(2)若对所有x1都有f(x)ax1，求实数a的取值范围解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)1ln x，令f(x)0，解得x；令f(x)0，解得0x1时，g(x)0，故g(x)在(1，)上是增函数，所以g(x)的最小值是g(1)1.因此ag(x)ming(1)1，故a的取值范围为(，113已知函数f(x)ax3x2b(xR)(1)若曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y6x8，求a，b的值；(2)若a0，b2，当x1,1时，求f(x)的最小值解(1)f(x)3ax23x，
6、由f(2)6，得a1.由切线方程为y6x8，得f(2)4.又f(2)8a6b4，所以b2，所以a1，b2.(2)因为 f(x)ax3x22.所以f(x)3ax23x3x(ax1)令f(x)0，解得x0或x，分以下两种情况讨论：若1，即0a1，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(1,0)0(0,1)f(x)0f(x)极大值又f(1)a2，f(1)a2，所以f(x)minf(1)a.若01，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(1,0)0f(x)00f(x)极大值极小值f(1)a，f2.而ff(1)2a0，所以f(x)minf(1)a.综合，得f(x)minf(1)a
7、.14设函数f(x)ax33bx(a，b为实数，a0)，当x0,1时，有f(x)0,1，则b的最大值是_答案解析f(x)ax33bx(a，b为实数，a0)，f(x)3ax23b，令f(x)0，可得x，若1，则f(x)maxf(1)1，b；若01，则f(x)maxf1，f(1)0，b.b的最大值是.15已知函数f(x)(k为常数，e2.718 28是自然对数的底数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g(x)(x2x)f(x)，其中f(x)为f(x)的导函数，证明：对任意x0，g(x)0；当x(1，)时，h(x)0，所以当x(0,1)时，f(x)0；x(1，)时，f(x)0，g(x)1e2等价于1xxln x0，h(x)单调递增；当x(e2，)时，h(x)0，(x)单调递增，(x)(0)0，故当x(0，)时，(x)ex(x1)0，即1.所以1xxln x1e20，g(x)1e2.