1、1 3.2.13.2.1 单调性与最大单调性与最大( (小小) )值值 第第 1 1 课时课时 函数的单调性函数的单调性 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性(重点、难点) 2 会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性(难点) 3会求一些具体函数的单调区间(重点) 1.借助单调性的证明，培养逻辑推理素养 2利用求单调区间及应用单调性解题，培养直观想象和数学运算素养 1增函数与减函数的定义 条件 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，区间 DI：如果x1，x2D，当 x1x2时 都有 f(x1)f(x2) 都有 f(x
2、1)f(x2) 结论 那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数 那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图示 思考 1：增(减)函数定义中的 x1，x2有什么特征？ 提示：定义中的 x1，x2有以下 3 个特征： (1)任意性， 即“任意取 x1， x2”中“任意”二字绝不能去掉， 证明时不能以特殊代替一般； (2)有大小，通常规定 x1x2； (3)属于同一个单调区间 2函数的单调性与单调区间 如果函数 yf(x)在区间 D 上单调递增或单调递减，那么就说函数 yf(x)在这一区间具有2 (严格的)单调性，区间 D 叫做 yf(x)的单调区间 思考 2：函数 y1x在定义域上是减函数吗？
3、 提示： 不是 y1x在(， 0)上递减， 在(0， )上也递减， 但不能说 y1x在(， 0)(0，)上递减 1函数 yf(x)的图象如图所示，其增区间是( ) A4,4 B4，31,4 C3,1 D3,4 C 由图可知，函数 yf(x)的单调递增区间为3,1，选 C. 2下列函数中，在区间(0，)上是减函数的是( ) Ay1x Byx Cyx2 Dy1x D 函数 y1x 在区间(0，)上是减函数，其余函数在(0，)上均为增函数，故选 D. 3函数 f(x)x22x3 的单调减区间是_ (，1 因为 f(x)x22x3 是图象开口向上的二次函数，其对称轴为 x1，所以函数 f(x)的单调减
4、区间是(，1 求函数的单调区间 【例 1】 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数 (1)f(x)1x；(2)f(x) 2x1，x1，5x，x1； (3)f(x)x22|x|3. 3 解 (1)函数 f(x)1x的单调区间为(，0)，(0，)，其在(，0)，(0，)上都是增函数 (2)当 x1 时，f(x)是增函数，当 x1 时，f(x)是减函数，所以 f(x)的单调区间为(，1)，1，)，并且函数 f(x)在(，1)上是减函数，在1，)上是增函数 (3)因为 f(x)x22|x|3 x22x3，x0，x22x3，x0. 根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可
5、知， 函数 f(x)的单调区间为(，1，(1,0)，0,1)，1，) f(x)在(，1，0,1)上是增函数，在(1,0)，1，)上是减函数 求函数单调区间的方法 (1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解； (2)利用函数的图象，如本例(3) 提醒：若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(3) 1(1)根据如图所示，写出函数在每一单调区间上函数是增函数还是减函数； (2)写出 y|x22x3|的单调区间 解 (1)函数在1,0，2,4上是减函数，在0,2，4,5上是增函数 (2)
6、先画出 f(x) x22x3，x3，x22x3，1x3的图象，如图 4 所以 y|x22x3|的单调减区间为(，1，1,3；单调增区间为1,1，3，) 函数单调性的判定与证明 【例 2】 证明函数 f(x)x1x在(0,1)上是减函数 思路点拨 设元0 x1x2fx2 结论减函数 证明 设 x1， x2是区间(0,1)上的任意两个实数， 且x1x2， 则f(x1)f(x2)x11x1x21x2(x1x2)1x11x2(x1x2)x2x1x1x2(x1x2)11x1x2x1x21x1x2x1x2 0 x1x21， x1x20,0 x1x21，则1x1x20，即 f(x1)f(x2)， f(x)x
7、1x在(0,1)上是减函数 利用定义证明函数单调性的步骤 1取值：设 x1，x2是该区间内的任意两个值，且 x1x21， 则 f(x1)f(x2)2x112x212x2x1x11x21， 因为 x1x21， 所以 x2x10，x210， 所以 f(x1)f(b)，则 a，b 满足什么关系如果函数 f(x)是减函数呢？ 提示：若函数 f(x)是其定义域上的增函数，那么当 f(a)f(b)时，ab；若函数 f(x)是其定义域上的减函数，那么当 f(a)f(b)时，af(5x6)，则实数 x 的取值范围为_ 思路点拨 (1) 分析fx的对称轴与区间的关系 数形结合建立关于a的不等式 求a的范围 (2
8、) f2x3f5x6 f(x)在(，)上是增函数建立关于x的不等式 6 求x的范围 (1)(，4 (2)(，1) (1)f(x)x22(a1)x3 的开口向下，要使 f(x)在(，3上是增函数， 只需(a1)3，即 a4. 实数 a 的取值范围为(，4 (2)f(x)在(，)上是增函数，且 f(2x3)f(5x6)， 2x35x6，即 x0，5x60，2x332. x 的取值范围为32， . 函数单调性的应用 1函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围. 2若一个函数在区间a，b上是单调的，则此函数在这一单调区间内的
9、任意子集上也是单调的. 1定义单调性时应强调 x1，x2在其定义域内的任意性，其本质是把区间上无限多个函数值的大小比较转化为两个任意值的大小比较 2 证明函数的单调性(利用定义)一定要严格遵循设元、 作差、 变形、 定号、 结论的步骤，特别在变形上，一定要注意因式分解、配方等技巧的运用，直到符号判定水到渠成才可 7 3. 已知函数单调性求参数的范围时，要树立两种意识：一是等价转化意识， 如 f(x)在 D上递增，则 f(x1)f(x2)x1f(3)( ) (4)若函数 yf(x)在定义域上有 f(1)x21，则 y1y2x1x11x2x21x1x2x11x21. x1x21，x1x20，x110，x210， x1x2x11x210，即 y1y20，y1y2， yxx1在(1，)上是增函数
