1、3 32.12.1 单调性与最大单调性与最大( (小小) )值值 第第 1 1 课时课时 函数的单调性函数的单调性 学习目标 1.了解函数的单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3. 会用定义证明函数的单调性 知识点一 增函数与减函数的定义 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，区间 DI： (1)如果x1，x2D，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就称函数 f(x)在区间 D 上单调递增， 特别地，当函数 f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数 (2)如果x1，x2D，当 x1f(x2)，那么就称函数 f(x)在区间 D 上单调递减， 特别
2、地，当函数 f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数 思考 (1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗？ (2)在增函数和减函数定义中，能否把“任意 x1，x2D”改为“存在 x1，x2D”？ 答案 (1)不是；(2)不能 知识点二 函数的单调区间 如果函数 yf(x)在区间 D 上单调递增或单调递减，那么就说函数 yf(x)在这一区间具有(严 格的)单调性，区间 D 叫做 yf(x)的单调区间 特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单 调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开 (2)单调区间 D定义域
3、I. (3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大 1如果 f(x)在区间a，b和(b，c上都是增函数，则 f(x)在区间a，c上是增函数( ) 2函数 f(x)为 R 上的减函数，则 f(3)f(3)( ) 3若函数 yf(x)在定义域上有 f(1)f(2)，则函数 yf(x)是增函数( ) 4若函数 yf(x)在区间 D 上是增函数，则函数 yf(x)在区间 D 上是减函数( ) 一、函数单调性的判定与证明 例 1 根据定义，研究函数 f(x) ax x1在 x(1,1)上的单调性 解 当 a0 时，f(x)0，在(1,1)上不具有单调性， 当 a0 时，设 x1，x2为(1,1)上的任意两个数
4、，且 x1x2， 所以 f(x1)f(x2) ax1 x11 ax2 x21 ax1x21ax2x11 x11x21 ax2x1 x11x21 因为 x1，x2(1,1)且 x10，x110，x210， 当 a0 时，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)， 所以 f(x)在(1,1)上单调递减， 当 a0 时，f(x1)f(x2)0， 即 f(x1)0 时，f(x)在(1,1)上单调递减； 当 a0 时，f(x)在(1,1)上单调递增 反思感悟 利用定义判断或证明函数单调性的步骤 跟踪训练 1 求证：函数 f(x) 1 x2在(0，)上是减函数，在(，0)上是增函数 证明 对于任意
5、的 x1，x2(，0)，且 x1x2，有 f(x1)f(x2) 1 x21 1 x22 x22x21 x21x22 x2x1x2x1 x21x22 . x1x20，x1x20. f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2) 函数 f(x) 1 x2在(，0)上是增函数 对于任意的 x1，x2(0，)，且 x1x2，有 f(x1)f(x2)x2x1x2x1 x21x22 . 0x10，x2x10，x21x220. f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2) 函数 f(x) 1 x2在(0，)上是减函数 二、求单调区间并判断单调性 例 2 (1)如图是定义在区间5,5上的函数 yf(x)
6、，根据图象说出函数的单调区间，以及在 每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ 考点 求函数的单调区间 题点 求函数的单调区间 解 yf(x)的单调区间有5，2)，2,1)，1,3)，3,5，其中 yf(x)在区间5，2)， 1,3)上是减函数，在区间2,1)，3,5上是增函数 (2)作出函数 f(x) x3，x1， x223，x1 的图象，并指出函数 f(x)的单调区间 解 f(x) x3，x1， x223，x1 的图象如图所示， 由图可知，函数 f(x) x3，x1， x223，x1 的单调递减区间为(，1和(1,2)，单调递增区间 为2，) 反思感悟 (1)函数单调区间的两种求法 图象法即
7、先画出图象，根据图象求单调区间 定义法即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解 (2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现 两个以上单调区间时， 单调区间之间可用“， ”分开， 不能用“”， 可以用“和”来表示； 在单调区间 D 上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有 跟踪训练 2 (1)函数 y 1 x1的单调递减区间是_ 答案 (，1)，(1，) 解析 方法一 y 1 x1的图象可由 y 1 x的图象向右平移一个单位得到，如图， 所以单调减区间是(，1)，(1，) 方法二 函数 f(x) 1 x1的定义域为(，1)(1，)， 设 x1，x2
8、(，1)，且 x1x2，则 f(x1)f(x2) 1 x11 1 x21 x2x1 x11x21. 因为 x1x20，x110，x210，即 f(x1)f(x2) 所以函数 f(x)在(，1)上单调递减，同理函数 f(x)在(1，)上单调递减 综上，函数 f(x)的单调递减区间是(，1)，(1，) (2)函数 y|x22x3|的图象如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性 考点 求函数的单调区间 题点 求函数的单调区间 解 y|x22x3|的单调区间有(，1，1,1，1,3，3，)，其中单调递减区间 是(，1，1,3；单调递增区间是1,1，3，) 三、单调性的应用 例 3 (1)已知函数 f
9、(x)x22(a1)x2 在区间(，4上是减函数，则实数 a 的取值范围 为_ 答案 (，3 解析 f(x)x22(a1)x2 的开口方向向上，对称轴为 x1a， f(x)x22(a1)x2 在区间(，4上是减函数， 41a， a3， a 的取值范围是(，3 (2)若函数 yf(x)的定义域为 R， 且为增函数， f(1a)f(2a1)， 则 a 的取值范围是_ 答案 2 3， 解析 因为 yf(x)的定义域为 R，且为增函数， f(1a)f(2a1)，所以 1a2 3， 所以所求 a 的取值范围是 2 3， . 延伸探究 在本例(2)中，若将定义域 R 改为(1,1)，其他条件不变，则 a
10、的范围又是什么？ 解 由题意可知 11a1， 12a11. 解得 0a1. 因为 f(x)在(1,1)上是增函数， 且 f(1a)f(2a1)， 所以 1a2 3. 由可知，2 3a1， 即所求 a 的取值范围是 2 3，1 . 反思感悟 函数单调性的应用 (1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知 函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围 (2)若一个函数在区间a，b上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的 跟踪训练 3 已知函数 f(x)x22ax3 在区间1,2上具有单调性，求实数 a 的取值范围 解 函数 f(x)x22ax3
11、 的图象开口向上， 对称轴为直线 xa，画出草图如图所示 由图象可知函数在(，a和a，)上都具有单调性， 因此要使函数 f(x)在区间1,2上具有单调性，只需 a1 或 a2， 从而 a(，12，) 1函数 y6 x的减区间是( ) A0，) B(，0 C(，0)，(0，) D(，0)(0，) 答案 C 2函数 f(x)在 R 上是减函数，则有( ) Af(3)f(5) Df(3)f(5) 答案 C 解析 因为函数 f(x)在 R 上是减函数，3f(5) 3函数 y|x2|在区间3,0上( ) A递减 B递增 C先减后增 D先增后减 答案 C 解析 因为 y|x2| x2，x2， x2，x2. 作出 y|x2|的图象，如图所示， 易知函数在3，2)上为减函数，在2，0上为增函数 4若 f(x)x22(a2)x2 的单调增区间为3，)，则 a 的值是_ 答案 1 解析 f(x)x22(a2)x2 的单调增区间为2a，)， 2a3，a1. 5已知函数 f(x)为定义在区间1,1上的增函数，则满足 f(x)f 1 2 的实数 x 的取值范围为 _ 答案 1，1 2 解析 由题设得 1x1， x1 2， 解得1x1 2. 1知识清单： (1)增函数、减函数的定义 (2)函数的单调区间 2方法归纳：数形结合法 3常见误区：函数的单调区间不能用并集
