1、3函数的单调性(一)学习目标1.理解函数单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性.知识点一函数的单调性一般地，在函数yf(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2A，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么，就称函数yf(x)在区间A上是增加的，有时也称函数yf(x)在区间A上是递增的.在函数yf(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2A，当x1f(x2)，那么，就称函数yf(x)在区间A上是减少的，有时也称函数yf(x)在区间A上是递减的.如果函数yf(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，就称函数
2、yf(x)在该子集上具有单调性；如果函数yf(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数是增函数或减函数，统称为单调函数.思考(1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗？(2)在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2D”改为“存在x1，x2D”？答案(1)不是.(2)不能.知识点二函数的单调区间一般地，有下列常识：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开.(2)单调区间D定义域I.(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大.1.如果f(x)在区间a，b和(b，c上都是增
3、函数，则f(x)在区间a，c上是增函数.()2.若函数f(x)为R上的减函数，则f(3)f(3).()3.若函数yf(x)在定义域上有f(1)f(2)，则函数yf(x)是增函数.()4.若函数yf(x)在区间D上是增函数，则函数yf(x)在区间D上是减函数.()题型一求单调区间并判断单调性例1(1)如图是定义在区间5,5上的函数yf(x)，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？考点求函数的单调区间题点求函数的单调区间解yf(x)的单调区间有5，2)，2,1)，1,3)，3,5，其中yf(x)在区间5，2)，1,3)上是减函数，在区间2,1)，3,5上是增函数.
4、(2)函数y的递减区间是_.答案(，1)，(1，)解析y的图像可由y的图像向右平移一个单位得到，如图，递减区间是(，1)，(1，).反思感悟函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有.跟踪训练1(1)函数yf(x)，x4,4的图像如图所示，则函数f(x)的所有递减区间为()A.4，2 B.1,4C.4，2和1,4 D.4，21,4答案C(2)函数y|x22x3|的图像如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性.考点求函数的
5、单调区间题点求函数的单调区间解y|x22x3|的单调区间有(，1，1,1，1,3，3，)，其中递减区间是(，1，1,3；递增区间是1,1，3，).题型二函数单调性的证明例2求证：函数f(x)x在1，)上是增函数.考点函数单调性的判定与证明题点定义法证明具体函数的单调性证明设x1，x2是1，)上的任意实数，且1x1x2，则f(x1)f(x2)x1(x1x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2).1x1x2，x1x20,10，故(x1x2)0，即f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2).f(x)x在区间1，)上是增函数.反思感悟定义法证明或判断函数单调性的四个步骤跟踪训练2利用定义判断f(x
6、)在区间(0，)上的单调性.解任取x1，x2(0，)且x1x2，则f(x2)f(x1).因为x10，x130，x230，所以f(x2)f(x1)0，所以f(x)在区间(0，)上是增函数.题型三函数单调性的应用例3已知函数f(x)x22(a1)x2在区间(，4上是减函数，求实数a的取值范围.解f(x)x22(a1)x2的开口方向向上，对称轴为x1a，f(x)x22(a1)x2在区间(，4上是减函数，41a，a3，a的取值范围是(，3.延伸探究1.若f(x)x22(a1)x2的递减区间为(，4，则a的值是什么？解f(x)x22(a1)x2的递减区间为(，1a，1a4，a3.2.若f(x)x22(a
7、1)x2在区间2,4上单调，则a的取值范围是什么？解f(x)x22(a1)x2在区间2,4上单调，二次函数的对称轴x1a一定不在区间(2,4)内，1a2或1a4，即a1或a3，a的取值范围为(，31，).3.若yf(x)是定义在(1,1)上的减函数，且f(1a)f(2a1)，求a的取值范围.解f(1a)f(2a1)等价于解得0a，即所求a的取值范围是0a.反思感悟函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.(2)若一个函数在区间a，b上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.1.
8、函数yf(x)在区间2,2上的图像如图所示，则此函数的增区间是()A.2,0 B.0,1C.2,1 D.1,1考点函数单调性的概念题点函数单调性概念的理解答案C2.函数y的减区间是()A.0，) B.(，0C.(，0)，(0，) D.(，0)(0，)考点求函数的单调区间题点求函数的单调区间答案C3.函数yx26x的递减区间是()A.(，2 B.2，) C.3，) D.(，3答案D解析yx26x的开口方向向上，对称轴为x3.所以其递减区间是(，3.4.下列说法中正确的是()A.定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1，x2(a，b)，使得当x1x2时有f(x1)f(x2)，则f(x)在(a，
9、b)上为增函数B.定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2(a，b)，使得当x1x2时有f(x1)f(x2)，则f(x)在(a，b)上为增函数C.若f(x)在区间A上为减函数，在区间B上也为减函数，则f(x)在AB上也为减函数D.若f(x)在区间I上为增函数且f(x1)f(x2)(x1，x2I)，则x1f(1m)，则实数m的取值范围是_.答案(，1)解析由2m1m得m1.1.证明函数的单调性时要注意以下几点(1)用定义证明函数单调性时，易忽视x1，x2的任意性.(2)要证明f(x)在a，b上不是单调函数，只要举出一个反例即可.2.判断函数的单调性可用定义法、直接法、图像法，而函数单调性的证明现在只能用定义证明.3.已知函数单调性求参数的范围时，要树立两种意识：一是等价转化意识：如f(x)在D上递增，则f(x1)f(x2)x1x2.二是数形结合意识：如处理一(二)次函数及反比例函数中的含参数的范围问题.
