1、3函数的单调性(二)学习目标1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.能求二次函数在闭区间上的最值.知识点一函数的最大(小)值对于函数yf(x)，其定义域为D，如果存在x0D，f(x0)M，使得对于任意的xD，都有f(x)M(f(x)M)，那么，我们称M是函数yf(x)的最大(小)值，即当xx0时，f(x0)是函数yf(x)的最大(小)值，记作ymaxf(x0)(yminf(x0).思考在如图所示的函数中，最大的函数值和最小的函数值分别是多少？1为什么不是最小值？答案最大的函数值为4，最小的函数值为2.1没有A中的元素与之对应，不是函数值.知识点二函数的最大(小
2、)值的几何意义一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个.思考函数yx2，x1,1的图像如图所示：试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值.答案x1时，y有最大值1，对应的点是图像中的最高点，x0时，y有最小值0，对应的点为图像中的最低点.1.任何函数f(x)都有最大值和最小值.()2.若存在实数M，使f(x)M，则M是函数f(x)的最大值.()3.函数f(x)取最大值时，对应的x可能有无限多个.()4.如果f(x)的最大值、最小值分别为M，m，则f(x)的值域为m，M.()题型一图像法求函数的最值例1(1)已知函数f(x)在区间2,5上的图像如图所示，
3、则此函数的最小值、最大值分别是()A.2，f(2) B.2，f(2)C.2，f(5) D.2，f(5)答案C(2)已知函数f(x)画出函数的图像并写出函数的单调区间；根据函数的图像求出函数的最小值.解函数的图像如图所示.由图像可知f(x)的递增区间为(，0)和0，)，无递减区间.由函数图像可知，函数的最小值为f(0)1.反思感悟图像法求函数最值的一般步骤跟踪训练1已知函数f(x)则f(x)的最大值为_.考点函数的最值及其几何意义题点由函数图像求最值答案2解析f(x)的图像如图：则f(x)的最大值为f(2)2.题型二利用函数的单调性求最值例2已知函数f(x)，x3,5.(1)判断函数f(x)的单
4、调性，并证明；(2)求函数f(x)的最大值和最小值.解(1)f(x)是增函数，证明如下：任取x1，x23,5且x1x2，f(x1)f(x2)，因为3x1x25，所以x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2).所以f(x)在3,5上为增函数.(2)由(1)知，f(x)在3,5上为增函数，则f(x)maxf(5)，f(x)minf(3).反思感悟(1)若函数yf(x)在区间a，b上是增函数，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a).(2)若函数yf(x)在区间a，b上是减函数，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b).(3)若函数yf(x)有多个单调区间，那就先求出
5、各区间上的最值，再从各区间的最值中决出最大(小)值.函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值.(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势.跟踪训练2已知函数f(x)(x2,6)，求函数的最大值和最小值.考点函数的最值及其几何意义题点由函数单调性求最值解设x1，x2是区间2,6上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2).由2x10，(x11)(x21)0，于是f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2).所以函数f(x)在区间2,6上是减函数.因此函数f(x)在区间2,6的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在x2时取
6、得最大值，最大值是2，在x6时取得最小值，最小值是.题型三求二次函数的最值例3已知函数f(x)x22x3，若x0,2，求函数f(x)的最值.解函数f(x)x22x3开口向上，对称轴x1，f(x)在0,1上是减函数，在1,2上是增函数，且f(0)f(2).f(x)maxf(0)f(2)3，f(x)minf(1)4.延伸探究1.本例函数不变，若xt，t2，求函数f(x)的最小值.解对称轴x1，(1)当1t2即t1时，f(x)在t，t2为减函数，f(x)minf(t2)(t2)22(t2)3t22t3.(2)当t1t2，即1t1时，f(x)minf(1)4.(3)当11时，f(x)在t，t2为增函数
7、，f(x)minf(t)t22t3.设函数f(x)的最小值为g(t)，则有g(t)2.本例改为：已知函数f(x)x22ax3，若x0,2.求函数的最小值.解f(x)x22ax3的对称轴为xa.(1)当a0时，f(x)在0,2上为增函数，f(x)minf(0)3；(2)当02时，f(x)在0,2上为减函数，f(x)minf(2)14a.综上所述：当a0时，最小值为3；当02时，最小值为14a.反思感悟(1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素.(2)图像直观，便于分析、理解；配方法说理更严谨，一般用于解答题.跟踪训练3(1)求二次函数f(x)x22ax2
8、在2,4上的最小值；(2)求函数f(x)x24x4在闭区间t，t1(tR)上的最小值.考点函数的最值及其几何意义题点二次函数最值解(1)函数图像的对称轴是xa，当a4时，f(x)在2,4上是减函数，f(x)minf(4)188a.当2a4时，f(x)minf(a)2a2.设f(x)在2,4上的最小值为g(a).g(a)(2)f(x)x24x4(x2)28.设f(x)在t，t1上的最小值为g(t).当t2时，f(x)在t，t1上是增函数，g(t)f(t)t24t4；当t2t1，即1t2时，g(t)f(2)8；当t12即t400时，f(x)60 000100x是减函数，f(x)60 0001004
9、0025 000.当x300时，f(x)max25 000，即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元.素养评析(1)求解实际问题的四个步骤读题：分为读懂和深刻理解两个层次，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系(目标与条件的关系).建模：把问题中的关系转化成函数关系，建立函数解析式，把实际问题转化成函数问题.求解：选择合适的数学方法求解函数.评价：对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后将结果应用于现实，作出解释或预测.(2)数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学方法构建模型解决问题的素养，是数学核心素养的重要内容.1.函数yx1在区间上的最大
10、值是()A. B.1 C. D.3考点函数的最值及其几何意义题点利用一次函数单调性求最值答案C2.函数f(x)在1，)上()A.有最大值无最小值B.有最小值无最大值C.有最大值也有最小值D.无最大值也无最小值考点函数的最值及其几何意义题点利用分式函数单调性求最值答案A3.函数f(x)x2，x2,1的最大值、最小值分别为()A.4,1 B.4,0C.1,0 D.以上都不对考点函数的最值及其几何意义题点二次函数的最值答案B4.已知函数f(x)则f(x)的最大值、最小值分别为()A.10,6 B.10,8C.8,6 D.以上都不对考点函数的最值及其几何意义题点分段函数的最值答案A5.已知函数f(x)求函数f(x)的最大值、最小值.解作出f(x)的图像如图：由图像可知，当x2时，f(x)取最大值为2；当x时，f(x)取最小值为.所以f(x)的最大值为2，最小值为.求函数最大(小)值的常用方法有：(1)观察法，对于简单的函数，可以依据定义域观察求出最值；(2)配方法，对于“二次函数”类的函数，一般通过配方法求最值；(3)图像法，对于图像较容易画出来的函数，可借助图像直观地求出最值；(4)单调性法，对于较复杂的函数，分析单调性(需给出证明)后，依据单调性确定函数最值.
