1、5.35.3 函数的单调性函数的单调性 第第 1 1 课时课时 函数的单调性函数的单调性 学习目标 1.了解函数的单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3. 会用定义证明函数的单调性 知识点一 增函数与减函数的定义 前提条件 设函数 yf(x)的定义域为 A，区间 IA 条件 如果对于区间 I 内的任意两个值 x1，x2，当 x1x2时 都有 f(x1)f(x2) 图示 结论 yf(x)在区间 I 上是增函数， I 称为 yf(x)的增区间 yf(x)在区间 I 上是减函数，I 称 为 yf(x)的减区间 思考 1 所有的函数在定义域上都具有单调性吗？举例说明 答案 不
2、是如函数 yx2，y1 x等 思考 2 在增函数和减函数定义中，能否把“任意 x1，x2I”改为“存在 x1，x2I”？举例 说明 答案 不能如对于函数 yx2，存在42，且(4)2f(1)( ) 2若函数 f(x)在区间(1,2和(2,3)上均单调递增，则函数 f(x)在区间(1,3)上单调递增( ) 3若函数 yf(x)在定义域上有 f(1)f(2)，则函数 yf(x)是增函数( ) 4若函数 yf(x)在区间 D 上单调递增，则函数 yf(x)在区间 D 上是减函数( ) 一、函数单调性的判断与证明 例 1 用定义判断函数 f(x)ax1 x2 a1 2 在(2，)上的单调性 解 设2x
3、1x2， 则 f(x2)f(x1)ax21 x22 ax11 x12 ax21x12ax11x22 x22x12 x2x12a1 x12x22 . 2x10，x120，x220， 故当 a1 2时，f(x2)f(x1)1 2时，f(x2)f(x1)0， f(x)在(2，)上是增函数 综上得，当 a1 2时，f(x)在(2，)上是增函数 反思感悟 利用定义判断或证明函数单调性的步骤 跟踪训练 1 利用单调性的定义，证明函数 f(x)x2 x1在(1，)上是减函数 证明 设对于任意 x1，x2(1，)，且 x1x2， 则 f(x1)f(x2)x12 x11 x22 x21 x2x1 x11x21.
4、 因为1x10，x110，x210， 所以 x2x1 x11x210， 即 f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2) 所以 f(x)x2 x1在(1，)上是减函数 二、求函数的单调区间 例 2 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上单调递增还是单调递减 (1)f(x)1 x； (2)f(x) 2x1，x1， 5x，x1； (3)f(x)x22|x|3. 解 (1)函数 f(x)1 x的单调区间为(，0)，(0，)，其在(，0)，(0，)上都单 调递增 (2)当 x1 时，f(x)单调递增，当 x1 时，f(x)单调递减，所以 f(x)的单调区间为(，1)，1， )，并且函数 f(
5、x)在(，1)上单调递减，在1，)上单调递增 (3)因为 f(x)x22|x|3 x22x3，x0， x22x3，x0. 根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知， 函数 f(x)的单调区间为(，1，(1,0)，0,1)，1，) f(x)在(，1，0,1)上单调递增，在(1,0)，1，)上单调递减 反思感悟 求函数单调区间的方法 (1)利用基本初等函数的单调性， 如本例(1)和(2)， 其中分段函数的单调区间要根据函数的自变 量的取值范围分段求解 (2)利用函数的图象，如本例(3) 提醒：若所求出函数的增区间或减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本 例(3) 跟踪训练 2
6、借助函数图象，求函数 f(x)|x21|x 的增区间 解 当 x1 或 x1 时， f(x)x2x1 x1 2 25 4； 当1xf(5x6)，则实数 x 的取值范围为 _ 答案 (，1) 解析 f(x)在(，)上是增函数，且 f(2x3)f(5x6)， 2x35x6，即 x0， 5x60， 2x33 2， x 的取值范围为 3 2， . 反思感悟 由函数单调性求参数范围的处理方法 (1)由函数解析式求参数 若为二次函数判断开口方向与对称轴利用单调性确定参数满足的条件 若为一次函数由一次项系数的正负决定单调性 若为复合函数 y|f(x)|或 yf(|x|)数形结合，探求参数满足的条件 (2)当
7、函数 f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号 “f ”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域 跟踪训练 3 (1)若 f(x)在 R 上是减函数，则 f(1)与 f(a21)之间有( ) Af(1)f(a21) Bf(1)f(a21) Cf(1)f(a21) Df(1)f(a21) 答案 B 解析 f(x)在 R 上是减函数， 对任意 x1，x2，若 x1f(x2) 又1f(a21) (2)若 f(x)是定义在0，)上的减函数，则不等式 f(x)2x8， 解得8 3x4. 1函数 yf(x)，x4,4的图象如图所示，则 f(x)
8、的增区间是( ) A4,4 B4，31,4 C3,1 D3,4 答案 C 解析 由图象知增区间为3,1 2(多选)下列函数在区间(0，)上单调递增的是( ) Ay2x1 Byx21 Cy3x Dyx22x1 答案 ABD 解析 函数 y3x 在区间(0，)上单调递减 3函数 f(x)在 R 上是减函数，则有( ) Af(3)f(5) Df(3)f(5) 答案 C 解析 因为函数 f(x)在 R 上是减函数，3f(5) 4若 y(2k1)xb 是 R 上的减函数，则有( ) Ak1 2 Bk1 2 Ck1 2 Dk1 2 答案 C 解析 由 2k10，得 k1 2. 5已知 f(x)是定义在 R 上的增函数，且 f(x22)f(x)，则 x 的取值范围是_ 答案 (2,1) 解析 x22x，即 x2x20，解得2x1. 1知识清单： (1)增函数、减函数的定义 (2)函数的单调性与单调区间 2方法归纳：数形结合法 3常见误区： (1)函数的单调区间不能用并集 (2)利用函数的单调性求参数的取值范围忽略函数的定义域
