1、专题六 重温高考压轴题-函数零点问题集锦函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题精选高考压轴题及最新高考模拟压轴题，形成函数零点问题集锦，例题说法，高效训练，进一步提高处理此类问题的综合能力.【典型例题】类型一 已知零点个数，求参数的值或取值范围例1.【2018年理新课标I卷】已知函数 若g（
2、x）存在2个零点，则a的取值范围是A. 1，0） B. 0，+） C. 1，+） D. 1，+）例2.【2018年理数全国卷II】已知函数（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求类型二 利用导数确定函数零点的个数例3.【2018年全国卷II文】已知函数（1）若，求的单调区间；（2）证明：只有一个零点类型三 挖掘“隐零点”，证明不等式例4.【2017课标II，理】已知函数，且.(1)求；(2)证明：存在唯一的极大值点，且.类型四 利用函数单调性，确定函数零点关系例5.【2016高考新课标1理】已知函数有两个零点.（I）求a的取值范围；（II）设x1，x2是的两个零点，证明：.类型五 借
3、助导函数零点，解答综合性问题例6.【2016高考新课标2文】已知函数.（I）当时，求曲线在处的切线方程；（）若当时，求的取值范围.例7.【2016高考新课标文】设函数（I）讨论的单调性；（II）证明当时，；（III）设，证明当时，.例8.【2018年理数天津】已知函数，其中a1.（I）求函数的单调区间；（II）若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行，证明；（III）证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.【规律与方法】1.研究方程根的情况时，通过导数研究函数的单调性、最大（小）值、函数图象的变化趋势等，根据题目画出函数图象的草图，通过数形结合的思想去分析问题，使问题的解决有
4、一个直观的形象，然后在此基础上再转化为不等式（组）的问题，通过求解不等式可得到所求的参数的取值（或范围）2. 利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.3. 导数中函数的含参数的问题的讨论，需要考虑下面的几个方面：（1）把导函数充分变形，找出决定导数符号的核心代数式，讨论其零点是否存在，零点是否在给定的范围中；（2）零点不容易求得时，需要结合原函数的形式去讨论，有时甚至需要
5、把原函数放缩去讨论，常见的放缩有等；（3）如果导数也比较复杂，可以进一步求导，讨论导函数的导数.4. 对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要通过论坛和联系多加体会.5. 函数有零点等价于相应的方程有实根,然后将方程进行适当的变形,转化为两个函数图象有交点.交点的个数就是函数零点个数.在实际解题中,通常先求出,然后令,移项,转化为判断两个函数图象的交点个数.【提升训练】1.【2019届高三第一次全国大联考】若函数恰有三个零点，则的取值范围为( )AB（）CD（）2.【2017课
6、标3，理11】已知函数有唯一零点，则a=ABCD13.【2018年理数天津卷】已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是_.4【2018年江苏卷】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为_5.【2018年天津卷文】设函数，其中,且是公差为的等差数列.（I）若 求曲线在点处的切线方程；（II）若，求的极值；（III）若曲线 与直线 有三个互异的公共点，求d的取值范围.6.【江西省南昌市2019届高三一模】已知函数（为自然对数的底数），直线是曲线在处的切线.（）求的值；（）是否存在，使得在上有唯一零点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.7.【2016年高考四川
7、理数】设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a R.（）讨论f(x)的单调性；（）确定a的所有可能取值，使得在区间（1，+）内恒成立(e=2.718为自然对数的底数).8.【2017年新课标1】已知函数.（1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求a的取值范围.9【2017江苏，20】 已知函数有极值,且导函数的极值点是的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求关于 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：; （3）若,这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围.10.【2016高考山东理】已知.（I）讨论的单调性；（II）当时，证明对于任意的成立.11.【2016高考新课标2理数】()讨论函数的单调性，并证明当时，； ()证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域12.【辽宁省大连市2019届高三3月测试】已知函数（1）讨论函数 的单调性；（2）若曲线上存在唯一的点，使得曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点，求实数的取值范围 4
