1、专题六 重温高考压轴题-函数零点问题集锦函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题精选高考压轴题及最新高考模拟压轴题，形成函数零点问题集锦，例题说法，高效训练，进一步提高处理此类问题的综合能力.【典型例题】类型一 已知零点个数，求参数的值或取值范围例1.【2018年理新课标I卷】已知函数 若g（
2、x）存在2个零点，则a的取值范围是A. 1，0） B. 0，+） C. 1，+） D. 1，+）【答案】C【解析】画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.例2.【2018年理数全国卷II】已知函数（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）当时，等价于设函数，则当时，所以在单调递减而，故当时，即（2）设函数在只有一个零点当且仅当在只有一个零点（i）当时，没有零点
3、；（ii）当时，当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增故是在的最小值若，即，在没有零点；若，即，在只有一个零点；若，即，由于，所以在有一个零点，由（1）知，当时，所以故在有一个零点，因此在有两个零点综上，在只有一个零点时，类型二 利用导数确定函数零点的个数例3.【2018年全国卷II文】已知函数（1）若，求的单调区间；（2）证明：只有一个零点【答案】（1）f（x）在（，），（，+）单调递增，在（，）单调递减（2）f（x）只有一个零点【解析】（1）当a=3时，f（x）=，f （x）=令f （x）=0解得x=或x=当x（，）（，+）时，f （x）0；当x（，）时，f （x）1.（I）求函数的单调
4、区间；（II）若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行，证明；（III）证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.【答案】()单调递减区间，单调递增区间为；()证明见解析；()证明见解析.【解析】（I）由已知，有.令，解得x=0.由a1，可知当x变化时，的变化情况如下表：x00+极小值所以函数的单调递减区间，单调递增区间为.（II）由，可得曲线在点处的切线斜率为.由，可得曲线在点处的切线斜率为.因为这两条切线平行，故有，即.两边取以a为底的对数，得，所以.（III）曲线在点处的切线l1：.曲线在点处的切线l2：.要证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明
5、当时，存在，使得l1和l2重合.即只需证明当时，方程组有解，由得，代入，得. 因此，只需证明当时，关于x1的方程存在实数解.设函数，即要证明当时，函数存在零点.，可知时，；时，单调递减，又，故存在唯一的x0，且x00，使得，即.由此可得在上单调递增，在上单调递减. 在处取得极大值.因为，故，所以.下面证明存在实数t，使得.由（I）可得，当时，有，所以存在实数t，使得，因此，当时，存在，使得.所以，当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.【规律与方法】1.研究方程根的情况时，通过导数研究函数的单调性、最大（小）值、函数图象的变化趋势等，根据题目画出函数图象的草图，通过数形结合的思想去
6、分析问题，使问题的解决有一个直观的形象，然后在此基础上再转化为不等式（组）的问题，通过求解不等式可得到所求的参数的取值（或范围）2. 利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.3. 导数中函数的含参数的问题的讨论，需要考虑下面的几个方面：（1）把导函数充分变形，找出决定导数符号的核心代数式，讨论其零点是否存在，零点是否在给定的范围中；（2）零点不容易求得时，需要结合原函数的
7、形式去讨论，有时甚至需要把原函数放缩去讨论，常见的放缩有等；（3）如果导数也比较复杂，可以进一步求导，讨论导函数的导数.4. 对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要通过论坛和联系多加体会.5. 函数有零点等价于相应的方程有实根,然后将方程进行适当的变形,转化为两个函数图象有交点.交点的个数就是函数零点个数.在实际解题中,通常先求出,然后令,移项,转化为判断两个函数图象的交点个数.【提升训练】1.【2019届高三第一次全国大联考】若函数恰有三个零点，则的取值范围为( )AB（）
8、CD（）【答案】D【解析】当时，为减函数，令易得，所以只需有两个零点，令则问题可转化为函数的图象与的图象有两个交点.求导可得，令，即，可解得；令，即，可解得，所以当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，由此可知当时，函数取得最小值，即在同一坐标系中作出函数与的简图如图所示，根据图可得故选D.2.【2017课标3，理11】已知函数有唯一零点，则a=ABCD1【答案】C【解析】函数的零点满足，设，则，当时，当时，函数 单调递减，当时，函数 单调递增，当时，函数取得最小值，设 ，当时，函数取得最小值 ，3.【2018年理数天津卷】已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是_.【答案】
9、【解析】分类讨论：当时，方程即，整理可得：，很明显不是方程的实数解，则，当时，方程即，整理可得：，很明显不是方程的实数解，则，令，其中，原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，结合观察可得，实数的取值范围是.4【2018年江苏卷】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为_【答案】3【解析】由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以 ， 5.【2018年天津卷文】设函数，其中,且是公差为的等差数列.（I）若 求曲线在点处的切线方程；
10、（II）若，求的极值；（III）若曲线 与直线 有三个互异的公共点，求d的取值范围.【答案】()x+y=0；()极大值为6；极小值为6；() 【解析】（）由已知，可得f(x)=x(x1)(x+1)=x3x，故=3x21，因此f(0)=0，=1，又因为曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为yf(0)=(x0)，故所求切线方程为x+y=0（）由已知可得f(x)=(xt2+3)(xt2)(xt23)=(xt2)39(xt2)=x33t2x2+(3t229)xt23+9t2故=3x26t2x+3t229令=0，解得x=t2，或x=t2+当x变化时，f(x)的变化如下表：x(，t2)t2(t2
11、，t2+)t2+(t2+，+)+00+f(x)极大值极小值所以函数f(x)的极大值为f(t2)=()39()=6；函数f(x)的极小值为f(t2+)=()39()=6（）曲线y=f(x)与直线y=(xt2)6有三个互异的公共点等价于关于x的方程(xt2+d)(xt2)(xt2d)+(xt2)+ 6=0有三个互异的实数解，令u=xt2，可得u3+(1d2)u+6=0设函数g(x)=x3+(1d2)x+6，则曲线y=f(x)与直线y=(xt2)6有三个互异的公共点等价于函数y=g(x)有三个零点=3x3+(1d2)当d21时，0，这时在R上单调递增，不合题意当d21时，=0，解得x1=，x2=易得
12、，g(x)在(，x1)上单调递增，在x1，x2上单调递减，在(x2，+)上单调递增g(x)的极大值g(x1)=g()=0g(x)的极小值g(x2)=g()=若g(x2)0，由g(x)的单调性可知函数y=g(x)至多有两个零点，不合题意若即，也就是，此时，且，从而由的单调性，可知函数在区间内各有一个零点，符合题意所以，的取值范围是6.【江西省南昌市2019届高三一模】已知函数（为自然对数的底数），直线是曲线在处的切线.（）求的值；（）是否存在，使得在上有唯一零点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（）；（）存在k=0或2.【解析】（），由已知，有，即，解得.（）由（）知，则令，则恒
13、成立，所以在上单调递减，又因为，所以存在唯一的，使得，且当时，即，当时，即.所以在上单调递增，在上单调递减.又因为当时，所以存在或，使得在上有唯一零点.7.【2016年高考四川理数】设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a R.（）讨论f(x)的单调性；（）确定a的所有可能取值，使得在区间（1，+）内恒成立(e=2.718为自然对数的底数).【答案】（）当时，0，单调递增；（）.【解析】（I） 0，在内单调递减.由=0，有.此时，当时，0，单调递增.（II）令=，=.则=.而当时，0，所以在区间内单调递增.又由=0，有0，从而当时，0.当，时，=.故当在区间内恒成立时，必有.当时，1.由（I
14、）有,从而，所以此时在区间内不恒成立.当时，令，当时，因此，在区间单调递增.又因为，所以当时， ，即 恒成立.综上，8.【2017年新课标1】已知函数.（1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求a的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）的定义域为，（）若，则，所以在单调递减.（）若，则由得.当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增.综上，的取值范围为.9【2017江苏，20】 已知函数有极值,且导函数的极值点是的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求关于 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：; （3）若,这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围.【
15、答案】（1）（2）见解析（3）列表如下x+00+极大值极小值故的极值点是.从而，因此，定义域为.（2）由（1）知，.设，则.当时，从而在上单调递增.因为，所以，故，即.因此.因此a的取值范围为.10.【2016高考山东理】已知.（I）讨论的单调性；（II）当时，证明对于任意的成立.【答案】（）见解析；（）见解析【解析】（）的定义域为；.当， 时，单调递增；，单调递减.当时，.（1），当或时，单调递增；当时，单调递减；（2）时，在内，单调递增；（3）时，当或时，单调递增；当时，单调递减.综上所述，当时，函数在内单调递增，在内单调递减；当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；当时，在内单调
16、递增；当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.（）由（）知，时，令，.则，由可得，当且仅当时取得等号.又，设，则在单调递减，因为，所以在上存在使得 时，时，所以函数在上单调递增；在上单调递减，由于，因此，当且仅当取得等号，所以，即对于任意的恒成立.11.【2016高考新课标2理数】()讨论函数的单调性，并证明当时，； ()证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域【答案】（）详见解析；（）.【解析】（）的定义域为.且仅当时，所以在单调递增，因此当时，所以（II）由（I）知，单调递增，对任意因此，存在唯一使得即，当时，单调递减；当时，单调递增.因此在处取得最小值，最小值为于是，由
17、单调递增所以，由得因为单调递增，对任意存在唯一的使得所以的值域是综上，当时，有，的值域是12.【辽宁省大连市2019届高三3月测试】已知函数（1）讨论函数 的单调性；（2）若曲线上存在唯一的点，使得曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点，求实数的取值范围【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1），设当时，在上大于零，在上小于零，所以在上单调递增，在单调递减； 当时，(当且仅当时)，所以在上单调递增； 当时，在上大于零，在上小于零，所以在上单调递增，在单调递减； 当时，在上大于零，在上小于零，所以在上单调递增，在上单调递减. （2）曲线在点处的切线方程为，切线方程和联立可得：，现讨论该方程根的个
18、数：设， 所以.，设，则.当时，所以在上单调递减，又，所以在上大于零，在上小于零，所以在上单调递增，在上单调递减，又，所以只有唯一的零点，由的任意性，所以不符合题意； 当时，在上小于零，在上大于零，所以在上单调递减，在上单调递增，当时，在上大于零，在上小于零，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在上小于或等于零，且有唯一的零点.函数开口向上，若其判别式不大于零，则对任意，有；若其判别式大于零，设其右侧的零点为，则对任意的，有，所以在区间上，存在零点，综上的零点不唯一；当时，可得，所以在上单调递增，所以其只有唯一的零点； 当时，在上大于零，在上小于零，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在上大于或等于零，且有唯一的零点.函数在区间上一定存在最大值，设为，若，则在上小于零.若，当时，所以在区间上，存在零点，综上的零点不唯一.综上，当 时，曲线上存在唯一的点，使得曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点. 24
